Première partie , argument inférieur , on aura
log. sinus 8.2o5646 ; log. tang. 8.305703
augmentant d’une dizaine le complément arithmétique du logarithme tangente, on aura log. cotang. = zo - 8.ao57oa + 10 = 11.794298.
Explication et usage
Exemple 5. On demande les logarithmes sinus , cosinus . tangente et cotanzente de 4? aa7 35».
Seconde partie de la Table , argument supérieur
log. sim:». lof. cosinus. lof. lang. log. rotang.
Pour 4° a*' 3o” 8.882433 9,998733 8.883701 1 1 . 116299
Ponr 5 la iliff. donne 4* 1 3^ — l 4- *38 — i33
Logarithmes demandés 8.882370 9.99873a 8.883839 >1 *116161
Pour avoir les parties proportionnelles relatives à 5* , on s’est servi de la Table contenue dans le feuillet sortant du livre.
Exemple 6. O11 demande le logarithme sinus, cosinus, lang. et cotang.de 85° a3' 6*. Seconde partie , arguaient inférieur.
Ing. sinus. log. cosinus. log. fang. log. rotang*
Taur 85° a3‘ o" 9.998S89 8.905736 11*091853 8.907147
Pour 6 b diff. donne + 1 — i56 ■+• lS7 •* 1^7
Log. demandas 9.998590 8.9o558o 11.093010 8.9156990
Pour calculer la partie proportionnelle relative à G», on s’est servi de la Table contenue dans le feuillet.
Exemple 7. On demande les logarithmes sinus , cosinus , tang. et cotang. de 123” <3' 34*. Seconde partie , argument supérieur.
log. cosinus. log. sinus. log. rotang. log. lang.
Ponr ia3° 43' 3o" 9. 744455 9-9*9973 9.824483 10.175518
Pour 4 4- i3 — 6 4* 18 — 18
Log. demande’» 9-7444*'® 9-9f99*»7 9.824200 10.175500
Pour trouver la partie proportionnelle de 4" > 0,1 s’est servi de la petite Table eoDlciHic dans la colonne r. P.
Exemple 8. On demande les logarithmes sinus, cosinus, tang. et cotang. de i35*o 4°- Seconde partie , argument inférieur.
log. sinus. log. cusinns. log. lang. log. rotang.
Ponr 135® o' io'* 9*849464 9.849^ 9.999958 10.000041
Pour — 6 4- i3 — i3 4- a5 — a5
Log. demande'»
Au lieu de prendre d’abord pour i34" 59' 5o" et ensuite la partie proportionnelle pour s4“, on a préféré prendre dans la Table Tire immédiatement supérieur à l’arc donné.
Exemple g. On demande les logarithmes sinus, cosinus, tang. et cotang. de i4i° 3a' 17*' Seconde partie , argument inferieur.
log. sinus. log, cosinus. log. tang. log, rotang.
Pour i4i* 3a' 10” 9.793805 9.89376a g.gx<o43 10.099927
Pour 7 — 19 4* i* — 3o 4- 3o
Log. demandés 9.793786 ' 9.893774 9.900013 10.099987
La partie proportionnelle de 7* a été prise dans la petite Table colonne P. P.
Exemple 10. On demande les logarithmes sinus , cosinus , tang. et cotang. de io5“ 20' 44** Seconde partie , argument supérieur.
log. sinus. log, cosinus. log. tang. log, cotang*
Ponr io5® ao' 40’* 9-974*36 9.422625 io.56iGu 9.45838g
Pour 4 “ a 4* 3» — 33 4- 33
Log. demandés 9.974*34 9.4**626 io.56r57S g.43S4*a
La méthode des parties proportionnelles ne peut plu» être employée pour trouver, avec précision, les logarithmes sinus, tangentes , etc, des arcs contenant des décimales
des Tables. 499
de seconde, lorsqu'ils sont très-petits , ou lorsqu'ils diffèrent très-peu de 50* et de 180“ , parce que les différences consécutives de ces logarithmes varient trop, et qu'alors la proportion n'est plus suffisamment exacte.
Pour ces divers ras , l’on obtiendra toujours la sixième décimale exacte , par le moyen suivant : au logarithme constant , ajoutez celui de la Table XWH correspondant
au petit arc proposé ou U son supplcuieul, si l’are approche de 180" ; la somme de ces deux logarithmes sera celui du sinus ou de la tangente de l'arc donné; mais si l'arc diffère ou surpasse peu 90“, au même logarithme constant ajoutez relui de la Table XXVII correspondant au complément de l'arc proposé réduit en secondes; la somme sera celui du cosinus ou de la colangrute de l’arc donné. Ayant le logarithme tangente, son complément arithmétique , augmenté d'une dizaine à la caractéristique, donnera celui de la cotangentc , et réciproquement.
Exemple 1. Trouver le logarithme sinus de o” o' 39", 5, cl le logarithme tangente do a 79" 5g' 27", 6 dout le supplément est o" o' 3a", 4.
Sinus. Tangenlr.
log. constant 4 - 63557 5 log. constant 4
39”, 5 log. 1.46983a 3aM,4 log. 1. 5*o545
log. sinus G. iü53<>7 lo*. fang. 6.196130
F.n employant les parties proportionnelles on aurait trouvé un log. sinus trop faillie de G3 'imités décimales du sixième ordre; et pour log. tang. un résultat trop faible de 49 unités du même ordre décimal.
Exemple 2. On demande le logarithme cosinus de 89° 58' 55", 38 : et le logarithme cotangenle de no” 1' 11", 52. I.c complément du premier arc est de 1' /J'Ai , et celui du second de T 12", 5a.
Cosinus. Cotangc-.le.
log. constant 4-685f»75 log. constant 4-^J^>
i* 4"»6a ou G4'\6a log. 1.8103G7 i’ iaM,5a un 7a'\5a log. i.8Go4')8
log. cosinus C.qcjAj^2 log. colang. 6.5i6o33
Si l'on eût employé les parties proportionnelles, 011 aurait trouvé un logarithme cosinus qui aurait différé du précèdent de i3 unités du sixième ordre décimal, et un logarithme cotangeutc trop faible de 11 unités du meme ordre.
