II. I
» système, et supposons qu'on leur ait imprimé les mou- » vemeuts JL, ill. G, etc., qu'ils soient forcés , à cause de » leur action mutuelle, de changer dans les mouvements » a, i, c, etc. Il est clair qu'on peut regarder le mouve- )) ment Jlo imprimé au corps A comme composé du mou- )) vement a qu'il a pris et d'un autre mouvement a ; qu'on » peut de même regarder les autres mouvements ift, » G, etc., comme composés des mouvements i, jS; c, » X, etc.; d'où il suit que le mouvement des corps A, » B, C, etc., entre eux aurait été le même si , au lieu de » leur donner les impulsions X , ift) , 8 , etc. , on leur eût » donné à la fois les doubles impulsions a, a; i, /3; c, T) K 5 etc. Or, par la supposition, les corps A , B , C , etc., )) ont pris d'eux-mêmes les mouvements «, è, c, etc.; » donc les mouvements a, |3, x, etc., doivent être tels, » qu'ils ne dérangent rien dans les mouvements a, i, » c, etc., c'est-à-dire que si les corps n'avaient reçu que » les mouvements a, j3, x, etc., ces mouvements auraient » dû se détruire mutuellement, -et le système demeurer » en repos.
» De là résulte le principe suivant, pour trouver le mou- » vement de plusieurs corps qui agissent les uns sur » les autres. Décomposez les moui^ements X, ift). G, etc, » imprimés à chaque corps, chacun en deux autres a, a -, » J, j3; c, x; etc, qui seront tels, que, si Von n^eût im- » primé aux corps que les mouvements a, è, c, etc. y ils » eussent pu conserver 4pes mous^ements sans se nuire ré- » ciproquement^ et que, si on ne leur eût imprimé que » les moui^ements a, j3, x, etc^ le système fût demeuré » en repos; il est clair que a, i, c, etc, seront les mou- » s^ements que ces corps prendront en vertu de leurac- » fzow. Ce qu'il fallait trouver. »
Il parait qu'avant d'Alembert, Fontaine avait aperçu le principe qui nous occupe; car dans la Table des Mé-
moires de Fontaine, qui précède son Traité de Calcul différentiel et intégral {;j^, 3)j nous trouvons qu'il avait communiqué ce principe à TAcadémie en 1739. Toutefois, les idées de Fontaine sur ce sujet ne furent publiées que longtemps après Tapparition du Trai\ê de Dynamique^ et d'Alembert a certainement Thonneur d'avoir montré la merveilleuse fécondité du principe* Une des plus belles applications qu'il en fit eut pour résultat la solution complète du problème de la précession des équinoxes , problème qui jusqu'à cette époque avait résislé aux efforts réunis d'un grand nombre de géomètres et de Newton luimême.
On peut encore voir l'origine de la découverte de d'Alembert dans un Mémoire de Jacques Bernoulli publié en 1686 dans les Acta eruditoruniy sous le titre : Natratio contro{fersiœ inter Dn. Hiigenium et Abbatem Catelanwn agitatœ de centra oscillationis, etc. (*). Il s'agissait du pendule composé. Bernoulli commit une méprise dans la solution^ néanmoins il montra comment un problème de dynamique peut se ramener à un problème de statique . ce qui est le fond de la méthode de d'Alembert (*) *
(') Jacques Bernoulli, Opéra, t. I, p. 377.
(') Voici le raisonnement de Bernoulli :
Soient A , A' deux poids égaux liés à une droite rigide et libre détourner dans un plan vertical autour de son extrémité ; le premier de ces poids sera le plus éloigné de l'extrémité fixe. Le système étant écarté de la verticale» on l'abandonne à lui-même. Soient r et r' les distances des poids au point de suspension y v et v' les vitesses de ces poids correspondances à une position du système choisie à volonté , u et u' les vitesses qu'auraient ces deux eofps aux mèmet points s'ils étaient descendus dans les jnèmes circonstances initiales en formant chacun un pendule séparé. La liaison du système a fait acquérir au corps A la vitesse f — u , et au corps B la vitesse négative — (u' — f') ; or ces vitesses acquises doivent se faire équilibre en vertu de la liaison,' laquelle constitue un levier; donc V — tt : u'— v' :: r': r. Telle est la relation qui détermine le mouvement du système.
