oo
o.oonoi45444io
on a 3.924850703963
Le rayon = 1 longueur de l'are 3.9*48507040 Multipliant par 85i58, 7
Produit 334235, 1836467248 O Yaleur demandée 334*35, 183647 fc moins
d'un millionième.
Exemple 4. L’arc rectifié est de t.583476a8, le rayon étant t ; on demande le nombre des degrés.
Arc donné Pour
on a 270°
Arc donné Pour
Reste
Pour
on a 29
Reste
Pour
o.on63553
on a
Reste
Tour
Reste
Pour
on a
Reste
Pour
o.ooo58456
on a 0
Reste
Pour
Reste
Tour
on a 0
Reste
Pour
on a
Reste
Pour
o.oooooo36
o.oooooo34
Reste
Pour
on a
Degrés
demandés
Nombre des degrés
Cetle Table donnant la valeur linéaire de l’arc de 90° ou du quart de la circonférence , il sera facile d’eu déduire celle d’un arc quelconque du système décimal, c’est-à-dire d’un arc exprimé eu grades et scs subdivisions.
En effet , de ce que 90° = 100 grades , on aura
100 grades = 1.570796 336794 896619 a3i3ai6ga 10 grades 0.167079 633679 489G61 923132169
1 gr. ou 100' = 0.0 1 57o7 9632G7 948966 iga3i3ai7 10' 0.001570 7g63a6 794896 619231321
etc.
Table LXXXIV. Logarithmes des nombres premiers , depuis 2 jusqu'à 1291.
Cette Table donne les logarithmes des nombres depuis 2 jusqu’à 1291, avec 30 décimales , par exemple :
log. 8=3 log. 2 ; log. 65 = log. 5 + log. i3 ; Iog. 91 = log. 7 + log. i3 Jog. i44 = 4Iog.a + 2log. 3; log. 36o = 3 log. 2 + 2 log. 3 + 1. 5 ; 1. ia36=aLa + I.3 + l. io3.
Si 2 Explication et vsa'ge
Si le nombre donné , plus grand que 1291 , peut être décomposé en faclenrs plus t
petits que 1291, il stifïira de sommer les logarithmes de ces facteurs, pour avoir celui -,
uu nombre proposé ; par exemple :
log. 57x3 = log. 5g + log. 97 ; log. 8993 = log. 17 + 2 log. 23. f
Enfin , si le nombre donné contient des facteurs nombres premiers plus grands que 1291 , on pourrait alors déterminer sou logarithme par la formule suivante :
log. (1 + x) = M (x + % a:* + % x3 - % xi + elc.) dans laquelle h
M = 0.434 294481 go3 201 827 f>5 et log. M = 9.637 786 3n 3oo53G 77817.
Table LXXXV. Diviseurs des nombres jusqu’à 5754.
Celle Table donne le plus petit facteur d'un nombre au-dessous de 5~54 . excepté les cas où ce facteur serait l’un des suivants; 2 , 3 cl 5 , parce que ces diviseurs se distinguent à la première inspection; en elTet, tout nombre qui finit par o, 2, 4» 6, 8 est divisible par 2 ; il l’est par trois si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 3; enfin il est divisible par 3, s'il finit par 5 ou par o. Tout nombre audessous de 5753, qui ne sera pas divisible par 2, 3 ou 5, et qui ne se trouvera pas dans la Table , sera un nombre premier.
Lorsqu’on veut avoir tous les facteurs d'un nombre, on le divise par le facteur donné par la Table , et l’on cherche de nouveau celui du quotient. Soit donné 53tig , en le divisant par 7 on obtient 767 , qui a le facteur i3 selon la Table. Le nouveau quotieat sera 5g , qui est un nombre premier , ou aura donc 536g = 7 X >3 X %•
Cherchons les diviseurs de I7o43o rn le divisant par 2, 3 et 5 , on obtient 568 1 , qui a le facteur i3. I.c nouveau quotient sera 437 , dont 19 est diviseur. Le dernier quotient est ?3, qui est un nombre premier: on aura donc iyo43o = 2. 3. 5. i3. 19. a3.