Des logarithmes sécantes , rosée antes , sinus verses et cosinus verses. On peut aussi , au moyeu de la Table LUI, déterminer les logarithmes des sécantes, Cosécanlcs, sinus verses et cosinus verses; pour y parvenir, il suffi d'opérer de la manière suivante:
Au complément arithmétique du logarithme cosinus de l'arc donné, ajoutez une dizaine à la caractéristique , la somme vous donnera le logarithme de la sécante du même arc.
Au complément arithmétique du logarithme du sinus, ajuulrz une dizaine à la caractéristique , la somme vous donurra le logarithme île la cosécattle du même arc.
Au double du sinus de la moitié de l'arc donné, ajoutez o.3oio3o, le somme, diminuée d'une dizaine , vous donnera le logarithme du sinus verse du même arc.
Au double du logarithme du sinus de la moitié du complément de l’arc donné , ajoutez o.3oio3o ; la somme , diminuée d'uue dizaine , vous donnera le logarithme du cosinus verse du même arc. . ’• .
Trouver l'angle qui correspond au logarithme donné d'une des lignes irigonomélriques
de cei angle.
Pour trouver l’angle ou l’arc correspondant à un logarithme sinus, cosinus , tangente et cotangenle , il faut suivre uue marche inverse de celle qui a été employée dans les dix exemples précédents.
Exemple t. On demande l’are plas petit et plus grand que 90* , correspondants au logarithme sinus 8.5 449=4.
Dans la première partie de la Table on trouvera
les angles ou les arcs a” d 35" et 177* 5g' aS*.
5oo
Explication et usage
Exemple 3. On demande les arcs ayant pour logarithme cosinus 8.6o5ai5.
Dans U première partie de la Table on trouvera que
ces angles ou ces arcs sont 87* 4>' 27# ct 92" >8' •
Exemple 3. On demande les angles ou les arcs ayant pour logarithme tangente 8.87 1770.
Seconde partie de la Table
'l Arg. «tpér.
On a d'abord 4° ib’
Pour 14? la difr. aB| donne 1 * ’5
Arts demandé* 4 a5
Exemple 4- On demande les angles ou les Seconde partie de la Table
Arg. sapér.
On » d'abord pour 9.37669» »3U 46' ao"
‘Pour U différence 69 -*■ 8
Area demandé* «:■.•( 1 >3 4®
• Arg. inter.
. . -ti ■' , T m •
ayant pour logarithme sinus y.376760. ,
• »« • » J.li *»|*j • *. *, j
•AVg/«rW.,,ui r
Pour 9.376777 1C6" i3* 3o" 1 '
Pour la diff. 17 + ^
. Exemple 5. On demande les arcs ayant pour logarithme cotangcnte ’ iô.3ô526o.
. ■ ‘ * . # • • 4, 1 . , tu )
I Seconde partie . f * , .. ,i ,,,
.si- Arg. supér. ,1 Arg. infér. -m.h
On a d'abord pour io.3o53t6 36’ ao‘ 3o" > j Pour »o.3o5aa3 3$' ao1' , » *>ji#
Pour la différence 16 1 «♦» 3 Pour la diff. 37 *4* . ,7 , *♦'»
Ibi 39 VJ
Arc* demandé*
ao 33
Exemple G. Qa demande les arcs ayant pour logarithme cosinus g.84<poo.
Seconde partie
I • •ti*»U Arg. »uprV. ■ •;) 1 Arg. loMr. <‘.1
On a iT.tmnl p.ur ' 9 . 849S0A 44* 5g'- îk f* Pour 9 . 8,<) V>6 lW o' lA" ' f 1 '
Four U différence 6 4- 11 3 Pour Is diff. — 0 3 1 »
—4 — 4- Il — mu —I . .■ n
Am denundé» 44 Sj 53 . , , , . >35 » |,
Lorsque le logarithme proposé se trouve compris entre deux logarithmes du commencement de la première partie de la Table , et qu’il s’agit d’obtenir l’arc correspondant à moins d’un dixième ou d’un centième de seconde , opérer de la manière suivaute : au logarithme constant 5.3i4425> ajouter le logarithme donné, la somme , diminuée d’une diraine à la caractéristique , sera le logarithme d’un nombre de secondes que vOus chercherer dans la Table XXVII; cela posé, si c’est un sinus 'ou ime tangente, le nombre de secondes sera l’un des ares ct son supplément sera le second arc, ihais si c’est un cosinus ou une rotangente , le nombre de secondes trouvé étant' ajouté à 90“ , vous donnera l’un des arcs, ensuite étant retranché de yo“ , vous obtiendra le second arc.
Exemple 1. Trouver les arcs ayant pour logarithme sinus ou tangente, Sfg7^44- t
log. con»iaat ,t" 5.3<44>t> * I' . ■ * l'yil
• * tog, |n»)|W* , , , 6.970944 l ti , I
TJ., xxvii1 i9";5o 1. 19.309 7
Exemple 2. Trouver les arcs ayant pour logarithme cosinus ou cotangente G.2Sua3&.
Ainsi les arcs demandés sont o° o' rnl',.lj6 ct 179" 5g' 4°">44-
« - ’tll I |
log. 5.3i44a3 ,
lug. proposé 6.38oi38 ,
Tâb. XXVII 49”.5o 1 .(k)4663 * . * .
Ainsi' les arcs demandés sont 90” o' 49". ct 89° S9' 10", 5o.
Soi
des Tables.
Table LIV. Pour convenir la hauteur vraie de la Lune
en hauteur apparente.
Celle Table, particulièrement en usage dans la méthode des distances lunaires, donne la quautité à retrancher de la hauteur vraie calculée, du centre de la lune , pour obtenir la hauteur apparente du centre. Ses arguments sont la hauteur vraie donnée depuis 3* pour toutes les dizaines de minute et pour toutes les parallaxes horizontales de la lune , calculées pour la latitude du lieu depuis 53' jusqu'à Ira' exclusivement : le bas des pages contient les parties proportionnelles pour les minutes de hauteur , et les dernières colonnes à droite de chaque page , les parties proportionnelles correspondantes aux accoudés de la parallaxe.
Exemple i. La hauteur vraie calculée du centre de la lune étant de 35” 4°’ fit sa parallaxe horizontale relative à la latitude du lieu «le 58' , on demande la hauteur apparente du centre.