Si Bernoulli eût remplacé les vitesses acquises pendant un temps tini
4 MÉCANIQUE HATIONNELLE.
On trouvera de plus amples développements sur ce point de l'histoire des sciences dans la Mécanique analytique de Lagrange, II® partie, i*^** section, et dans Y Histoire des Mathématiques de Montucla, IV® partie, vu® livre, §3, etV* partie, m* livre, § 4- Dans les Traités modernes, on énonce le principe de d'Alembert sous Tune des formes suivantes :
Lorsquun système matériel est en mouvement sous l ^action de forces quelconques, les forces qui seraient capables de produire le mouvement observé ^ si tout le système était libre, font équilibre, en vertu des liaisons, aux forces réellement appliquées prises en sens con^ iraires,
Lorsquun système matériel est en mouvement sous Faction de forces quelconques, les forces perdues se font équilibre au moyen des liaisons.
Souvent, pour abréger, on nomme forces effectives les forces qui produiraient le mouvement observé si tout le système était libre.
MOUVEMENT d'uN POINT MATÉRIEL.
1 . Nous allons d'abord déterminer le mouvement d'un point matériel assujetti à rester dans V intérieure un tube qui change à chaque instant de position et même de forme.
Nous supposerons le tube assez étroit pour que le point matériel ne puisse pas oscillet transversalement dans son intérieur, et nous négligerons le frottement.
dp du' par les vitesses acquises pendant un temps infiniment petit, -rf -r-t son
dt dt
raisonnement eût été une application exacte du principe attribué à d*A-
lembert,
L'axe de ce lube pourra former une courbe à double courbure.
Rapportons le système à trois axes rectangulaires fixes dans l'espace. Soient
Jc^j^ z les coordonnées du point matériel à l'époque t ^
X -h dx , j -h djr^ z -i- dz]es coordonnées du même point à l'époque infiniment voisine t-^-dt-^
x^-âx^j-}- âjr^ z -^âz les coordonnées d'un point du tube infiniment voisin du point [x^y^ z)\
X, Y, Z les composantes parallèles aux axes des forces accélératrices extérieures qui sollicitent le point matériel.
Donnons au point matériel un petit mouvement virtuel qui le fasse passer de la position (x^j^z) à la position {x + dx^ J+^J^ z + dz). Le principe de d'Alembert, combiné avec celui des vitesses virtuelles, nous fournit l'équation
Les coordonnées x , y , z sont encore assujetties à vérifier les équations du tube ,
Ces trois équations pourront nous donner x,j^, z en fonction de f , et alors le problème sera résolu.
Clairaut a traité cette question et plusieurs autres du même genre dans un Mémoire qui fait partie du Recueil de l'Académie des Sciences pour 1742.
Appliquons ces formules à quelques exemples :
2. Un tube rectiligne^ situé dans un plan horizontal, tourne autour de Vun de ses points ai^ec une vitesse angulaire telle j que la tangente de l'angle décrit soit pro-
6 MÉCANIQUE UATIONN-ELLE.
portionnelle au temps. Déterminer le mouv^ement d^un point matériel placé dans V intérieur de ce tube.
Nous prendrons le plan horizontal pour plan des xy^ et la position initiale du tube pour axe des x.
Soit y = ktx Téquation du tube à l'époque f ; h sera une constante.