Le cube de 18 étant de 583a , il s'ensuit que dans l’étendue de la Table tout nombre dont le plus petit facteur surpasse 17 , n’en peut avoir que deux
Table LXXXVI. Lunette murale. Principales Etoiles Boréales et Australes dont la déclinaison est presque la même.
Nous avons déjà parlé de la lunette murale aux pages 55 et 278, et nous répéterons que la méthode (le déterminer la marche diurne d'une montre marine ou d’une pendule , par des observations de passages d’étoiles faites avec cet instrument, ne sera la plus s
simple et la plus exacte qui puisse être employée, qu'autant que la lunette sera réelle- *
meut murale , c'est-à-dire, qu autant une l'instrument aura une position immuable pendant toute la durée des jours employés à des observations faites sur les mêmes étoiles; ainsi il faut rejeter toute disposition de la lunette qui exigerait uu déplacement momentané.
11 est nécessaire de déterminer le champ ou l’étendue superficielle et circulaire que a la lunette embrasse , 011 y parvient en comptant le nombre de minutes et de secondes qu’un astre situé dans le voisinage de l’équateur met à parcourir le diamètre placé dans la direction du mouvement diurne, et de convertir ensuite ce temps en subdivisions du degré. Par exemple , si nous supposons que l’étoile <f d’Oriou a mis 3m 5a* à parcourir ce diamètre , la grandeur du champ de la lunette srra égal à ce nombre , converti en t
minutes de degré , c’est-à-dire qu'elle sera de 58' et par conséquent la moitié de ce champ de 29'.
Passons maintenant aux moyens que donnent la Table LXXXVI pour multiplier les observations; elle contient les étoiles des six premières grandeurs, rangées dans l’ordre de leurs déclinaisons boréales et australes , depuis o" jusqu’à 3o°; pour chaque étoile, on y trouve le nom de la constellation dont elle fait partie, puis sa grandeur, son ascension droite exprimée en temps , et sa déclinaison. D’où il suit que si une lunette murale, renversant les objets et aj-ant 58' de champ, se trouve installée de manière à ce que l'étoile de la constellation 4 Oriou de première grandeur , dont l'At droite
des Tables.
est de 5k 46” et 1* déclinaison boréale de 7" 22' , parcourt le champ suivant le diamètre parallèle au mouvement diurne , on pourra en conclure 1.” que la dérlinalsoD de IVloile d'Orion étant de 7" 22' et la moitié du champ de 2ij' , il arrivera que dans le mouvement apparent diurne au ciel , toutes les étoiles dont les déclinaisons seront comprises entre
7* 2a' - 29' = 6° 53' et 70 22' + 29' = 70 -5i'
traverseront le champ de la lunette de droite à gauche , et par conséquent pourront être observées, en remarquant que celles dont la déclinaison sera moins de 7“ 22' paraîtront au-dessus du diamètre , et que celle dont la déclinaison surpassera celte quantité sera vue au-dessous du même diamètre ; 2.“ que les passages de ces étoiles auront lieu dans le rang indiqué par leurs At, en commençant par la plus petite, et de plus, que les intervalles de temps entre les passages successifs seront dounés par les différences en iv.
Dans notre exemple, ces étoiles sont au nombre de 1(1, que nous allons écrire telles
Su’elles sont données dans la Table LXXXVI , c’est-à-dire rangées dans l’ordre de leurs éclinaisons ; puis nous placerons à côté , leurs ascensions droites , écrites dans l’ordre de grandeur ainsi que les différences successives.
Ordre des Déclinaisons et des 31 fi'ff •
Poissons . ...
ofc 54**
Lion. ......
Lion .......
ro 5a
Aigle. ......
19 aG
Hydre
Poissons ....
