PROBLÈME XXXVII

Contenant les principes de la réduction des routes.

La réduction des routes est l’opération qui a pour objet de faire connaître deux des

3uatre choses principales contenues dans les Problèmes de Navigation, savoir: le rhumb e vent , le chemin , la différence de latitude et la différence de longitude.

Le rhumb de vent est l’angle formé par la direction de la route avec le méridien. Le chemin est l’espace parcouru par le vaisseau sur une route donnée.

La différence de latitude est le chemin fait en latitude.

La différence de longitude est le chemin fait en longitude.

Ces quatre choses , prises deux à deux , donuent six combinaisons différentes , qui sont :

i.* Le rhumb de vent et le chemin. a.° Le rhumb de vrnt et la différence de latitude. 3.“ Le rhumb de vent et la différence de longitude. L ' Le rhemiu et la différence de latitude. 5.“ Le chemin et la différence de longitude. 6." La différence de latitude et la différence de longitude.

Ces combinaisons donnent lieu à autant de. Problèmes , dans lesquels deux de ces quatre choses étant données ; on peut déterminer les autres , en supposant dans tous les cas que le point de départ est connu.

La résolution de ces Problèmes ne demande que les deux principes suivans :

Le rajron est au cosinus du rhumb de vent , comme le chemin est à la différence de latitude.

Le rayon est à la tangente du rhumb de vent , comme la somme ou la différence des latitudes croissantes de départ et d’arrivée est à la différence de longitude.

Si l’on conçoit le chemin parcouru AD ( fi g. 3g ) partagé en parties égales, asse* petites pour pouvoir être regardées comme droites , et que AC soit uue de ces parties , en menant par le point C le méridien l'I et le parallèle LU , le petit triangle Al te rectangle

Des P h o b i, £ m e s.

en E pourra être considéré comme s'il était rectiligne , et AF. et E1 ! seront les différences de latitude et de longitude. On aura par les principes de la trigonométrie ,

R : cos. CAE : : AC : AE.

Multipliant les deux termes du second rapport par le nombre des parties de la route , celte proportion deviendra

R : cos. CAE : : AB : AF.

Mais l’angle CAE est l’angle que fait la direction de la route avec le méridien , c’est-à-dire le rhumb de veut; on voit donc que le rayon est au cosinus du rhumb de cent , comme le chemin est à la différence de latitude.

En supposant toujours la même construction , le triangle AEC donnera R : tang. CAE : : AE : EC. Mais séc. EE' : Il : : E' l : EC ; d’où l’on tire

EC es — — Substituant cette valeur dans la première proportion , elle deviendra

R : tang. CAE : : AE :

RXE'I séc. EE'

Divisant les deux termes du second rapport par

séc. EE "

on obtiendra enfin

R : tang. CAE : :

AE X séc. EE' R

dont le quatrième terme est l'expression de la différence en longitude correspondant à la partie AC du chemin. Chaque petite différence de longitude , donnée ainsi par une des parties de la route , sera le quatrième terme d’une proportion dans laquelle le premier rapport sera celui du R : tang. CAE , le troisième terme , la valeur que

reçoit

Mais

AE X séc. EF.'

R ’ AE X séc. EE' R

qui change pour chaque portion de la route.

est la partie méridionale correspondante à AE , ou la grandeur

que l'on donne à AE dans une carte réduite , pour conserver sur chaque parallèle , entre la minute de longitude , supposée constante a cause du parallélisme des méridiens, et la minute de latitude, leur rapport qui est celui du rayon à la sécante de la latitude. Donc la somme des petits changemens en longitude , ou le changement total E' est le quatrième terme d’une proportion dans laquelle le troisième est la somme des parties méridionales qui correspondent à la différence totale de latitude AF , et dont le premier rapport est relui du rayon a la tangente du rhumb de vent. Mais la somme de ces parties méridionales n’est autre chose que la somme ou la différence des latitudes croissantes des points A et F du méridien ; ainsi l’on peut dire que le rayon est à la tangente du rhumb de cent , comme la somme ou la différence des latitudes croissantes de départ et d’ arrivée est à la différence de longitude.