Dans la formule générale (A) on n'a pas à considérer les termes en z , et Ton doit poser
X = Y = o, ByzizktSx, Il vient
dt' dt'
De plus, l'équation du tubedonne la relation
d^y , d'^x , dx
dt^ dt' de
Eliminant ^rr ' on obtient une relation entre les deux dt^
variables x et f ,
d^x dx ik^t .
dt^ ' dt i-^kU^ L'intégrale première est
log — + log (i + X ' t^) =r const.,
ou, si Ton nomme (3 la vitesse initiale du point dans le tube,
dx^
pdt
On tire de là , en nommant a la valeur initiale de a:, *
x = a -h ^ arc tang (kt)y
et, par suite,
y = akt -h p / arc tang {ht).
Prenons des coordonnées polaires r, 0 , dont l'origine
DYJVAMIQUE. 7
soit au centre de rotation, et dont Taxe soit la direction initiale du tube.
Nous aurons, d'après les valeurs précédentes,
J= U-f-|ôj»angô;
d'où résulte l'équation de la trajectoire ,
/• ces 6
3. Déterminer le mous^ement d'un point pesant placé dans Vintérieur dHun tube rectiligne qui décrit un cône droit autour de la verticale d'un mouv^ement uniforme.
Soient OL l'inclinaison du tube sur la verticale et w la vitesse angulaire de la projection du tube sur un plan horizontal.
Prenons l'origine au sommet du cône , l'axe des z dirigé en sens contraire de la pesanteur, et l'axe des x dans le plan vertical qui contient le tube à Torigine du temps. La vitesse o) sera comptée positive lorsque le mouvemen en projection horizontale aura lieu de l'axe des x vers l'axe des y.
Il nous faut poser dans la formule (A) ,
puis éliminer deux des coordonnées x^ y^ z k l'aide des équations du tube ,
r six' -H r*
- = tangw?, ^^ = tanga.
jc z
Mais nous arriverons à des formules plus simples si nous employons des coordonnées polaires , savoir les angles a et co / , et la distance rdu sommet du cône au point matériel comptée positive de bas en haut.
Les formules de transformations sont les suivantes :
!x-=. rsinacoSb)^, y = rsinasin wf^ z = r cosa.
On en tire
$xzr='^^r, Sr=^Sn $z=z-Sn r r r
D'après ces valeurs, la formufe (A) donne d'abordréquation
Mais il faut remplacer ici les variables x ^y^z par les variables r^oi etf , à l'aide des relations (i). Afin d'abréger cette substitution , observons que si l'on diffërentie deux fois la relation
on obtient
jTé/'or-h/rf'j-f-zrf'z = dr^ -i^ rd^ r — (djc'-f- «(r'4- dz").
D'ailleurs la quantité dx^ + dy* -+- dz* qui figure ici représente le carré 'de la distance de deux points infiniment voisins situés sur la surface du cône 5 et le carré de cette distance peut encore se représenter par la somme
^/.a -+- r * sin» a . w» £/f %
car cette distance est l'hypoténuse d'un triangle rectangle infiniment petit dont les côtés sont dr et rsina.(ùdt. On a donc
xd^x -^ yd^y -^zd"^ zz=, rd^r— r^sïn^ a.a^dtK
Substituant cette valeur, on trouve l'équation transformée
— — r«* sm' a-^ g COSa = o ,
\ w'sin'a/ , . , / g' cosa \
DYNAMK^UE. 9
dont Fintégrale est
^ ' w' sin' a
Les constantes C et C! se déterminent par les données initiales.
Supposons que le point matériel soit lancé du sommet du cône le long du tube avec la vitesse m.
Nous aurons
w* sin* a ' ot) sin a
d'où
u — - cet a w -f- - cot a
g' ces a w w<8ina w — w«sina
&>' sin? a 2 b> sio a 2 &> siu a
Si M >► - cota, r croit jusqu'à Finfini, le mobile s'éloigne indéfiniment.
Si 14 = - cot a , r croît sans cesse et s'approche toujours
de la valeur ^ . ^ sans jamais pouvoir l'atteindre. Ainsi
le mobile se meut toujours dans le même sens, mais ne dépasse pas une certaine position.
