ACO = ABC = B
BCO = 180" - A, jCO' = 180* - B
Ces équations donnent les moyens de tracer la tangente 00' , quand on peut placer un instrument au centre ; alofs plusieurs observateurs pourraient se placer sur cette ligue, et observer à la fois le même angle.
L’angle CBO' étant très-petit , on aura sans erreur sensible BO'C = 180° - BC(y= 180“ - A
B O C — 180° — BCO = 180“ — 1800 + A = A ; ainsi on se placera de manière à ce que la direction au centre fasse à gauche un angle — A, ou à droite un angle .= 180“ — A , el l’on sera sur la tangente.
Ou voit par ce qui précède , combien il est aisé d’éviter les réductions , ou de les rendre à peu près milles , quand on a la liberté de tourner autour du centre ; mais cela n’arrive guère que sur les montagnes ou sur les tours qui se terminent en plateforme , ou qui ont une galerie extérieure.
11 peut arriver encore que quelque obstacle empêche de mesurer la distance au centre et l’angle de direction ; dans ce ras on aura recours aux méthodes suivantes.
Si l’on est placé en O , extérieurement à la tour circulaire Tz T' ( fig. 43 ) , on mènera les tangentes OT, OT1, sur lesquelles on prendra deux distances égales et arbitraires Ox , Ox1, de manière cependant que la ligue xx' soit le plus près possible de la tour dont C est le centre : on fera xm = x'm , et Om sera évidemment dans la direction de ce centre. On mesurera alors l'angle COB = jr , et à la distance Oz on ajoutera le rayon Cz pour avoir CO = r.
S’il était impassible de mesurer le rayon ou la circonférence du cercle Tz 1 ' , on mesurerait l’une tivs tangentes OT, par exemple , et l’on aurait
Des Problèmes.
puisque toute tangente au cercle est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure. Le reste de l'operation n’a maintenant aucune difficulté.
Il est à propos de remarquer que l'on a plus simplement l’angle jr ou COB »= TU B + T1 0 B • ,
; ainsi l’on fera coïncider d’abord l’axe de la lunette supérieure avec
la tangente OT, ensuite avec la tangente OT1, et l’on tiendra compte , chaque fois, du nombre de degrés marqué par cette iunelle , qui doit toujours marcher dans le sens de la graduation : on opérera ensuite comme nous 1 avons dit en parlant de la mesure de l’angle AUB (fig. 4o) ; pour trouver chacun des angles TOB, T'UB, dont la demi- somme = jr.
Lorsque l’on sera placé dans l’intérieur d’une tour circulaire , on fera en sorte que le centre de l'instrument soit sur le milieu de la corde qui passe par ce point , et la perpendiculaire à cette corde sera la direction du centre de la tour.
Si l’on était en dehors de la tour rectangulaire DL>' (fig. 44), en O par exemple, et que de ce point l’on pût voir les extrémités de l’une des diagonales DU' dd' , ou aurait l’angle de direction COB =jr par la méthode suivante :
On mènera une droite parallèle à DD' , en partageant en parties proportionnelles les côtés U D , OD' du triangle U D D' , et le milieu de cette parallèle sera sur le rayon OC.
Autrement, on mesurera exactement la droite Op perpendiculaire à JD' , ainsi que la partie pm comprise entre Op et la perpendiculaire Cm imaginée abaissée du centre de la tour sur le côté d'D. Comme Cm est censé connu , ou aura mq par la proportion
Cm + Op : pm : : Cm : mq.
Ainsi la droite Oq , dont la direction est maintenant déterminée, passera nécessairement par le centre C j on mesurera donc Oq , et l’on aura
et enfin r = Oq + qC.
Ainsi les deux élémens de la réduction de l’augle observé en O seront connus.
Il est facile de remarquer que ce dernier procédé est général pour tous les poligohes réguliers , soit que l’on soit placé dans l’intérieur , soit que l’on se trouve au dehors : toute la difficulté consiste , lorsque le centre est inaccessible , à déterminer l'apothème Cm du polygone qui l’entoure , et c’est ce que la géométrie enseigne.
Cependant s’il arrivait que l’on ne pût mener la perpendiculaire Op , on tirerait la droite Om , et l’on élèverait à Dp une perpendiculaire vers le milieu de pm. La partie de cette perpendiculaire , comprise dans le triangle Com , sera facile à déterminer par la tliéorie des lignes proportionnelles; on aura donc la direction OC, et ce moyen est aussi général que le précédent.
Il est évident qne tout ce qui vient d’étre dit relativement aux tours rondes ou polygonales , s’applique mot pour mot aux poutres verticales qui peuvent embarrasser le centre de la station. t
Les signaux temporaires , construits comme on l’a dit précédemment , dispensent de cette réduction , qui est presque toujours une source d’erreurs , quand les élémens n’en sont pas bien counus.
Déduction au centre du signal observé. Quand les signaux ne se terminent pas en pointe , et qu’ils sont éclairés obliquement par rapport à l’observateur, les augles observés ont besoin d’une correction , parce qu’alors le point observé n’est pas celui de l’axe du signal. Soit, par exemple, le signal abcd ( fig. 4S ) , ayant pour base un rectangle, si l’on n’a pu voir que la face éclairée ab , dont la position est connue par rapport aux stations environnantes , le rayon visuel OA , dirigé exactement sur le milieu de cette face , ne passera pas par le centre M du signal , si ab n’est pas perpendiculaire à AO ,
et la correction addilive ou soustractive sera égale à l’angle AÜM.