Cherchons 35° 4o' dans la colonne ayant pour litre hauteur craie : l'ayant trouvée , Dons prendrons sur la même ligne et dans la colonne 58' de parallaxe , la quantité 46' i3" pour la parallaxe de hauteur, diminuée de la réfraction; celte quantité étant retranchée de 35° 4o' , nous donnera pour reste 34” 53' 4/" pour la hauteur apparente demandée.
Exemple 2. La hauteur vraie , calculée , du centre de la lune étant de 35° 47' et 1* parallaxe horizontale toujours de 58‘ , trouver la hauteur apparente du ccutrc.
Cherchons comme dans l’exemple précédent, le nombre 46' >3“ correspondant à la hauteur de 35* !fi! et à la parallaxe horizontale de 58' ; cela posé , nous [(rendrons daus le bas de la page cl à droite, vu que la hauteur s’est trouvée dans la moitié inférieure de la page , la partie proportionnelle 4“ qui convient à 7' de hauteur : comme ces 4" sont soustractives des quantités contenues daus cette page, nous les retrancherons de 46' i3", ce qui donnera pour reste 46' 9"; ce reste étant retranché de la hauteur vraie 35° 4?' > ,luus donnera 35° o' 5t" pour la hauteur apparente.
Exemple 3. La bailleur vraie étant de 35° 47' ét la parallaxe horizontale de 58' 43” , trouver la hauteur appareule.
En opérant comme dans l’exemple précédent, on trouvera pour 35" 47* de hauteur vraie et pour 58' de parallaxe horizontale, la quautité soushaclue Ifi 9"; ensuite, pour avoir la partie proportionnelle qui convient h 43" de parallaxe , ou remarquera que les parties proportionnelles , pour les secondes de parallaxe , sont comprises dans 1rs ouze dernieres colonnes à droite, renfermées dans les deux lignes horizontales qui comprennent le même degré de hauteur , cl pour notre exemple le 35' degré ; ces colonnes sont composées de six lignes pour chaque degré ; la première donne les parties proportionnelles depuis o* jusqu'à 9" , la secoude les donne depuis 10" jusqu’à 10" ; la troisième depuis 20” jusqu'à 29” et ainsi de suite : ainsi la partie proportionnelle pour 43" se trouvera sur la ligue commençant par 4° et dans la colonne de 5* , cette partie est de 3;* qu’on ajoutera à 46' 9" dé|à trouvées précédemment ; la somme 46' 46" dounera la parallaxe de hauteur , diminuée de la réfraction ; celle somme étant retranchée de la hauteur vraie 35“ 47' donnera 35“ o' pour la hauteur apparente demandée.
Si la parallaxe horizontale réduite k la latitude du lieu , contenait des dixièmes de secondes , ou obtiendrait les parties proportionnelles correspondantes , au moyeu de la ligne qui les donné depuis o" jusqu à 9"; mats alors il faudrait" Compter lés parties trouvées pour des dixièmes de secondes.
Cette Table ne donue que la différence entre la parallaxe de hauteur et la réfraction moyenne correspondante , provenant de la Table Y ; pour 1rs cas qui demanderaient une pins grande précision, il faudrait calculer, au moyen des Tables VI et Vil, les corrections de la réfraction moyenne relatives à l’ctat du baromètre et du thermomètre : ces corrections seront celles qu’jl faudra faire aux ré^nlb'ls trouves ci-dea»us , eu employant les memes signes que ceux qui sont indiqués dans (es Tables Y1 cl Vil.
On a trouvé daus le dernier exemple 46' 46" pour la parallaxe de hauteur , diminuée de la réfraction moyenne ; supposons que lors de l’observation de la distance lunaire, la hauteur du thermomètre était de + 3o° à l’échelle centigrade , et celle du baromètre de 726 millimètres. . t
gl
Soa Explication et usage
Table VI pour 37' de liauleur de la luue et 72b millimètres - 3" 5
VII et + 3o“ - 5,4
Correction de la réfraction moyenne — 8, g
Comme celle correction totale est précédée'du signe — , nous la retrancherons de 46'.46", ce qui duuucra 46' 3;", 1 pour la parallaxe de hauteur, diminuée de la réfraction corrigée.
Table LV. Sinus verses. Cosinus verses, Susinus verses et Sticosinus verses.
Cette Table contient les sinus verses , cosinus verses , susinus verses et sucosmiis verses de minutes eu inimités pour tous les degrés du demi cercle , c’est-à-dire depuis o1’ jusqu'à 1 Ho" : les degrés sont placés au liant et au bas de chaque page , les minutes couteuues dans la première colonne à gauche , se rapportent aux degrés qui sont écrits dans la partie supérieure de la page ; les minutes placées dans la dernière colonne à droite , se rapportent aux degrés de la partie inférieure. Les sinus verses et les susinus verses sont toujours indiqués dans la première ligne et dans la dernière du cadre de la page ; les cosinus verses et les sticosinus verses , dans la seconde ligne , et dans l’avant-dernière ligne de ce cadre. Dans chaque colonne on y trouve une ou deux Tables de parties proportionnelles , qui se rapportent aux degrés cootenus dans les arguments de celle culmine , pour toux les nombres de secondes depuis 1 jusqu’à G) , les nombres de secondes qui servent d’arguments pour ces parties proportionnelles, doivent toujours être pris d.ius la colonne des minutes placées à droite. Il reste à observer que si Ja colonne ne eontient qu'une Table de parties proportionnelles , cette Table doit servir pour toute la colonne ; que si elle en contient deux , la première Table sc rapporte à la première moitié de la colonne , et la seconde Table à la seconde moitié, c'est pour cclic distinction que la toluuuc se trouve divisée en deux parties égales par un gros trait.
Etant donné un angle eu un are , troucer son sinus eerse , son susinus verse , etc.
Exemple 1. On demande le sinus verse de 8i° 18' a5" et le susinus verse
Sinus verse.
Pour 8i° 18' , la Table donne 0.848739 Pour 98° 4*' » l* Table donne
Pour a5", paille proportionnelle -+- jüo Pour 35", partie proportionnelle
de g8» 4»' 35“.
Susinus «en;.