Si M < - cot a \ alors, posant
or
« = 2. cota — ô,
Cl)
nous avons
b)Sina 2Gt>
sm a L J
d'où nous voyons que si la vitesse u est positive, le mobile
lO MÉCANIQUE RATIONNELLE.
cesse de monter pour commencer à descendre à T époque
2&> sma
log(. + ^),
pour laquelle — s'annule. Depuis cette époque, le mobile
descend indéfiniment dans la partie, inférieure du tube avec une vitesse toujours croissante.
Examinons maintenant le cas où le tube tournerait dans le plan horizontal.
Il faut poser a = - dans l'équation (2). Elle devient
r= C<? -h Ce
Admettons que le point matériel parte sans vitesse initiale d'une distance au centre égale à c , et représentons par CT l'arc décrit dans le temps t par le point du tube d'où le mobile est parti. Alors l'équation de la trajectoire pourra s'écrire
Sous cette forme, elle représente une chaînette dont a serait l'abscisse et r l'ordonnée.
Ce cas particulier constitue le premier problème où l'on ait étudié le mouvement d'un point matériel assujetti à rester sur une ligne mobile. Il est dû à Jean Bernoulli (*). Ampère l'a résoki dans les Annales de M. Gergonne, t. XX, p. 37.
4. Étudions le moui^ement d'un point matériel assujetti à rester sur une surface qui change à chaque instant de position et de fortne,
(') Opéra, i, IV, p. a/jS,
On pourra se représenter le point matériel comme renfermé entre deux surfaces parallèles infiniment voisines. Nous ferons abstraction du frottement.
Soient
x^ y^ z les coordonnées du point matériel à Tépoque t\
x-h dx, y -h dy-y z -h dz les coordonnées du même point à répoq\ie infiniment rapprochée t-i-dt-y
x-h ix^y -h àjy z -^-dz les coordonnées d'un point de la surface infiniment voisin du point (x^y^ z) \
X, Y, Z les composantes parallèles aux axes des forces accélératrices extérieures qui sollicitent le point.
Le principe de d'Alembert, combiné avec celui des vitesses virtuelles , nous donne Téquation
Les variables x^y^ z^t doivent encore vérifier l'équation de la surface mobile,
F(.r, y,z, t)z=iO.
Cette dernière équation nous permet d'éliminer la variation dz\ car elle nous donne
r/F ^ dY ^ d? ^
dx dy dz
Il en résulte
Maintei>ant les variations cîa:, (î/ sont tout à fait arbitraires ; il faut donc que leurs coefficients soient séparément nuls. Ceci nous fournît les trois équations sui-
vantes, dont Tune est une conséquence des deux autres,
\'dF'~'^)dp-\dF'' ^j'd;'
IdKx ^\dF(d'z \dF
(dW J\ dF (d^^\ ^ \dr )dœ'^\dt^ ) dy'
Deux de ces trois équations , conjointement avec celle de la surface, détermineront x^ y^ z en fonction de f , et le problème sera résolu.
6. Déterminer le mouvement dun point pesant lancé le long d'un plan qui tourne uniformément autour d'un axe horizontal.
Prenons Taxe de rotation pour axe des a:, la verticale dirigée dans le sens de la pesanteur pour axe des z, et Finstant où le plan est horizontal pour époque initiale. Nommons w la vitesse angulaire du plan comptée positive lorsque la rotation a lieu de Taxe des j^ vers l'axe des z.
Nous avons d'abord
Au lieu d'éliminer z par l'équation du plan, - = tang o) t ,
il nous sera plus commode de remplacer les coordonnées
j, z par Tangle décrit « < et par la distance du mobile à
Taxe de rotation. Soit r cette distance. Les formules de
transformation
/=rrcosw/, z = r sïnoit,
donnent
(î/ = cosw^.^r, (Î3 = sinwf.^r;
d^Y d^r dr
--4- = coswf. — rr — 2w sm wf. — — w^ cosw/.r,
dt^ dt^ dt . '
ûf'z . rfV dr
— pr = sinwf. ---- + 2w cosot)^. -; w^ sin wf.r.
dt^ dt^ dt
DYNAMIQUE. l3
De ces valeurs on conclût réqualion transformée' d^x^ fd'r . \ ^
Ici âx et (Jr sont à volonté; on doit donc poser
—- — = 0, et --^ w'r— ^^sinwr = o.
dr dV ^
La première équation a pour intégrale
x=i kt-\- A';
l'intégrale de la seconde s'obtient par la méthode commune des équations linéaires; elle est
Les quatre constantes A, A', B, B' se déterminent sans difficulté, quand on connaît la position et la vitesse initiales.