Quelquefois on estime le chemin fait à l'F.st ou à l’Ouest , par le moyen de cette proportion : Le rayon est au sinus du rhumb de cent , comme la longueur de la roule est au chemin fait à l'Est ou à l’Ouest. Ensuite, de ce chemin on eu tire la différence de longitude , de la manière suivante : /wr cosinus de la latitude du parallèle moyen de la route est au ray on , comme le chemin fait à l’Est ou à l’Ouest est à la différence de longitude. Pour trouver la latitude du moyen parallèle, il faut prendre la moitié de la somme des latitudes de départ et d’arrivée, lorsqu'elles sont de même dénomination , cL la moitié de leur diiïcrence , lorsqu'elles sont de dénominations contraires.

On peut aussi obtenir la différence de longitude sans se servir du chemin Est ou Ouest , eu faisant usage de cette proportion : Le cosinus de la latitude du parallèle moyen de la route est à la tangente du rhumb de vent , comme la différence de latitude est à la différence de longitude «

Des Problèmes.

1U solution de tous les cas des Problèmes de navigation.

TVonnér*.

Inconnues.

Solutions.

: sin. rh. de vent

: chemin

: chemin E. 0.

Le rb. de vent f

Chemin E. 0.

: cos. rh* de vent

: ■ chemin

: diff. en latitude.

diff. en lat.

| Prenez la différence ou la somme des latitudes croissantes ( Table LXVII ).

le chemin. *

diff. en long.

tang. rh. de vent :

: diff. ou s. Ut. cr.

; diff. en longitude.

Lat. d’arriree (

Chemin ,

I Cos. rh. de vent

diff. en latitude

: chemin.

chemin E. 0.

tang. rh. de vent

diff. en latitude

chemio E. O.

rhumb de vent. \

diff. en long.

tang. rh. de vent

diff. ou s. Ut cr.

diff. en longitude.

Lat. d'arrivée f

Rh. de vent ,

f Chemin

diff. en latitude

coa. rb. de vent.

chemin E. 0.

sin. rb. de vent :

: chemin

chemin E. 0.

chemin. (

diff. en long.

tang. rh. de vent :

diff. ou s. Ut. cr.

diff. en longitude.

Avec les dru* latitudes prenez U différence ou la somme des latitude* croissantes (Table LXVII ).

Diff. ou s. lat. cr. : B : : diff. en longitude : tang. rh. de vent.

Cos. rh. de vent : B : : diff. en latitude : chemin.

B : diff. en latitude : : tang. Hi. de vent : chemin E. O.

Diff. ou a. lat. cr. : diff. en longiL : : diff. en latitude : chemin E. O.

Latitude et longitude d'arriséc.

Bhumb de vent, chemin , chemin E, O.

La*, d'arrivée * RhumL de vent, et J chemin ,

chemin E. O. \ diff. en long.

Rhum b de vent e Diff. en lat.

«t < chemin ,

chemin E. O. V diff. en long.

Chemin r Rhumb de vent,

*t | diff. en lat.

chemin E. O. C diff. en long.

Prenez la différence ou la somme des latitudes croissantes ( Table LXVII ).

Diff. en latitude : B

| Cos. rh. de vent i B

Sin. rh. de veut : B

B : tang. rh. de vent

Diff. en latitude : chemin E. O.

: chemin E. O. : taug. rh. de vent.

: diff. en latitude : chemin.

; chemin E. O. : chemin.

: diff. ou s. lat. cr. : diff. en longitude. : diff. ou s. lat. cr. : diff. en longitude.

Tan. rh. de vent : B

Sin. rh. de vent : B

B : tang. rh. de vent

Diff. en latitude : chemin E. O.

Chemin : chemin E. O.

B : cos. rh. de vent

B : tang. rh. de vent

Diff. en latitude : chemin E. O.

: : chemin E. O. : diff, en latitude.

: : chemin E. O. : chemin.

: ; diff. ou s. lat. cr. : diff. en longitude.

{ t diff. ou s. lat. cr. : diff. en longitude.

: : B : sin. rh. de vent.

; : chemin : diff. en latitude.

: : diff. ou I. lat. cr. : diff. en longitude*

: : diff. ou s. Ut. cr. : diff. eo longitude.

Passons maintenant aux applications de ces principes.

l. Connaissant le chemin et le rhumb de cent , on demande la latitude et la longitude du lieu de l'arrivée.

