QUESTIONS DIVERSES

1 . Considérons un système de points matériels soumis à des forces et à des liaisons quelconques.

Soient

w, /Wj, nify etc., les masses,

a, au a, , etG«, les positions à l'époque t]

i , il , £, , etc. , Içs positions a l'époque t-i-dt-^

c, Cl, Cj, etc., les positions qu'auraient les mêmes points à l'époque t-^-dt^ si pendant l'instant dt ils eussent été libres de toutes liaisons , les forces extérieures restant les mêmes.

Les distances ci, Ciii, c^i, , etc., mesurent les Jéwations instantanées dues aux liaisons.

Ceci posé , proposons-nous de démontrer que le mouy^ement d^un système de points matériels y liés entre eux d'une manière quelconque, s'opère à chaque instant y de telle sorte, que la somme des produits que Ton obtient en multipliant la masse de chaque point par le carré de sa dés^iation instantanée due aux liaisons^ est inférieure à celle que Von trousserait en supposant quà V époque

t-^dt les points aient d'autres positions |3 , |3i , (3, , etc., compatibles ai^ec les liaisons.

Dans le mouvement réel , les forces perdues à l'époque t sont

Or ces forces doivent se faire équilibre en vertu des liaisons ^ par conséquent , si nous donnons aux points du système des déplacements virtuels 6(3, 5ij3i, ^T^j, • • . , nous aurons, d'après le principe des vitesses virtuelles,

y /w6^.6^cos(c^P) =^

D'ailleurs

donc la différence

cp =1 cb -4- 6p — a6c.6pcos(c6p);

V/ncp' — V/wc6 =z\mbp — 2 y/w^c.6pcos(c6p)

est toujours positive ] c'est-à-dire que la somme relative aux déviations réelles, ^^mcb , est inférieure à la

somme V me (3, relative à tout autre système de déviations compatibles avec les liaisons.

Il suit de là que , dans le cas où les mouvements libres ne peuvent exister par suite de conditions nécessaires, ces mouvements sont modifiés parla nature, delà même manière que le calculateur, appliquant la méthode des moindres carrés, modifie les nombres observés lorsqu'ils se rapportent à des grandeurs qui sont assujetties à des relations nécessaires.

Gauss, Journal de M. Crcllc, t. IV, p. 'aSîi.

It. • 2

l8 MÉCANIQUE RATIONNELLE,

!2. Considérons un système de points assujettis à des liaisons quelconques et un second système semblable an premier quant à la disposition et quant aux liaisons. Soit ex. le rapport de similitude linéaire entre les deux systèmes. Supposons de plus que j3 soit le rapport des masses entre les points homologues , et y le rapport des forces semblablement dirigées qui agissent sur les points homologues dans la position initiale et dans les autres positions semblables . Dans ce cas , le mouvement des deux systèmes sera semblable , c'est-à-dire que les points homologues décriront des courbes semblables dans des temps proportionnels : le rapport des temps sera

et celui des vitesses

En effet, nommant m la masse d'un point, et X , Y, Z les forces motrices qui le sollicitent parallèlement aux axes, nous pourrons représenter le mouvement du premier système par l'équation

étendue à tous les points de ce système. Si nous supposons que le second système soit homo thé tique au premier par rapport à Torigine, ce qui ne nuit point à la généralité, nous pourrons représenter le mouvement du second système par l'équation

toYJSAMlQtJE. IQ

étendue à tous les points. Or cette équation coïncide avec la première quand on y remplace dt par i/—rff.

Cela suffit pour la démonstration.

Mais pour se rendre pleinement raison de ce théorème, il faut observer que dans les questions de dynamique, il entre trois quantités tout à fait indépendantes, Tespace, le temps et la masse , et deux autres quantités qui dépendent des premières, la vitesse et la force. La vitesse est proportionnelle à l'espace parcouru et en raison inverse du temps. La force est proportionnelle à la masse, à la vitesse communiquée et en raison inverse du temps , ou , ce qui revient au même , la force est proportionnelle à la masse, à l'espace qu'elle fait parcourir et en raison inverse du carré du temps.

Les unités de longueur, de temps et de masse sont tout à fait arbitraires *, par conséquent, les équations qui proviennent d'une question de dynamique ne peuvent être altérées quand on multiplie respectivement les longueurs, les tepaps et les masses pour des nombres à volonté a, £ et |3 5 pourvu que l'on multiplie en même temps les vitesses et

les forces par les nombres y/ = - > et y = -^•

Le théorème qui nous occupe est dû à Newton [Principiay lib. II, prop. Sa). Il constitue une vraie théorie de la similitude en mécanique, laquelle, comme Ton voit, résulte de l'homogénéité des équations par rapport aux trois espèces de quantités qui y figurent. Quelques applications feront sentir son importance théorique' et pratique.

Deux points matériels égaux attirés vers un centre fixe par une force proportionnelle à la n''"*' puissance de la distance partent sans vitesse, Vun d'une distance a, Vautre d'aune distance a'. Leurs distances ou

centre d'attraction seront proportionnelles après des temps dont le rapport est

En effet ,

donc

Si w = 1 , les distances seront proportionnelles après des temps égaux, et, par conséquent , les mobiles arriveront en même temps au centre d'attraction (*).