- iCft
Sinus verse demandé 0.848859 Snsinns verse demandé o. 848889
Exemple 2. On demande le sinus verse de 76* 45' 36" et le susinus verse de io3° i4' aa".
Simti verse. Susinus s-erse.
Pour 76° 45*, la Table donne 0.770800 Pour io3* 14' , 1* Table donne 0.771083
Pour 38 ' , partie proportionnelle -f- 179 Pour aa" , partie proportionnelle “ ïo4
SintM verse demandé f>‘77o079
Exemple 3. On demande le sinus verse de
Sinus verse.
Pour iCxf 8' , la Table donne X .9820U9
Pour 17", pailie proportionnelle i5
Susinus verse demandé °-77°9?9
i Gy '' 8' ij" et le susinus verse de io* 5i' 43".
Susinus verse.
Tour io° 5l* « la Table donne I.g8aia3
Pour 43" , partie proportionnelle «• 3q
Sinus «erse demandé 1.982084 Susinus verse demandé 1.982084
Exemple 4. O11 demande le sinus verse de 171” 5a' ab" cl le susinus verse de 8“ 7' 3a".
Sinus verse. Susinus verte.
Po?r xji® 5a’, la Table donne i. 989943 Pour 8° 7’, la Table donne 1. 98998a
Tour 38" , partie proportionnelle 19 Pour 3a" , partie proportionnelle r» aa
Sinus verse demandé l .9S99G1 Susinus verse demandé l
Exemple 5. Ou demande le cosinus verse de 4")“ 55' 3y" et le cosinus verse de i3o* 4' a3°.
Pour 49° 55’ , la Table donne Pour 37" , partie proportionnelle
<!o»iuas verse demandé
Cosinus verse.
Pour x3o° 4' * I* Table donne Pour a3" , partie proportionnelle
o.a34775 Sacosinos verse demandé
Cosinus verse.
DES Tabi.es. 5o3
Exemple G. On demande le sucosiuus verse de ;3’ 57' a" et le sncosinus verse de 106» a' 58".
Sucosinos une. Si.co-iuus verte.
Pour 73° S?*, U TaWe donne 1.961021 Pour lo6* 2', la Table donne 1.961101
Pour a" , partie proportionnelle 3 Pour 58" , partie proportionnelle — 79
Sucoiinus verse demande 1 .961024 Sncosinus verte demandé 1 .961022
Etant donné le Sinus rerse , le Susinus verse , etc. , déterminer l’angle ou l'arc
auquel il Appartient.
Exemple i. Ou demande l’arc correspondant ati sinus verse 0.990*80.
Sinoa verse donné 0.990280
Sinus verte de 1a Table, immédiatement inférieur 0-990110 are- rnrrcspombut 89° 26' oM
Différence 170 te rond, correspond. 33
Arc demandé 89 26 35
Pour avoir les secondes, on a cherché dans la Table de parties proportionnelles de la colonne 89", la différence 170, l’ayant trouvée, le nombre 55, situé sur la meme ligne et dans la première colonne a gauche , a donné les secondes.
Exemple 3. On demande l’arc correspondant au susinus verse 0.990*80.
Susinus vrr»è donné
Susinus verse de la Table , immédiatement supérieur
arc correspondant
Différence
second, correspond.
Are demandé
Exemple 3. On demande l’arc plus grand que 90“
, correspondant au
cosinus \cr»e
Cosinus verse donné
Cosinus «erse de la Table , immédiatement inférieur
arc correspondant
i58rt 41* 0"
Différence
second, correspond.
Arc demandé
Exemple 4- On demande l’arc plus petit que 90* ,
correspondant au sucosinus verse
Susinus verse donné
Sncosinus verse immédiatement inférieur
arc correspondant
Différence
second, correspond.
Arc demandé
Du sinus et cosinus naturels. Pour avoir le sinus naturel d’un arc donné , retranche! le cosinus verse de cet arc du rayon ou !.ooôooo, le reste sera le sinus demandé; pour obleuir le cosinus naturel, chercher le sinus verse de l’arc donne et retrauihez-le du rayon , vous aurez pour reste le cosinus demandé.
Exemple. Ou demande le sinus et le cosinus de 54* 10' *5".
Rayon î.nuoooo l .000000
Cuti nui verse 0.189206 Sinus verse 0.4*4669
Sinus naturel 0.810794 Cosinus naturel o.58533i
Pour avoir l’arc correspondant à un sinus naturel , prenez la différence entre le rayon ou 1.000000 cl te sinus naturel; cette différence sera le cosinus verse de l’are demandé : connaissant le cosinus naturel , pour avoir l’arc auquel il répond , retranchez le du rayon, vous aurez le sinus verse de l’arc cherché.
Exemple Un sinus naturel étant de 0.810794 cl un cosinus de 58533i , trouver les
angles correspondants.
Rayon
Sinus naturel
Cosinus naturel o.58533f
Cosinus verse
Angles demandés 54
et 54“ *©’ ’a5M
Explication et usage
Tables LVI , LVII et LVIII. Pour corriger la distance apparente de la Lune au Soleil ou à une Etoile ou à une Planète.
Ces Tables sont en usage dans les méthodes neuvième et dixième données pages 228 et 229, et dont les démonstrations sc trouvent page 4<J2.
La Table LVi donne le factenr auxiliaire F exprimé en cent-millièmes , correspondant A
cos. a' cos. b' , ,
cos. a cos. b
Ses arguments sont : la hauteur apparente de la lime , donnée de degré en degré , et sa parallaxe horizontale de minute en minute. A ce facteur il faut ajouter une correction pour la hauteur du second astre ; lorsqu'elle est relative au soleil , elle se trouve an bas de chaque page de la Table; mais lorsque celte correction est pour une planète, elle est donuée dans la Table LVIII.
La Table, LVII sert A trouver immédiatement le quatrième terme d’nne proportion dans laquelle le plus grand des termes est Go ; d’où il résulte , qu’elle donner? commodément les parties proportionnelles des différences correspondantes aux degrés de hauteur de la lune et des diflérencrs relatives aux minutes de la parallaxe horiaontalc du même astre , arguments de la Table précédente.