Supposons en particulier que le mobile parte de Torigine des coordonnées sans vitesse initiale. Alors
A=:A' = o, B = -i-, B' = — T^-, et, par conséquent ,
S f ùii Oit . \
jp^Q, r=y2(^e — e — 2sin&>rj.
Lorsque t est très-grand, le mobile décrit dans l'espace une courbe qui est à très-peu près la spirale logarithmique
l'angle B tenant ici la place de tùt.
Nos formules supposent que le point matériel reste sur le plan. Or, si le point matériel est simplement posé sur
le plan, il finira par rabandonner. Déterminons l'époque à laquelle cette séparation aura lieu..
Soit R la réaction que le plan exerce sur le mobile. Il y a constamment équilibre entre la réaction R , la pesanteur et la force accélératrice eifective prise en sens contraire-, par conséquent, les projections des deux premières forces sur la \erticale sont égales à la projection de la troisième. De U l'équation
— =: g —RCOSW/.
Si Ton y remplace --r^ par sa valeur en r et f , donnée
plus haut , puis r et ses dérivées par les valeurs en t qui résultent de la seconde équation du mouvement, il vient
R=:2o^cos«r — 2w' (Bc" — B'e^'^* )•
Ainsi la réaction est nulle, et, par suite, le mobile abandonne le plan , à l'époque qui vérifie l'équation
4cos«r=Be"'~B'e~"'.
6. Déterminer le moui^ement dhin point matériel placé dans Vintérieur d*un tube circulaire gui tourne uniformément dans un plan horizontal^ autour de l'un des points de sa circonférence. On supposera le point matériel placé sans vitesse initiale à V extrémité du diamètre qui passe au centre de rotation .
Soient w la vitesse angulaire, et 9 l'angle au centre mesuré par l'arc que le point matériel a parcouru sur le cercle mobile.
On trouve
sin - = — ;
d'où Ton voit que le point matériel s'avance sans cesse
DYNAMIQUE. l5
vers le centre de rotation, sans jamais pouvoir l'atteindre.
7. Déterminer le mous^ement d'un point pesant assujetti à se mouvoir sur un plan qui tourne avec une vitesse uniforme autour d'un axe vertical situé dans ce même plan.
Soient w la vitesse angulaire du plan , r la distance du mobile à Taxe de rotation, z la distance du même point au-dessous du plan horizontal qui contient sa position
initiale, a, a et S les valeurs initiales de r, -r et —-•
On trouve
^ = ^ g''' + pr,
d'où l'on tire Téquation de la courbe décrite sur le plan,
8. TJn point pesant glisse sans frottement sur une courbe liée à un axe vertical , autour duquel elle tourne uniformément ^ on demande à quelle condition cette courbe doit être assujettie pour que le point glisse d'un mous^ement uniforme.
Conservons la notation du problème précédent ; et soient oo^ y^ z les coordonnées d'un point de la courbe, ds la différentielle de l'arc.
La composante tangentielle de la pesanteur, g -j j doit
faire équilibre à la composante tangentielle de la force
l6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
centrifuge, ^^* ( ^ ;i- "+- J -r ) ? donc
gdz -f- w' ( xdx -f- ydy) = o , i H (j:' + r') = const.
Ainsi , la courbe doit être tracée sur un paraboloïde de révolution autour de Taxe de rotation , le paramètre de la
or
parabole génératrice étant -^•
Question proposée au concours d'agrégation, année i85o.