L'application suivante a été signalée par M. J. Bertrand (').

Supposons qu'il s'agisse de pré^foir, par des expériences en petit, la valeur d'une intention mécanique dont la réalisation sur une grande échelle serait trop coûteuse. Il s*agîra, par exemple, d'une locomotive, et l'appareil construit sera a fois plus petit que la machine projetée.

Le rapport des masses sera a*, celui des forces dues à la pesanteur sera de même cf} ^ par conséquent , le rapport des autres forces qui agissent sur les deux systèmes doit aussi être a'. De là il résulte que le rapport des vitesses ^ sera ^ comme le rapport des temps , et le rapport des travaux a*. Examinons séparément les différentes forces qui se trouvent en jeu. Les pressions de la vapeur sur les

( ^ ) EuLER , Mechanica, 1. 1 , cap. m , $ 3o8.

(■) Newton, Principia, lib. I, prop. xxxtiii, cor. 2.

(*) Journal de rÉcoU Polj^têchnique, XXXII« cahier, p. 18

pistons devant être dans le rapport de «' à l'unité, les * tensions rapportées à des surfaces égales devront être dans le rapport de a à Puni té. Les résistances de l'air étant proportionnelles aux surfaces et aux carrés des vitesses, elles se trouveront naturellement dans le rapport voulu de a^ à l'unité. Les frottements de glissement étant proportionnels aux pressions se trouveront aussi dans le même rapport. Enfin les frottements de roulement étant proportionnels aux pressions et en raison inverse du diamètre des roues , se trouveront dans le rapport de a* à l'unité. Ils seront donc trop grands dans le petit système ; on devra tenir compte de cette différence qu'il est difficile d'éviter.

Savart a reconnu, par de nombreuses expériences, que si l'on prend pour mesure du son rendu par un corps so^ lide élastique le nombre de vibrations exécutées pendant l 'unité de temps , ce son variera en raison im^erse des dimensions du corps , tandis que ces dimensions croîtront ou décroîtront dans un rapport donné. Or, comme l'a remarqué M. Cauchy (*) , cette loi générale d'acoustique résulte encore de l'homogénéité des équations du mouvement.

En effet ^ soient deux corps de même nature et dont les dimensions linéaires sont dans le ratpport a. On peut considérer ces corps comme formés d'un même nombre de molécules semblablement disposées et possédant des masses qui soient dans le rapport a^. Dès lors on a deux systèmes semblables. Si donc les valeurs initiales des déplacements moléculaires nécessaires pour produire des vibrations sont dans le rapport a, le rapport de la durée des vibrations sera — ? y étant le rapport

( ' ) Mém. de l'Acad. des Se. de Paris, t. IX, p. 1 17 ; 1839.

22 MÉCANIQUE RATIOWJNELLE.

des forces motrices. Il nous reste à prouver que le rapport des forces motrices est a*, ou bien que celui des forces accélératrices est — Or, si Ton cherche l'expression de

la force accélératrice qui sollicite une molécule (x,y, z), on trouve qu'elle est une somme de termes formés chacun d'une constante multipliée par Tune des dérivées partielles du second ordre des variations des coordonnées depuis la position d'équilibre, ces dérivées étant prises par rapport aux coordonnées elles-mêmes 5 en sorte que les coordonnées et leurs variations étant multipliées par a, chaque terme se trouvera divisé par a. On se rend compte jusqu'à un certain point de cette expression de la force sans aucun calcul, en considérant une file de molécules , et partant de ce principe, que l'action mutuelle de deux molécules très-voisines est proportionnelle à Fécartement qu'elles ont subi à partir de leur position d'équilibre , et que cette action est nulle quand les deux molécules ne sont pas très-voisines Tune de l'autre.

On verrait de la même manière que la loi de Savart s'étend aux sons rendus par une masse fluide contenue dans un espace fini.

3. Soient P et P' deux petites billes réunies par une tige rigide et sans poids,- la première peut glisser sur un fil tendu horizontalement ^ et la seconde repose sur le plan horizontal qui contient le fil. Déterminer le mou^ v^ement que prend le système quand on lui imprime une "Vitesse connue le long du plan horizontal.

On suppose que les frottements sont nuls et que les billes peuvent être assimilées à des points matériels.

Prenons le fil pour axe des x , et soient

X l'abscisse de la première bille 5

x' ^ y' les coordonnées de la seconde^

/ la distance des deux billes 5

DYNAMIQUE. iS

m , m^ leurs masses \

6 Tangle que la droite PP' fait avec Taxe des x. Puisque les forces extérieures sont nulles, on a Téqualion

m Or

x' z= X -^ l ces 0 , j' = / sin 0 j

^x' t:^^x — l sin 9^9 , Sf = l cos9$B ;

d'x' d^x d^ CCS 9 d^y £p sin 9

'dF'^lU' dt' ' 1ÎF "" di"

Substituant ces valeurs dans la première équation, et égalant à zéro les coefficients des variations arbitraires ix , <Î0 , il vient

, , ,Jd}x ,e/^cos9\ . ^ ,„flPsin9

La première équation a pour intégrales successives

dx dB

(3) (//ï + ''*') -37 — 'w'/sin9— = A,

(/w -h /w')x + '«'^co89 = Ar + B,

A et B étant deux constantes.