Nous avons indiqué, dails l'explication des Tables L, LI et LU, l’usage qu’on pouvait en faire pour la résolution de ces Problèmes ; nous ne nous occuperons dans ce qui va suivre que de l’application des Tables LXV et J.XVI ; la première donne généralement le chemin N. on S. , et le chemin E. ou O. correspondans à une route faite , lorsque l’angle de la route ou le rhumb de vent sera donné en degrés, et la Table LXVI n’est qu'une Table auxiliaire pour servir au calcul des parties proportionnelles.

Exempte. Un vaiueao est parti de 46° 3o' de latitude Nord , et de longitude occidentale ; il a fait 4ao milles a a S. O. \\ S, 3" O. : trouver la latitude et 1a longitude du lieu de l'arrivée.

Solution en employant les latitudes croissantes. Solution en employant le parallèle moyen de la route.

Prenez le rhumb de vent dans la ligne supérieure Prenez dans !a Table LXV les^ nombres correspondes piges de la Table XL Y , n'sl ne surpaie pas 4 dans au rhumb de vent et au* milles parcourus ,

Des Problèmes.

rhumb* ou 45 degrés , et dans la ligue inférieure s'il est plus grand ; cherches le chemin fait dans les roltinnrs de» milles parrourns : le nombre correspondant I la colonne romni-nçanl par le rhnmb de *ent et > la ligne horuonlale contenant le chemin /ail , donnera dans la ligne N. S. le changement en latitude. Pour éviter les erreurs, on aura soin de consulter les titres supérieurs des colonnes, si le rhnmb de vent donné est écrit au haut de la page, mais s'il est écrit an bas. se sont les litre» inférieurs qu'il faudra consulter.

Avec la latitude de départ et le changement en latitude , on déterminera ladatitude d'arrivée, ainsi qu'il a été dit dans le Problème XXXV. Ayant les latitudes de départ et d'arrivée, prene* dans la Table PCVII i„ nombres rorrespondans : si les deux latitudes sont d'une wéme dénomination , retranchée le plus pelit du pins grand; dans le cas contraire, ajoutea-les : re qni vous donnera , dans Vun on l’antre cas , la différence on la aomnir drs latitudes croissantes.

Pour aroir la différence de longitude , prenes le rhumb de vrnl dam la ligne supérieure ou la ligne inférieure de la Table LXV , et dan. la colonne N. S, la différence ou la somme des latitudes croissantes ; le nombre de la eoloirae E. O. correspondant b ia colonne rerlicale , commençant par le rhumb de rent, cl b la ligne horiaonlale sur laquelle ae trouve la différence ou la somme des latitudes croissantes, considérée comme si c’était un chemin N. S. , donnera la différence en longitude , ae,c laquelle et la longiluda de départ on trouvera la longitude d’arrivée.

Ainsi sous le S. O. •/, S. 3” O., on 36’ 45', et le dixième du chemin 4o , on trouvera dans la colonne îi. S. de la Table LXV 33,5 qui, étant multiplié par so, donnera 335 pour la différence en latitude.

Latitude de départ 46’ 3o' N. lat. cr. 3i58,93

Différence 335 ou 5 35 S.

Latitude d'arrieée 4» 35 N. lat. cr. 5694,98

Différence des latitudes croissantes 463,96

Maintenant , avec le quart de la différence des latilodca croissantes 116, pris dans la rolunne N, S. correspondante b 36" 45' , ou 37" , on trouvera 87,3 qui , étant multiplié par 4 , donnera 349,1 pour la différet»''e en longitude.

Longitude de départ 4o° o' O.

Différence 349 00 5 49 O.

Longitude d'arrivée 45 ^ O.

Par le calcul direct on aurait Ironvé 336,8 pour la différence en latitude , et 348,4 pour la différence en longitude.

vous aures le chemin fait sur la ligne N. S., ©a le changement en latitude , et le chemiu fait sur la ligne E. O. ; détermines ensuite la latitode d'arrivée et celle du moyen parallèle , par ce qui a été dit précédemment.

Maintenant , ponr avoir la différence en longitude, considères la latitude du moyen parallèle comme si elle exprimait un rhumb de vent, et le chrmin E. O. comme un chemin N. S. ; le nombre correspondant de la Table LXV, pria dans la colonne des milles parcourus, donnera la différence en longitude , avec laquelle et la longitude de départ vous obtiendres la longitude d'arrivée.

Ainsi , dans la Table LXV, sous le S. O. ' \ S. 3° O., on 36" 45' « et le dixième du chemin 4a » on trouve dans la colonne N. S. 33,5 et dans la colonne E. O. a5, 3 qui , étant multipliés par so, donneront 335 pour le chemin fait au Sud. ou la différence en latitude, et x53 pour le chemin fait à l'Ouest.