0 ia
Omoif. .....
7 aa
Licorne
Vierge
IO
Vierge
Hercule. ....
iG 4a
Lion. . ..... .
9 aS
Baleine. ....
Pifgate
Tegaie
Lion..
10 aG
oV xa"*
3 XQ
1 1 ta 11 37 11 5a 16 4a 19 aG
3 27 o 38 a 14 o 5o o 58 o 26 o ao o a5 o j5
Dans la première partie du tableau précédent, la septième étoile est celle qui, dans son passage observé , parcourra le diamètre parallèle au mouvement diurne ; les six étoiles qui la précèdent passeront au-dessus, et les neuf étoiles qui la suivent, paraîtront au-dessous de ce diamètre.
La seconde partie contenant les » et leurs différences, donne l’ordre des passages ainsi que les intervalles tic temps qui s’écouleront entre eux , 1^5 46 précédée de * étant celle de l’étoile qui parcourra le diamètre, le passage précédent aura lieu J* 27“ avant , et celui qui le suivra o1” 38“’ après. ;
De ce qui' précède, il est facile de voir tout le parti que l’on peut tirer de la Table LXXXVI.
Table LXXXVII. Temps à ajouter à l'établissement du Port, pour trouver l’heure de la pleine mer ; et Table LXXVIH. Heures de la pleine mer, les jours de la nouvelle et de la pleine Lune.
Les usages de ces Tables ont été donnés aux pages 368 et 36g.
Tables LXXXIX , XC , XCI et XCII.
Voyex pour les applications de ce» Tables, les exemples qui ont été donnés p. 36g et 37$;
Explication et usage
Table XCIII. Heures , Minutes et Secondes , en décimales du jour.
Exemple i. Trouver le» décimeles du jour t correspondantes h i3k 25“ »8%
Exemple a. On demande 1a fraction jour, correspondante à i* 48"* 35%
décimale du
Pour i3fc o" 0*
on a 0.54167
Pour i* o® 0* on a
o.oi~36
o.ooou3
Pour i3 25 18
la Taille donne 0.55923
Pour * 48 35 la Table donne
Table XCIV. Pour réduire les décimales du jour en Heures, Minutes
et secondes.
Exemple I. Trouver le» henre» , minute» et seconde» correspondante» à la fractiou do jour 0.654$.
Pour o.65oo 0.0040 0.000$
Tour 0.6648
on a
la Table donne
îS1* 56°' o o 5 45.6 O 1 9.11
»5 4? 54. ra
Exemple a. Trouver le» henre* , minute» et seconde* équivalentes à U fraction de jour 0.7359.
Pour 0.7300 on a
o.ooSo 0.0009
Pour 0.7359 la Table donne
*7fc 3 1 m iî* o 7 ta o 1 12.76
Table XCY. Correction du lieu de la Lune , trouvé par les parties
proportionnelles.
Dans le calcul des observations, il faut continuellement employer la règle des parties proportionnelles , pour réduire les cléments fournis par la Connaissante des Temps à un instant proposé ; par exemple , lorsqu'il s’agit de déterminer la longitude de la lune pour un instant t + C , l étant l’époque de la Connaissance des Temps correspondante à la longitude L' qu'elle donne et qui précède immédiatement cet instant ; si l'on suppose que la lune soit animée d’un mouvement dans son orbite , qui soit tel qu’elle doive parcourir des espaces égaux en longitude dans des temps égaux; il s'en suivra que si V est l’espace qu’elle a parcouru dans une unité de temps (uuo seconde, par exemple J, elle décrira 2 V pendant la durée de deux unités de temps , 3 V au bout de trois unités et ainsi de suite. La lune ayant déjà parcouru uniformément un espace L' à une époque t , avant qu’un temps G’ soit commencé , la longitude de la lune dans celte hypothèse sera L' + Cr à l’instant /+ C, e’est-à-diro sera formée de ce qu’elle était à l’époque /, augmentée de sa variation uuiforme , correspondante au nombre C de secondes de temps.
