CD.DE.c 0 sD
AB := 1 / < j aDE.EA.cosE ,
2BC.DE.cos(C 4“ U)
4 2 CD.EA.cos(D — E)
+ 2BC.EA:cos(C'+ D
On pourra de même snbstitoer au^ autres problèmes généraux donnés précédertlmeijt^ des ^problèmes plus généraux encor^f^^Il siiffira , pour y parvenir, de substituer au mot polygone ces mots: Système de plusieurs droites assujetties à se couper successivement, de manière que la dernière vienne rencontrer la première à son origine, et aux mots angles rentrants ou ^aÿlan^, ces mots angles de déviation positive, cya néga’
De cette manière , tous les problèmes dç^ la figure 88 pourront s’appliquer à la figure,, 94» et tous ceux de la figure 90 à la figure 96, qu’il soit besoin de multiplier inutilement les exemples ^ il sera seulement utile d’établir quelques règles générales auxquelles la diversité des cas peut donner lieu.
iPROBEÈMFÜi •
I ■ Il -f I
, , Règ^ première. ^ . f.
Quand les angles dé déviation n'cnlrcnl dans l’expression de la valeur d’une inconnue , que pur leur' cosinus^, le signe de ces angles est absolument indiffèrent, puisque oos A s cos — A; niais' quand les’’ dcviatkois sei^ontt, les -sommes de plusieurs autres , il faudra conserver à chacune son signé ,^‘pliîSque cos(A-f-B) n’est pas la même chose que oos(A-pB)^ hous avon^deja vu unCj application de cette règle dans les deux exemples qui ont suivi le nouvel énoncé du premier problème général. j f •- ■ • /
»;| t ■ ■■ -u/i, VI • • ; r ^ '
. i Règle seconde. , .
Quand les angles de déviation n’entrent que par leur sinus dans la valeur d’un côté ou d’un angle inconnu, le signe des déviations est encore indifférent, tant qu’on n’a pas à combiner par addition des déviations de signe contraire , et les différentes hypothèses ne pourront changer que le signe du résultât; ce signe indiquera la direction du côté ou le sens de la déviation de l’angle conformément à l’hypothèse à laquelle on se sera arrêté, «c. 95, Pour foire une application de cette règle, supposons que AE, ED, DC et CB étant quatre che-
POUR LES^AHPEÎITEÜRS.
mios connus, par leur longueur et par les angles £,
D et C qu’ils fornaen^,' ÎP làillc tracer un chemin qui jo^ne en ligne droite les points A et B. ,
Il est clair que toutiSe réduit à connaître Fangle CBA; or, on peut appliquer à celte question toutes les formuler qui so rapportent à la* fîg.igo, et on aura comme dai»< le problème XL »1
, r t'iozti'" 1' . u> ♦> '
^ ' irSa (8-^ A) HO'* r.
CD sin G *4" DEsin(C "!■ D E)
BG + CD cosC 4- DE cos ('C -f- î>) + EA cosYc -f- D — E)*'
’ f ! r*i.b C'î.tr: oh r tütijifrfq?
Ayant regardé ici comme positive la i déviation?^ en C, et la déviation en B étant du même genre; ^ si la valeur de tang ABC est positive , l’angle ABC sera plus petit qu’un droit, et il sera plus grand si cette valeur est négative; ces résultat^ s’accordent avec ceux de la figure go. ^ ,,
Nous supposerons , pour second exemple, que,,, dans le tracé du chemin demandé, on •veuille aller > de A vers B; il e^t clair. qu’il faut alors déterminer l’angle EAB. 4, d
En appliquant ici la formule relaüvoà la figure 90* duproWémeXI, on aura > ‘'•'i * 1 » i • =
il) .i'- . . ! , d • • ■
tang BAE =
ED sin( — E) -I- DC sin (D — E) 4- CB. sin (,C -f- D — E)
AE -f- ED cos E + DCTos (D — E) -f- CB cos (C + D — E> ’
ga PROBLÈMES
et, à la diflfêreDce de l’exemple précédent, l’angle BAE sera plus grand ou plus petit que go”, suivant que cette valeur de tang BAE sera positive ou négative; cette différence entre le résultat présent et celui de la figure go, tient à ce que, dans cette dernière , la déviation en A et la déviation en E sont de nature différente. , i . .
On voit, I dans ces deux .exemples, qu’on peut également prendre en sens contraire les deux déviations en C et en E, en changeant tous les signes dans les expressions des angles soumis à la caractéristique sin, c’est-à-dire en écrivant
Mn( — C), •in( — C — D), sin ( — C — D-f-E),
pour le premier exemple, et
sioE, sin(E — D), sin(E — D — C),
pour le second ; les tangentes prendront alors un signe contraire, ce qui est conforme à la nature des angles qui ont changé le sens de leur déviation.
