AH

AB

Fig. 6 L'inégalité devient donc en divisant

les deux membres par 2,

AC — AH < o«ooo5, et divisant tous les termes par K valeur du rayon cherché,

AC AH o,ooo5

T "" "r" "^ "IT"

AC

Or ^ est la longueur de Tare qui mesure l'angle AOH dans^

AH le cercle de rayon égal à Tunité ei -^ = sin AOH ; donc,

comme la différence entre un arc du premier quadrant et son

sinus est moindre que le quart du cube de Tare, on a:

AC AH ^ÂC'

Il en résulte que si l'on trouve une valeur de R satisfûNmt à l'inégaUté

AC o,ooo5

elle satisfera a fortiori & l'inégalité (1) et par suite, à la pro< posée.

BÉSOUmûN DE CiDELQUES PROBLÈMES. 5l

Remplaçant AG par sa valeur 40 et résolvant par rapport à R, on tire de l'inégalité (2) :

4Xo,ooo5 d'où

R ]> '/sâoooooo.

Effectuant il vient :

143. Problèice IX. — Établir la relation qui existe entre les cosinus des trois angles d'un triangle.

De la relation

A + B + C=i8o% on tiro

cos A = — cos (B4- fî) ; ou

cos A = — cos B cos G + sin B sin C, d'où

cas A -]*'Cos F cos G = sin B sin C.

Élevant au carré les deux membres de Tégalité et remplaçant sin* B, sin* G par leurs valeurs respectives i- — cos*B, ir-cos*C, il vient :

cos*A+2COsAcosBcosG+cos*Bcos*C=(i— cos*B)(i— cos*G)

d*oii effectuant et simplifiant :

cos* A + cos*B + cos* G 4- a cos A cos B cos C = 1.

Telle est la relation demandée.

144. Froblàme X. •— Rendre calculable par logarithmes la somme

I sinA+sinB + sinC

A, B, G étant les trois angles d'un triangle.

On a:

. . , . ^ . /A + B\ /A-B\ «m A 4- sm B = 2 sm 1 — • — I cos I J

(A. 4- B\ /A 4- B\ — ^J cos I— ^1

ionc:

$înA+smB+8inC==asin(--i-J|co8(— ^j+

Or

sin — • — =cos-

car ' est le complément de *

et d'autre part :

cos

/iZ^)+C0s(^)=:2C0S-C0S-,

ionc on a enfin