Mais il est facile de s’assurer que les longitudes de la lune , données de 1a1, en ia11, ainsi que d'autres éléments astronomiques fournis par la Connaissance des Temps , ne varient pas proportionnellement au temps ; d’où il résulte que cette supposition ne pourra être faite, qu'autant que 1rs résultats à obtenir n’exigeront pas une plus grande précision. Dans le cas contraire, il faudra tirer les éléments que donne la Connaissance des Temps, par le moyen des interpolations , ou au moins corriger les éléments obtenus par les parties proportionnelles , en se bornant au cas des différences secondes. ( Mouton , né à Lyon , en 1618 , est le premier qui, dans un ouvrage publié eu 1670, montra l’usage des interpolations ).
On parvient à trouver la correction des différences secondes, en supposant que la cause qui fait mouvoir la lune dans son orbite puisse , par sa nature , lui imprimer à chaque instant une nouvelle impulsion ; si ces impulsions produisent sur sa longitude des effets constants, la lune, après l'époque t , acquerra dans une unité de temps la même vitesse qu'après toute autre époque l'.
Ainsi en représentant par V , l’espace en longitude parcouru dans l'unité de temps qui M termine à l'époque I , et par c , celui quelle acquiert dans chaque unité par la force
des Tables. Di5.
accélératrice ; l’espace parcouru dans la première unité qui suit l'époque t sera V + p
la seconde unité F + a p
la troisième unité F + 3 p
la C* unité
F + Ce
Ces espaces forment donc une progression arithmétique dont le nombre des termes est égal à celui des unités de tenrps contenues dans le nombre d'heures C; d’où il suit que l’espace total parcouru pendant le temps C , sera la somme des termes de cette progression , c’est-à-dire
CF + (£> a- C) p.
Ainsi la longitude par l’équation
de la lune à l’instant t + C, étant représentée par y, sera donnée
y = v + cf + (c* + c) x p , (0
Celte équation ne nous donnera la longitude demandée qu'autant que nous y aurons substitué les valeurs de F et e , qui dois eut dépendre nécessairement des longitudes données pour les époques qui précèdent et qui suivent l’instant t + C , ainsi pour parvenir à les déterminer, nous remarquerons que i’équalion (i) doit subsister quelle que soit la valeur de C, et par conséquent qu’elle doit taire retrouver la longitude de la lune , telle que la Connaissance des Temps la donne pour le midi et le minuit de chanue jour , en y faisant successivement C c^al aux nombres des heures propres à donner les époques des Tables qui précèdent et qui suivent l'instaut t + C. Ces époques étant séparées
Far des intervalles égaux , que nous exprimerons par A , cela se réduira à faire dans équation (l)
Pour avoir les longitudes qui répondent aux époques.
/ + A t + aA
on aura /. = L' - A V + ( A’ - A ) % p L' = U
L “ = L' + AF + (A> +A) % p L"'= A' + aAF + {4A> + aA),/£e
Si nous retranchons chaque équation de celle qui la suit , nous aurons les différences premières entre L, L' , L“ et L'", qui, étant exprimées par U , D' , D"
donneront L' — L = I) = AF — ( A* — A ) % e L" - L' = W = AF + ( A» + A ) 54 p IJ" - L" = U“ * AF + (3A* + A ) % p
Dans ces dernières éaiialions retranchant pareillement chaque équation de celle qui la suit , nous aurons les différences secondes
Ces différences sont égales, d’après l'hypothèse de laquelle on est partie ( dans la pratique , lorsque cette condition n’est pas remplie , on en prend la moyenne arith métique ) ; tirant de la première la valeur de v , ou aura
p = — — — ou en représentant le numérateur par B , t = -qrp A* "
Pour avoir la valeur de F, il suffit de substituer celle de t dam l’nue des valeur! de D, D' ou D".
Celle de D' donnera
