On coupe une sphère par un plan qui détermine une

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE. l5l

calotte sphérique dont la surface est égale aa quart de la surface de la sphère : calculer le rapport du volume du segment de sphère ayant pour base la calotte, au volume de la sphère.

63. Etant donné un demi-cercle de rayon R terminé par le diamètre AB, trouver la distance AD telle qu'en élevant la perpendiculaire DG sur le diamètre et menant les cordes AC, BC, le rapport de la somme des volumes engendrés par les segments AMC, BNC au volume engendré par le triangle ACB, lorsque la figure tourne autour de AB, soit égal à un nombre donné m.

64. On donne une demi-circonférence terminée par le diamètre AB ; on prolonge celui-ci d'une longueur BG égale au rayon; du point G on mène la tangente CD et Ton abaisse DH perpendiculaire sur AB. On suppose que la figure tourne autour de AC et Ton demande de calculer le rapport du volume engendré par le demi-segment de cercle BDH au volume de la sphère engendrée par le demi-cercle.

65. On donne une sphère de rayon R et un diamètre AB, mener le plan GHD perpendiculaire au diamètre de telle sorte que le volume du segment de sphère DBG soit égal à m fois le volume du cône ADG.

66. Etant donnée une demi- circonférence terminée par le diamètre AB, mener une corde AG telle que faisant tourner la figure autour de AB le volume engendré par le segment circulaire AMG soit égal à m fois le volume engendré par le triangle rectangle AGD, CD étant une perpendiculaire abaissée du point G sur le diamètre.

67. D'un point A extérieur à une circonférence de rayon R, on mène la tangente AG et le diamètre BD ; on joint OC et Ton abaisse GH perpendiculaire sur BD. Calculer la longueur OA sachant que si Ton fait tourner l'a figure autour de AD, le volume engendré par le triangle OGA est égal à la différence des volumes engendrés par les parties du demi- cercle déterminées

par la perpendiculaire GH.

68. Etant donnée une demi-circonférence de rayon R terminée par le diamètre AB, mener les cordes GA, GB telles que si Ton fait tourner la figure autour de AB, les volumes engen-

drés par les segments de cercle AMG, BNC et le triangle AGB, soient en progression géométrique.

69. Les lettres a, b, a\ V désignant quatre nombres données, déterminer la valeur de x pour laquelle la somme

(ax + Vf + {a'x + Vf est minima.

70. Trouver le minimum de la somme â?'-|-5^* sachant que X + y = a.

. 71. Trouver les valeurs dex et de y pour lesquelles ax-^-hy est maximum, sachant que a?* + î/* + ^2/ = ^*

72. Partager un nombre a en deux parties telles que si on multiplie respectivement ces deux parties par deux nombres donnés m et n la somme des carrés des produits ainsi obtenus soit minima.

73. Démontrer que quelle que soit la valeur attribuée à x^ la fraction

est toujours positive.

74. Déterminer les limites entre lesquelles peu^« varier la fraction

75. Trouver la relation qui doit exister entre a et a' pour que le maximum et le minimum de la fraction

x^-^2ax'\- i

soient égaux et de signes contraires.