Exemple i. La hauteur apparente Je la lune e'iant Je Exemple a. La hauteur apparente Je U lune e'iant Je
la parallaxe horisontale de 56*
, et la hauteur du
71*, sa parallaxe horisontale de 6o’ ,
et la
hauteur de
soleil de 70, trouver le facteur auxiliaire F.
l'étoile de n°, déterminer le facteur auxiliaire F .
Pour 4a0 et 5^* TabL LVI
O.Olo4l
Pour 71" et 60' Teblc LVI
7° haut. O
11* haut. *
Facteur auxiliaire ou F sommé o.oio44
Facteur auxiliaire ou F somme
Exemple 3. La hauteur de la lune étant Je 79* a4 . *a
Fxemple 4* Hauteur de la Inné 16*
1 parai, hor.
parallaxe horisontale Je 57' 28" et la hauteur du soleil
54' 18" et la liant, de Vénus de 36°, sa par. h or. de ai".
de 36°, trouver le facteur auxiliaire
trouver le facteur auxiliaire F .
Pour 790 et 57* Table LVI
Pour 16” et 54* Table LVI
36* haut. 0
36* h. pbn. et ai" Ta. LVIII
Tour j af et diff. 5 Table LVII
Pour 4*’ «* diff. 26 Table LVII
28" et diff. 29
18" et diff. 8
Facteur cherche’ ou F
Facteur demandé
Tables LIX et LX. Accourcissement causé par la réfraction sur les demidiamètres inclinés à l'horizon , et argument de cct accourcissement.
Ces Tables ont été calculées pour servir à corriger la distance vraie de la lune an soleil on de la lune A une étoile ou à une planète, db l'accourcissement des demidiamètres de la lune et du soleil.
Sachant que la réfraction horizontale est à peu près égale au diamètre apparent dn soleil et de la lune , il s'ensuit que nous apercevons ces astres totalement lorsqu'ils sont encore sous l'horizon , et que la figure circulaire du disque apparent du soleil ou de la lune prend une figure elliptique , non seulement A l'horizon , mais encore A divers degrés de hauteur.
Pour démontrer la règle qui sert A trouver l'accourcissement causé par la réfraction sur 1111 demi-diamètre incliné; soit DCHC le disque de la lune ou du soleil {fig. 5a), auquel la réfraction donne la figure elliptique l)KBK (qui diffère peu du cercle), en sorte que son demi-diamètre vertical AC se trouve accourci d'une quantité connue CK ou n donnée par la Table des réfractions; pour tout autre demi- diamètre AF , dont l’inclinaisou I est mesurée par l'angle EAB , raccourcissement sera la quantité inconnue FF ou jr.
ues Tables.
Menons par le point F la droite HG perpendiculaire sur AD, clic formera deux tria ncles semblables AGF et FEU qui donneront
AF : FG :: FU : FE niai* i : sin. I : : AE : I G ou aura Jonc i : sin. I :: FII : y = EU sin. /.
Mais dans une ellipse les ordonnées sont proportionnelles à celles du cercle construit sur le grand axe , ainsi
CK
a : F/7 : : AC ou AE : GU
AC ■■ GII :: AK : FG d’oii et sans erreur scusible :: 1 : »in. I d’ou FU = a sin. I nous aurons donc y = « sin.' 1 pour l’accourcissement du dcmn
diamètre incliné AE. <■
Le calcul de celte formule est trèsssimplc eu effet , soit
la haut, apparente du centre A de 5» o' o" dont la réf. est de
celle de C de 5 i5 4° de
on anra a ou CK de
Maintenant, si nous supposons que l’angle EAU ou l’inclinaison I soit de 48% nous aurons jr =
M,W la simpKcité de ce calcul , nous avons préféré conslniire la Table LIX contenant raccourcissement y, pour les diverses valeurs de a et de / , en supposant a AL une
Uets ;.nn5 a & tf ssv
a «txa » «■** «r» ' * * .
Il reste à trouver le second argument / , c’esl à- dire les inclinaisons des dem, -diamètres de coutact dans les observations des distance» lunaires.
Ces inclinaisons sont évidemment les compléments pos.lifs on négatifs des angles a et l { 5l ) du triangle apparent Zd qui , d’après ce qui se trouve dans les pages 4&J • • • 4-ji ,
donnera cos. ver. / = a cos. % ( à + * * b ) sin. %<d-a+b) coséc. d séc. b
sucos. ver. 7 = 2 cos. %(</+« + b ) sin. % ( d + a-b ) coséc. </ séc. «
C’est sur ces formules nue la Table LX a été calculée, qui au lieu de donner /, donne seulement scs logarithmes cos. verses et sucos. verses.
Pour les applications nous renverrons à la règle donnée page 2J0.
Table LXI. Des cordes, . pour le rayon 1000.
• >«< '' \ .• ' a... „• niant livdro-rapliiimps consiste à réduire les mesures
*■» f°"S ' d» «i ^ prop^rti« qui permette de les placer sur le papier que
prises sur le terra » \ . rWte ■ dans cette opération on a conlmuellemenl il tracer
Luefet les nombres de degrés des angles de, à traces.
La droite qui sert à mesurer toutes les ligues, prend le nom <\ rebelle ; lorsque le l,a «troue qu ranj degré de précision, et que Ion na point de details
tfavajl ng P |A|US simple de toutes les échelles serait un demi- mètre en
Je sa longueur1 et divisé en millimètres; alors W.1S,.»: t?.,l*L cfj 1 terrain à figurer, on prendrait le centimètre pour représenter uu
'ïn^èSeî 011*100 mèfresVètè.'î mSSi'Iorsqil’on n’a pas un «leJ-métre a,„s, mètre , ou 10 meires , ou ,, , • . détails avec une grande exactitude , il faut
ÎÏ&+W tee écïêile «le -firiL, construite sur une lougncor qui soit en rapport
avec les dimensions du papier.
avec leè dimensions du papier. t , . , s , m
„ . *r>: ■ » . r AvVInrr un an^lc avec précision, tlenx moyens se présentent *
A d’un rapporteur d\m rayon suffisamment grand, muni
denScneué 'de partie» égales et dune Table des corda.
5o6 Explication et usage
La Table que nous donnons , construite sur un rayon composé de 1000 parties , contient tous tes arcs dont les nombres de p'arlies contenues dans les cordes ne diffèrent entre eux que d’une unité de l’échelle , d'où il suit qu’en adoptaut le mètre pour exprimer la longueur du rayon , cette Table donnera tous les arcs correspondants aux cordes dont les longueurs contiennent tous les nombres entiers de millimètres depuis i jusqu'à aooo.