Pour calculer celle réduction , que nous représenterons par r, on a la formule
(AM\ sin. A DI O * " \OMJ siu. i"
384 Des Problèmes.
Des doux angles BOA , B'OA observas , l’un doit être augmenté de x , l’autre doit en être diminué. Il est facile de voir quelle serait la valeur de l’auglc A'OM , si l’on avait observé la face bd.
Pour obtenir une exactitude rigoureuse , il resterait à dégager l'angle OAM d’une très- petite correction , due à une illusion optique qui résulte de ce que le rayon visuel dirigé du point O sur le milieu apparent de la face ai , ne répoud pas toujours exactement à son vrai milieu , ainsi qu’il est aisé de s’en convaincre , niais cette correction peut toujours se négliger , parce qu’elle tombe au-dessous de l’erreur de l’observaliou , surtout quand les cotés des triangles sont très-grands.
Si le signal est une tour ronde , dont le centre est de même invisible , la correction sera plus ionguc à calculer, parce qu’il faut avoir recours à l'observation du soleil; en voici la méthode :
En nommant x l’angle formé au centre de la tour par le rayon visuel OM et la méridienne qui passe par le centre il/, z l’azimuth du soleil, et r le rayon de la tour, ou aura pour la valeur j de la réduction
sin.’ % (x - z)
* T OM sin. î"
pour déterminer z on pourra faire usage du Problème XII ou du Problème XIII , quant à x , on le connaîtra par la disposition des triangles ; par une carte ou par une boussole ; on peut aussi observer ( x - z ) comme il suit.
Place* le cercle horizontalement et dirigez sur le signal la lunette supérieure dont l’index est arrêté à zéro , amenez-y de même la lunette inférieure , ensuite l'instrument étant fixe , la limette inférieure restant sur le signal , tournez la supérieure jusqu’à ce qu'elle soit dans le vertical du soleil , an moyen d'un fil à plomb placé près de l’objectif, et dont i’oinhre devra se projeter sur le tube de la lunette , de manière à le diviser eu deux parties égales dans toutes la longueur. L’arc parcouru sur le limbe par la lunette supérieure, donnera l'angle {x - z) ou son supplément à deux angles droits.
Comme cet azimuth , au commencement n’est pas le même qu’à la fin , parce que le soleil s'approche ou s'éloigne continuellement du méridien du signal ; mais pour un petit intervalle de temps, le mouvement en azimuth peut être considéré comme uniforme; donc , si l’on prend la moyenne arithmétique entre deux azimuths observés successivement, on aura avec une exactitude suffisante l’azimutli pour ic milieu de l’intervalle écoulé entre les deux azimuths observés.
On remarquera que la réduction trouvée sera souvent un peu trop forte , parce que U limite de la partie éclairée sera trop peu lumineuse pour être aperçue.
Si le soleil et l'objet auquel on compare la tour sont du meme côté , la correction est addilivc ; s’ils sont de différées côtés , la correction est soustractive ; enfin , si ar > z le soleil est à droite de l'observateur.
II est évident qu’on évitera cette correction , en faisant élever une flèche sur le milieu de la tour , lorsque cela sera possible , et qu’elle pourra être vue des autres stations ; comme aussi de ne pas faire des observations dans les momens où le soleil donne des phases prononcées.
Iléduction à l'horizon. Les angles réduits au centre de la station se réduisent ensuite à l’horizon , quand les angles de position ne sont pas situés dans le plan horizontal mené par le lieu de l’observateur , et que les lunette» de l’instrument dont on se sert restent constamment parallèles au limbe , comme dans les cercles répétiteurs et dans les cerrles à réflexion , parce que comme dans le système de projection adopte pour représenter les positions respectives des objets, on ne considère que les distances horizontales, il est nécessaire pour calculer sous ce point de vue les côtés des triangles, de réduire leurs angles dans le plan même de ces distances. Les élénieus de cette réduction sont, pour chaque angle , les distances zénitales des deux objets observés.
Soit z ( ftg . 4G) le zénith de l’observateur qui, du point C, a observé l'angle BCA Incliné à l’horizon B' CA' : cet angle aura pour réduction ou projection horizontale , l’angle B'CA' formé par les plans verticaux AC,!' , ÜLt' , dans lesquels sont situés respectivement les signaux A , B.
Des Problèmes.
Mais l’angle B'CA' est le même que l'angle sphérique Z du triangle znl formé
rar trois arcs de grands cercles, dans l'un ta est la distance au zénith de l’ohjct A ;
autre zb , la distance au zénith de l'ohjel B ; et le troisième ab , la mesure de l'angle observé BCA. Donc si I) , I)' sont les distances au zénith connues za , zb , et que C soit l'angle BCA au centre de la station , l’on connaîtra les trois côtés du triangle sphérique abz ; ainsi eu se conformant à la notation actuelle , l'angle z sera donné par celle formule ; savoir :
. fC+ Ü + D' ,A . (C + D + LV ...
sin. D sin. W
T.e rayon des Tables étant égal a l’unité.
Soient , angle de position «
Lof. sin. demi-somme — D
distance sénitale de
Log. sin. dcmi-iouune — Ü '
distance sénitale de
G L«g. sin. D
O.OK.JOQ
on aura
sornme
ai3