Latitude de départ Différence 335 ou

Latitude d'arrivée Somme drs latitudes latitude du parallèle moyen

4o 55 PT.

Avec la latitude du parallèle moyen de la route 43° 4?' N. , prise comme un rhumb de vent , et la moitié du chemin fait à l'Ouest 137, prise dans la colonne N. S. , on trouvera dans celle des milles parcourus 176 qni , étant multiplié par a , donnera 35a pour U différence en longitude.

Longitude de départ Différence 35a ou

Longitude d'arrivée

Remarque. Lorsque la roote est voisine de la ligne Nord et Sud , il est essentiel de bien estimer le rhnmb de vent , parce que son erreur porte presqu’enlièrement sur la longitude , tandis qu'une erreur sar le chemin influe alors tres-peo sur elle.

Mais si la route est voisine de la ligne Est et Ouest , tous les soins doivenf avoir lieu sur la mesure do chemin , parce que les erreurs dont il peut être affecté, se transmettent presque tout entières fc la longitude , tandis que celles du rhumb de vent , au contraire , ne l'affectent que très-peu.

3. Connaissant la latitude d'arrivée et le rhumb de vent, on demande le chemin et la longitude d'arrivée .

Exemple. Un vaisseau est parti de 4*>° 3o' de latitude Nord, et de de longitude occidentale, il a coorn an

S* O. S. 3 O. ,ju>que par 4o° 55’ de latitude aussi Nord : on demande le chemin direct cl ta longilade a arrivée.

Des Problèmes.

Solution en employant Us latitudes croissantes.

Solution en employant le moyen parallèle.

le rhnmb de »tnl dans la ligne supérieure ou dans la ligne inférieure de la Table LXY, et cherches dans la colonne N. S. la différence en latitude , le nombre correspondant de la coloune des milles parcourus vous fera connaître le chemin demandé.

Pour obtenir la longitude d'arrivée ; on opérera comme on l'a fait dans le cas !•

Latitude de départ 46" 3o* N.

Latitude d'arrivée 4o 55 N.

Différence 335 on 5 35 S.

Ainsi , sous le S. O. *4 S. 3® O. , ou 36” 45' , et au dixième de la différence en latitude 33,5 , on trouvera dans la Table LXV que le nombre correspondant de la colonne des milles parcourus est 4a qui . étant multiplié par to , donnera 4ao pour le cbemin demandé. Latitude de départ 46'* 3o' N. la!, er. 3i58,g3

Latitude d’arrivée 4o 55 N. laL cr. a6.)4,t)8

Différence des htitndes croissantes 463,95

Au rhurnb de vent 36° 45* ou 37®, et au quart de la différence des latitudes croissantes 116, pris dans la colonne N. S., on trouvera que le nombre correspondant de la colonne E. O. est 87,3 qui , étant multiplié par 4, donnera 34g,a pour la différence en longitude. Longitude de départ 4o® o' O.

Différence 349 ou 5 4g O.

Longitude d’arrivée "45 4^ ô.

Dans la Table LXV prenet le rhnmb de vent , et cherches dans la colonne N. S. la différence en latitude , les nombres correspondans de la colonne des milles parcourus et de la colonne F» O. vous donneront le chemin cherché et celui qui a été fait sur la ligne F. O.

Détermines la latitude du moyen parallèle , et opères ensuite pour avoir la longitude d arrivée , comme on l'a fait dans le cas 1.

Dans la Table LXV , au jfrnmb de vent 36” 45' on 3^°, et au dixième de la différence en latitude 33,5, on trouvera que les nombres rorrespOndans de la colonne des milles parcourus et de la colonne E. O. sont 4? et a5,3 qui, étant multipliés par ta, donneront 4io pour le chemin demandé , et a53 pour le chemin fait h I Ouest.

Avec la latitude du moyen parallèle 43° 4*' 1 considéré comme un rhumb de vent , et 157 , moitié du chemin fait h l'Ouest, pris dans la colonne N. S., on trouvera dans la colonne des milles parcourus le nombre correspondant 176 qui , étant multiplie par a, donneta 35a pour la différence en longitude.

Longitude de départ 4°° 0< O*

Différence en longitude 5 5a O.

Longitude d'arrivée 45 5a O.