Au point A de la ligne AB, faire un angle de ag" ia'.
Du point A , comme centre , et d’un rayon égal à 1000 parties de l’échelle , décrives l’arc indéfini BC\ prenez ensuite une ouverture de compas contenant autant de parties de l’échelle qu’il y a d’unités dans la corde de l’arc donné, c’est-à-dire 5o.{.; du point B comme centre et de cette ouverture, décrivez un arc qui coupe en C l’arc indéfini BC\ tirez AC, et l’angle BAC sera égal à l’angle demandé.
Si l’angle donné était de go° , la solution ne serait autre que celle qui consiste à élever une perpendiculaire à l’extrémité d’une ligue droite qui ne peut être prolongée.
Déterminer le nombre de degrés d’un angle tracé.
Soit l’angle BAC dont il faut connaître la mesure; du point A, comme centre, et d’une ouverture de compas égale à 1000 parties de l’échelle , décrivez l’arc BC ; prenez ensuite une ouverture de compas égale à la longueur de la corde de cet arc , que vous porterez sur l’échelle pour avoir le nombre de ses parties ; ayant trouvé , par exemple , rail, vous chercherez ce nombre daus la Table des cordes, ce qui vous donnera -4* 3a' pour la mesure de l’angle donné. "
Tablf. LXII. Pour trouver la latitude par l’Etoile polaire.
Celte Table contient la correction à faire à la hauteur vraie de l’étoile polaire , pour avoir la latitude du lieu , Problème XXII , page ign. Sa construction repose sur la formule
dll = co». P X D
dans laquelle P exprime l’angle horaire de l’astre, D sa distance polaire, et dll la différence entre la hauteur de l’astre et la hauteur du pôle , ou la latitude du lieu.
Table LXIII. Des angles que chaque rhumb de vent fait avec le méridien.
La boussole ou le compas de route , est l’instrument à l’aide duquel on dirige la route du bâtiment; il consiste en uue aiguille d’acier aimantée, posée en équilibre sur un pivot , de manière à pouvoir tourner librement dans tous les sens : celte aiguille tient à un cercle sur lequel on trace trente-deux pointes qui divisent la circonférence en trente- deux parties égales, appelées rhuntbs de vent ou pointes du compas. Le cercle ainsi divisé se nome rose des çents.
Pour plus d’exactitude , on divise chaque rhumb de vent en quarts , et quelquefois on ajoute à cette division celle des degrés. La Table LXUI sert à convertir les quarts de rhumbs de vent en degrés , et réciproquement.
Exemple i. On * couru au N. N. O. a® N. On demande l’angle de route.
Pour le N. N. O. la Table donne aa® 3o'
a® N. b retrancher — a o
Angle cherché ao 3o
Exemple a. L’angle «1e route e'tanl de 55* ■ 5* cl ta direction étant comprise entre le $. et l’Jfc. , on demande le rhumb de vent.
Direction de la route 55° i5*
Rhumb de vent le plut voi.in S. E. F. 56 1 5 Differente au S. i o
Rhumb de vent cherché S. E. \\ E. l" S.
Table LXIV. Nombre de milles nautiques contenus dans un degri de longitude sur chaque parallèle.
Cette Table contient en milles et centièmes , la valeur d’un degré de longitude sur tous les parallèles , de degré en degré , depuis l'équateur jusqu'au pôle : pour avoir celle qui correspond à un nombre de degrés et de miuutes , ou fera usage des parties proportionnelles. Nous avons dit page 4<)4i quelle pouvait être remplacée avautageusemeut par la Table L.
5oy
des Tables.
Tables LXV et LXVI. Pour faire le point.
Ces Tables servent à faire le point; on en trouvera îles applications dans les pages 35J . . . 3>j. Pour plusieurs cas ou peut aussi faire usage de la Table L. Voyez p. 4y4-
Table LXVII. Latitudes croissantes.
Celte Table a été calculée pour la .sphère , en centièmes de minutes, et pour chaque minute du quart de cercle ; c’est la plus complète qui ait été publiée : quoique dans la construction des cartes et plans hydrographiques ou soit obligé de tenir compte de l’aplatissement de la terre ( élément qui maigre tous les efforts faits et à faire pour sa . détermination, laissera toujours de l'incertitude sur sa vraie valeur), au lieu de donner une Table des latitudes réduites d’après un choix particulier fait parmi tous les aplatissements trouvés jusqu’à ce jour et qui sont compris entre un cent quatre-vingtième et un trois ccut quarantième , nous avons préféré le laisser à la disposition de nouvelles probabilités.
Pour obtenir les latitudes croissantes pour un aplatissement déterminé , diminuer la latitude sphérique de l'angle à la verticale , donné par la Table XIX et modifié d'après ce qui a été dit dans l’explication de celte Table, page 458, vous obtiendrez pour reste la latitude réduite, avec laquelle vous entrerez dans la Table LXVII, le nombre correspondant vous donnera la latitude croissante sur le sphéroïde.
Application. Construire le plan hydrographique d’un lieu situé entre les parallèles de 5o et 5i degrés de latitude, en adoptant ('aplatissement de Vin.
* Pour 5o° de Utitude , l’angle 'a U verticale, Table XIX est de il’ i8"G
5i° il est de n 1 4 • >
Angle moyen il i6.3
Pour ramener eet angle à l'aplatissement de ■/>,. , diminuez -le de la trcntc-unième partie de sa valeur ( nage 41'8 ) , c’est-à-dire de ai", 8 , vous aurez 10' 54",5 ou n' pour la quantité à retrancher de» latitudes sphériques de la Table LXVII , pour obtenir les latitudes réduites avec lesquelles cette Table vous donnera les latitudes croissantes demandées.
Table LXV1II. Temps nécessaire à un bâtiment pour parcourir un espace donné , la vitesse étant mesurée en nœuds de 45 pieds.