Règle troisième. ‘ '
Quand on considère ces systèmes de plusieurs droites , dans lesquels deux quelconques non consécutives se rencontrent , comme dans la figure g4 où la ligne DC rencontre la ligne AB en x, et dans
POUR LES ARPENTEURS. g3
la figure g 5 où la ligne DE rencontre de même la ligne AB en x, on ne doit pas appliquer la solution du quatrième problème général dans lequel on cherche l’aire , car au lieu d’avoir la somme des aires opposées au point de rencontre x on aurait leur différence ou le résnltat que l’on obtient lorsque de la somme des aires dans lesquelles les ^ déviations prises négativement répondent aux ao^es extérieurs des angles 8 aillans,''on> retPM)c^ -la somme de celles dans* lesqueffes lès ani^eSv extérieurs des angles saillans coïncident areo lès- ^ viations positives. Par exemple, l’expression l t
i [BC.CDsinC+CD.DA.sinf— D) + BC.DA sin (C—D)],
appliquée à la figure 94, indique la différence' des aires BCx et xDA.
Mesure des Folygones au moyen une hase.
Proposons-nous maintenant ces problèmes :
, Étant donnés : un côté d'un polygone et les angles que fait ce côté avec les diagonales menées par ses extrémités et avec les côtés contigus; trouver la surface, les côtés et, les angles inconnus. • t
PROBLÈME I
Trouver la surface. ' . r
iHiisi-r; ’ « ’ ■
■ SOLÜTIOK.
■J tr‘. 'J .jU > :u. > » I ’o.’’ ’> ■ ' ■ •
' On partagera id’abord lé'jioljrgonc en triangles qai aient toils^ leur somttiet^*à'î*üne des extrémités dû fcôté^ue Poh prend poU^ base. *
\ CMr déterminera ensuîtfe ,^'par le moyen que nous* allcms enseigner tont à Theare, l’expression générale de chacun de' ces triangles.
•Enfin, on combinera ces triangles par addition ou ‘par soustraction, selon qu’il conviendra à la fîgére du polygone.’Tout cela va s’éclaircir par des exemples.
- • Exemple I.
^ Soit donnée, la .base AB du:>polygone ABCDEF dont tou^ les.an^es spnt saillans, et soient aussi
donnes tous les anglesiqne ! font avec, cette base les deux côtés contigus AF , BC et les diagonales AC, AD, A£, BD, BE, BFj il suit immédiatement de là:
i®. Que le polygone sera divisé én triangles BCD, BDE,BEF, BEA, qui auront tous leur sommet
POUR LE§ AR^EfiTEURS. g5
eu B; ou bien en triangles ACB, ACD, AED, AFE qui auront leur sommet ea A..> ;
a”. L’expression de la surface de l’un quelconque de ces triangles, du triangle BDE par exemple, s’obtiendra en multipliant la moitié du carré de la
base AB par une fraction dont le numérateur sera le produit des, s4iq?(,dcs. qptgks que foot avec la base AB et à,jl,’eft{',éu^t^.A>4'B ce|te:base qui n’est pas le sommet du triangle ,, les,^ diagonales PA,'EA qui, passent par dea)((.qngle$ 4u tri^ngle^iet dent le dénominateur sera le .produit des sinus des angles que font les mêmes diagonales DA,iEA;avec les côtés DB et £B , cette fraction étant encore multipliée par le sinus de l’angle que font entre eux les deux côtés , du triangle qui partent du point B; ainsi l’aire DBE sera . - »
AB
' sinDAB siii EAB sin ADB sin AEB
sin DBE.
Cette expression se- simplifie "'pour le triangle dont un des côtés est'^là bàse 'AB,^'^par exemple
pour le triangle FBAj dOBIt l’aire”’ ’ ^
,i ) .tJ , 1/ 3 /n.A*
* sînAFB
s’obtiendra en multipliant la moitié du carréide AB par le produit des sinus des angles qui lui sont ad-
jaccns, et en divisant par le sinus de l’angle qui lui est opposé.
. 3«. Ajoutant maintenant les aires des triangles BCDjBDE, BEF, BFA, on aura pour l’aire du polygone ABCDEF ,
sin CâBsîd DAB sin CRD sinACBsiaADB
sin DAB sin EAB sinDBE sioADBsikAEb sin EAB sin FAB sin EBF sin AÜB sin AFB sin FABstnFBA . sin AFB
En ajoutant les triangles ACB, ADC, AED, AFE, on trouverait cette autre expression de la meme aire.
i AB X
sin
CBAsinCAB sin BCA
si n CBA sin DBA sin CAD sin BCA sin BDA sin D BA sin EBA tin DAE sin BDA sin BEA sin EBA sin FBA sinEAF sin BEA sin BFA
Exemple II.
Soit donnée la base du polygone ABCDEF dans tio. g?. lequel l’angle DEF est rentrant ; si de tous les angles de ce polygone on naéne au' point A les droites CA, DA, EA, et au point B les droites DB, EB,
FBj l’aire du polygone sera la somme des aires CBD, DBE, EBF et FBA, ou l’excès fle la somme des aires CBA, DCA et FEA sur^l’àire EDA, en sorte qu’on aura pour l’expression d^ cette aire
sin CAB . sin DAB . sin CBD
