On donne le rayon de base d'un cône, calculer l'apo

ia8 PROBLÈMES DE MATHÉMATIQUES.

thème sachant que le rapport du volume du cône à celui de la sphère inscrite est égal à un nombre donné K.

42. Exprimer le volume de la sphère inscrite dans un cône dont on donne le rayon de base et Tapothème.

43. Calculer les rayons des bases d'un tronc de cône circonscrit à une sphère donnée et dont le volume est double de celui de la sphère.

44. Etant donné un demi-cercle terminé par le diamètre AB, trouver sur ce diamètre un point P tel que si Ton élève la perpendiculaire PC et que Ton mène les cordes AG, BC, la somme des volumes engendrés par les segments de cercle ainsi déterminés, en tournant autour de AB soit la niène partie du volume de la sphère engendrée par le demi-cercle.

45. On donne le côté a d'un triangle équilatéral ABC et Ton demande à quelle distance du côté BG il faut lui mener une parallèle pour que le volume engendré par le triangle ABG tournant autour de cette parallèle soit équivalent à celui d'une sphèro de rayon donné a.

46. Étant donné une sphère et un diamètre AB, mener un plan perpendiculaire à ce diamètre de telle sorte que la surface de la calotte sphérîque dont le sommet est en A soit égale à la surface latérale d'un cône ayant pour sommet le point B et pour base, la base de la calotte sphérique.

47. Calculer la distance du centre à laquelle il faut mener un plan coupant une sphère, pour qu'il existe entre les volumes du segment déterminé par ce plan et du secteur sphérique correspondant un rapport donné m.

48. Calculer les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle ABC connaissant Thypoténuse BG et sachant que le volume engendré par le triangle tournant autour du côté AB est double du volume engendré par ce même triangle tournant autour du côté AG.

49. On donne un rectangle ABCD dans lequel AB = a, BC = J et Ton mène les diagonales qui se coupent en 0 : évaluer les

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE. 12g

Tolumes engendrés par les triangles AOB, GOD tournant autour deAB.

50. Dans le demi-cercle AGB, on mène la corde DE parallèle au diamètre AB et à une distance de ce diamètre égaie à - .

Evaluer 1q volume engendré par la partie de cercle comprise entre AB et DE lorsque la figure tourne autour de AB.

51. On donne un triangle isocèle dont la base fiG = a et la hauteur AD=ft, on mèneEF parallèle à BC, on joint le milieuD de la base aux points E et F et Ton fait tourner la figure autour de ^C : calculer la longueur de EF sachant que le volume engendré par le triangle AEF tournant autour de BG est égal au double du volume engendré par le triangle EDF tournant également autour de BG.

52. Sur le diamètre AB d*un cercle de rayon R on prend AC =0?; au point G on élève la perpendiculaire GD qui rencontre la circonférence en D et l'on achève le rectangle AGDE. Galcu- 1er la valeur ûexde telle sorte que si Ton fait tourner la figure autour de AB, le rapport du volume engendré par le demi-segment de cercle ACDM au volume engendré par le rectangle AGDE soit égal à une quantité donnée K.

53. Etant donné un triangle équilatéral de côté a, on mène une droite AD du sommet A à un point D du côté opposé BG et Ton demande de calculer les deux longueurs 'BD=x^ BG = ij de telle sorte que le volume engendré par le triangle ADB tournant autour du côté AB soit égal à quatre fois le volume engendré par le triangle ADC tournant autour du côté AG.

54. Un triangle équilatéral ABG de côté a tourne autouid'une droite AX menée dans son plan par le sommet A et faisant avec le côté AB un angle de 45^ : calculer le volume engendré par le triangle tournant autour de AX.

55. Etant donné un cercle de rayon R, par l'extrémité A du diamètre AB on mène une corde AG et par l'extrémité G de cette première corde, une seconde corde GD parallèle au diamètre AB. On mène ensuite les rayons OG et OD, puis on fait tourner la figure autour du diamètre AB. Calculer la projection

l3o PROBLÈMES DE MATHÉHATIQUES.

AE = â? de la corde AG sar le diamètre AB de telle sorte que le volame engendré par le triangle GOD soit égal aa volume engendré par le segment AMG.

56. Etant donné un demi-cercle de rayon R, calculer la longueur de la corde GD parallèle au diamètre AB de telle sorte que si Ton fait tourner la figure autour de ce diamètre, la somme des volumes engendrés par le trapèze AGDB et par le segment de cercle GHD soit équivalente aux trois quarts de la sphère de rayon R.

57. Etant données deux sphères concentriques de rayons R et R'f calculer le volume compris entre les deux sphères et deux plans parallèles menés à des distances données de leur centre commun.

58. Etant donné un triangle rectangle en A, mener au côté AB une parallèle PQ telle que si Ton abaisse du point Q oh elle rencontre Thypoténuse, une perpendiculaire QR sur le côté AB, le volume du cône engendré par le triangle BQR et le cylindre engendré par le rectangle APQR lorsque la figure tourne autour de AB, soient dans un rapport donné m.

59. On donne le rayon R d'une sphère et un diamètre AB de cette sphère, calculer sur le diamètre la distance AI telle qu'en menant par le point I le plan GID perpendiculaire à AB, le volume de la tranche AGID soit équivalent à celui d'un cylindre qui aurait pour base le cercle GD et pour hauteur la droite EL

60. Etant donné un demi-cercle décrit sur AB = 2R comme diamètre, mener une corde CD parallèleàAB telleque si la figure tourne autour du diamètre OP perpendiculaire à AB, le volume engendré par la surface comprise entre les lignes OB, OP, PD et l'arc de cercle BD soit au volume du tronc de cône engendré par le trapèze OPDB dans un rapport donné m.

61. On donne le rayon d'une sphère : déterminer sur le dia» mètre AB la distance AI de façon qu'en menant par le point I le plan GID perpendiculairement à AB, le rapport de la tranche AGID au volume engendré par la rotation du segment de cercle AMC autour de AB soit égal à un nombre donné E. ^