Prenez dans la première ligne horizontale supérieure de la Table le nombre de nœuds parcourus , puis descendez dans la meme colonne jusqu'au nombre de toises le plus approchant de celui qu’on a à parcourir , vous trouverez sur la même ligne et dans la première ou la dernière colonne de la page , le uombre de minutes cherche. Si le nombre de toises donné différait beaucoup de celui auquel vous vous êtes arrêté, après avoir pris la différence de ces deux nombres , cherchez parmi les dix premiers nombres de la colonne des nœuds parcourus , le nombre de toises dont le dixième approche le plus de cette différeure , vous trouverez sur la même ligne et dans la colonne des minutes , un nombre qui vous indiquera le nombre de dixièmes ou le nombre de fois (à* qu'il faudra ajouter au nombre de minutes déjà trouvé.
Exemple. On demande le temps nécessaire à un bâtiment qui file 8 nœuds et demi ou 8°, 4 i pour parcourir 2853 toises.
Dans la colonne 8", 4 on trouvera que le nombre a853 toises tombe entre le nombre 2772 et 2898 ; on s’arrêtera à 2772 , puis suivant de droite à gauche la ligne sur laquelle on s’est arrêté , on trouvera dans la colonne minutes , 22 pour le nombre de minutes : pour avoir le nombre de secondes , on preudra la différenée 81 entre le nombre donné et celui sur lequel on s’est arrêté , ensuite dans la même colonne on trouvera 882 , dont le dixième 88,2 approche le plus de la différence ; ce nombre correspondant à
5o8 Explication et usage
7 minutes , fait connaître qu’il faut ajouter 7 dixièmes ou 4* secondes an nombre 22 minutes. Ainsi 22“ 4a* est le temps nécessaire â un bâtiment qui file 8",4 Pour Par courir 2853 toises.
On peut aussi , au moyen de cette Table , déterminer le nombre de toises qu’un bâtiment peut parcourir dans un temps donné , connaissant la vitesse de son sillage.
Exemple. On demande le nombre de toises que parcourra un bâtiment filant 7",6, dans 54“ 36’.
Pour 7**, 6 et 54™, lâ Table donne 6i53.o
36* ou om,6 68.4
Nombre de toises demandé somme 6aai«4
Table LX1X. Pour le jaugeage des vaisseaux.
Cette Table, dont l’invention est de Borda, est assez exacte dans la pratique, pour donner une règle uniforme et générale de déterminer le jaugeage d'un bâtiment.
Suivant celte règle , on mesure la longueur depuis le trait extérieur de la râblure de l'étrave jusqu'au trait extérieur de la rabliire.de l’étambot , la largeur prise en dehors au plus fort du navire , enfin le creux depuis le dessus du pont supérieur jusqu’à la quille, où depuis le niveau des plats-bords, si le vaisseau n'est pas ponté, et on multiplie rcs trois dimensions l’une par l’autre ; on prend la largeur du navire aux endroits qui sont à un douzième de la longueur , en partant de la rablure de l'elrave cl de celle de l'étambot , et l'on prend le milieu entre ces deux largeurs mesurées vers les extrémités.
L’excès de la plus grande largeur au fort, sur cette largrur moyenne des extrémités, combiné avec la largeur au fort , fait trouver dans la Table un-diviseur qui est entre 84 et i3o: divisant par ce nombre le produit des trois dimensions, on a le nombre de tonneaux cherché.
Par exemple, pour un navire de 4o pieds de largeur au fort , si l’excès était nul , la Table, donnerait 84 pour diviseur; si l’excès était de 12 pieds, on trouverait xa3 pour diviseur.
Tables LXX , LXXI et LXXII. Réduction des angles; première, seconde et troisième partie.
Pour les explications et les usages de ces Tables, nous renverrons au Problème XL, Réduction à l'horizon, page 384 e* suivantes.
Tables LXX1II , LXXIV , LXXV , LXXVI et LXXVII,
Pour déterminer les hauteurs à l'aide du baromètre.
Des applications de ces Tables ont été données pages 43^---4a8.
Table LXXVIH. Des hauteurs du niveau apparent au-dessus du niveau
vrai , et des abaissements causés par la réfraction , depuis la distance de
20 mètres jusqu'à celle de 16000 mètres.
Consultez la page 4o3-
Tables LXXIX et LXXX. Réduction au méridien.
I-a construction et les usages de ces Tables sont donnés dans le Problème XLI , pages 388 et suivantes.
des Tables. 5og
Table LXXXI. Tableau général du système planétaire.
Ce tableau contient les principaux éléments du système solaire ; il peut fournir des renseignements que souvent il serait difficile de se procurer ailleurs.
On désigne sous le nom de planètes , tous les corps célestes qui sont doués d'un mouvement propre. Les uns , qui sont toujours visibles à l'œil nu , au uoinbre de six , dout les noms sont :
Mercure ; Vénus ; Mars ; Jupiter ; Saturne ; Uranus ;
qui , à l’exception de la première et de la dernière , sont employées dans la méthode des distances lunaires pour déterminer les longitudes terrestres.
Il y a aussi quatre autres planètes , que l'on ne peut apercevoir qu'à l'aide des lunettes ou des télescopes , et que l'on appelle , planètes télescopiques ; ce sont
Cérès ; P allas ; Junon ; Vesla.
De res dix planètes , les cinq premières sont connues de toute antiquité ; la sixième a été découverte par Herschc! en 1 781 , et les quatre dernières l’ont été au commencement de ce siècle par MM. Piazzi, Olbers et Harding.
Puisque les planètes tournent autour du soleil des orbes elliptiques , c’est par rapport au centre de cet astre qu'il convient de rapporter la position des planètes. De là , la distinction entre les positions géocenlriques et héliocentnqurs des planètes. Les premières sont censées observées du centre de la terre , et les secondes au centre du soleil ; au reste il est facile de passer des unes aux autres.
Des six planètes principales, deux, Mercure et Vénus, accompagnent toujours le soleil ; leurs plus grands écarts sont environ de ag* pour la première et de !fi" pour la seconde , ces écarts se nomment les plus grandes élongations. Dans leurs mou\ ciucnts autour du soleil , on les voit quelquefois passer sur le disque de cet astre , c’est pourquoi on a donné à Mercure et à Vénus le nom de planètes inférieures. De plus, comme ces planètes ne peuvent jamais être en opposition avec le soleil , ou y distingue deux sortes de conjonctions; les premières, appelées conjonctions supérieures , lorsque ces planètes ayant la même longitude que le soleil, sont au-delà de cet astre par rapport à la terre ; et les secondes conjonctions inférieures , lorsque ayant toujours la même longitude que le soleil , elles sont cn-dcçà de cet astre par rapport à la terre.
Pour les planètes Mars , Jupiter , Saturne et Uranus , comme elles font tout le tour du ciel , par rapport au soleil , elles peuvent se trouver en conjonction et en opposition. La conjonction a lieu lorsqu'elles ont la même longitude que le soleil , et l'opposition , lorsqu’elles diffèrent avec le soleil de 180" eu longitude. O11 a donné à ces quatre planètes le nom de planètes supérieures , parce que dans leur mouvement synodique , ou par rapport au soleil , qui est toujours rétrograde , elles passent au-delà de cet astre par rapport à la terre.
Les planètes , vues au télescope , présentant un disque plus ou moins grand , on a pu en mesurer les diamètres apparents, et l'on a reconnu qu’ils varient entre des limites assez éloignées par rapport à leur valeur absolue ( voyez le tableau ), ce qui indique déjà que les distances des planètes à la terre varient considérablement. On a de plus remarqué que les plus grands diamètres apparents ont lieu dans les conjonctions inférieures , pour les planètes inférieures, et dans les oppositions pour les planètes supérieures; et que les plus petits ont lieu dans les conjonctions supérieures, pour les premières, et dans les conjonctions pour les secondes ; il s’ensuit que les distances extrêmes des planètes à la terre ont lieu dans les conjonctions et dans les oppositions.
Des observations assidues , faites sur les planètes avec le télescope , ont fait distinguer , dans le voisinage de trois des planètes supérieures (Jupiter, Saturne et Uranus ) , plusieurs petits corps qui se déplacent continuellement.
On a donné à ces corps le nom de satellites , et l’on s'est assuré qu’ils tournent autour de chacune de ces planètes , exactement de la même manière que la lune autour de la terre. De plus , on a découvert successivement que Jupiter a quatre satellites , que Saturne en a sept et Uranus six.
5io
Explication et usage
Les satellites de Jupiter étant éclairés par le soleil comme les planètes, doivent être éclipsés toutes les fois qu'ils passent derrière le corps de la planète relativement au soleil , et c'est ce qui arrive toujours à chaque révolution pour les trois premiers satellites , parce que le diamètre de la planète est grand , et que les orbes des satellites ne sont inclinés sur l’écliptique que de deux ou trois degrés. Comme ces phénomènes sont instantanés pour tous les lieux de la terre , de même que les éclipses de lune , ainsi l’heure T. ai. de l’observation de ces éclipses , comparée à celle qui est calculée d’avance pour le méridien de Paris, insérée dans la Connaissance des Temps, fait connaître la différence qui existe entre ce dernier méridien et celui du lieu dans lequel l’observation a été faite. Par conséquent, ces éclipses sont très-utiles pour la détermination des longitudes terrestres. 11 est vrai que la pénombre , qui a lieu pour ces sortes d’éclipses , comme pour les éclipses de lune, laisse de l’incertitude sur cette détermination ; mais comme les éclipses des satellites de Jupiter peuvent être observées , toutes les fois qu'elles arrivent , pendant la nuit , et qu'il y en a quelquefois six dans un même mois ; eu prenant une moyenne entre plusieurs résultats obtenus , ou est conduit à avoir des longitudes assez exactes.
Table LXXXII. Formules et râleurs numériques employées dans ' les calculs lunaires.
Celle Table donne des valeurs utiles dans un grand nombre de circonstances.
Table LXXXIII. Valeurs des arcs de cercle en parties du rayon , en supposant le rayon égal à l'unité.
La valeur du rapport constant de la circonférence au ravon , est donné immédiatement par cette Table, jusqu’aux 27 premières décimales. La moitié de ce rapport se représente ordinairement par ».
D’où il résulte que le nombre » exprime encore la longueur de la circonférence dont le diamètre est égal à l'unité de longueur , ou celle de la demi-circonférence dont le rayon est pris pour unité.
Voici de nouveau , les valeurs de » et de son logarithme, exprimées jusqu’aux 10 premières décimales.
» = 3.i4t5g2 6536 log. 0.497149 8727 au moyen desquelles on a résolu les Problèmes donnés pages 4^7 • . . 4^9-
Cette Table fait connaître que l’arc a rectifié ou dont la valeur linéaire est de
<'■999999 999999 9^9 l89 331 9e* 246 qui ne diffère du rayon que de
0.000000 000000 o3o 810 GÔ8 o38 754 contient les nombres des degrés , minutes et secondes suivantes :
ou 5;* 17', 746770 7848 = 3437', 7467;0 7848 OU 57° 17' 44", 80624709 a 206264“, 8062.47 °9 1 le logarithme de ce dernier nombre est 5. 3i44a5 i33a celui de 36o° = 1296 000“ est 6. 1 ia6o5 ooi5
D’après les valeurs de l’arc a , il est évident qu’on pourra presque toujours les prendre pour l’arc qui , rectifié , est équivalent au rayon. On aurait pu déterminer cet arc en divisant 1S00 par le nombre ».
des Tables.
Applications de cette Table.
Exrmple I. Déterminer , avec huit décimales, b valeur linéaire d'un are contenant
170 4' I7"B'î 1.® lorsque le rayon r= t
*.° le rayon ^ 84*7
Pour 17® o' o’*o on a o.aj)^7nfif)7jS o 4 0.0 0.001 i(iîjr»i8
Exrmple a. Un arc est de a*4® 5a' 38',,57 f trouver * longueur avec dix décimales.
Poor 17 4 17.8 on a donc o. *9795582*5
Le rayon a 1 , longueur de l'arc 0.29795682 Multipliant par 84*7
Produit 2510.87309614 Ainsi , lorsque le rayon est de 84*7
la longueur de l'arc est de *510.8737
•râlement t moins d'un dix-millicroe».
Vole. La mullipliealim ne pourrait ce faire par logarithme, •piaulant que l'approximation ne aérait pas aussi (traoée.
Exemple 3. La longueur d'un arc est de 5.22784567 lorsque le rayon s 1. On demande le nombre des degrés.