Soient Xo 6t 9o les valeurs initiales de x et de 6 j (3 et co

celles de —r et de — • Ces valeurs détermineront les condt de

stantes , et Ton trouvera finalement

(/;/ + r?i'){x'-Xo)-\- w'/(cos9 — cos9o)

!{/;/ + r?i'){x — Xo) H- w /(ce = [(m4- w')p-- w'/wsin9o]^

L'élimination de la dérivée — entre les équations (i)

^4 MÉCÀIfIQUE RATIONNELLE.

et (2) fournit une seconde équation ,

, .^rf^sinô ^ €3pcosô . ^

(/w -f- m') — 7-— cosô — m — 7-— smô = o,

qui a pour intégrale

ou

Im -^ m* cos*Ô) -7- = const.

Si Ton détermine la constante par les données initiales, il vient

'/w -+- m' cos' Ôo

/w'oos'ô

Cette dernière formule donne 6 en fonction de f à l'aide d'une intégrale elliptique; portant cette valeur dans l'équation (4) 9 on aura x exprimé en fonction de t.

L'équation différentielle de la courbe que décrit la bille P' s'obtiendra par l'élimination de dt entre les équations (3) et (5) ; les coordonnées seront alors x et 6. Elle donnera immédiatement x en fonction de d à l'aide d'une quadrature.

Clai&aut, Mém, de VAcad, des Se. de Paris ^ 1736, p. lo.

4. On suppose trois points matériels mobiles dans un plan fixe et qui battirent proportionnellement à la masse et en raison inverse du carré de la distance. Trouver tous les cas oh le mouvement de deux de ces points autour du troisième est de même nature que le mouvement relatif de deux points s* attirant seuh sui^ vant la même loi.

Soient

{X l'attraction de l'unité de masse sur l'unité de masse à l'unité de distance ;

M , m , m' les masses :,

/O5 r, r* les distances mm\ Mm, Mm' 5

x^ y eX x\ y les coordonnées des points m et m' par rapport à des axes rectangulaires et de directions fixes qui se coupent au point M.

Prenons la question de plus haut, en supposant d'a*bord que Tattraction de l'unité de masse sur Tunité de masse soit une fonction quelconque de la distance. Représentons cette fonction par 9(r).

La force accélératrice qui sollicite le point m a pour composante suivant l'axe des x, supposé fixe,

Si nous ajoutons à cette force une nouvelle force accélératrice égale et contraire à celle qui sollicite suivant la même direction le point pris pour origine, nous pourrons considérer l'origine comme fixe, et les équations que nous fournira le principe de d'Alembert, dans cette hypothèse, seront celles du mouvement relatif. Ces équations sont les suivantes :

(0 ^-^-(M + /»Mr)î+/w'[?(/)^H-ç(p)^^J===o,

(2) ^ + (M + m)ç(r)J+,.i'[y(/)5.Vî(p)'^]^

(4) '^-^{y^'^m')^{'')y^rn^^{^^^^

Or, si le point m était attiré par un seul point placé à l'origine, son mouvement serait régi par des équations de la forme

26 MÉCANIQUE RATIOKÏSELLE.

K désignant une constante. Pour que dans le système des trois points le mouvement soit de même nature , il faut donc que Ton ait constamment

H désignant une constante. L'élimination de H nous donne la condition

Les équations (3) et (4) , traitées de la même manière , nous auraient donné la condition semblable

De là résultent deux solutions,

Sans pousser plus loin la discussion du cas général, venons au cas le plus intéressant, celui où ^(r) = ^•

Première solution, p = r= ;■'; les trois points sont constamment situés aux sommets d*un triangle équilatéral.

Les équations (i), (2), (3), (4) se réduisent aux suivantes ;

i-:^ -f- pt( M -+- w 4- /w' ) 4 = o>

d'où Ion voit que chacun des deux corps m , m' se meut comme s'il était attiré vers l'origine par une^ masse égale à la masse totale des trois corps.

Pour que ce mouvement ait lieu, il ne suffit pas que

DYNAMIQUE. aj?

les corps soient pHmilivement situés aux sommets d'un triangle équilatéral, maïs îl faut encore que les vitesses initiales de deux corps relativement au troisième soient égales, et également inclinées sur les droites qui joignent les deux premiers corps au dernier, en sorte qu'on ait au premier instant

do dr dr^

dt'~dt^dt

Seconde solution. - = — ^ les trois points sont con-

slamtnent en ligne droite , et si le point m' se trou\*e au milieu^

Ces dernières relations permettent d'écrire Téquation (i) sous la forme

alors on voit que le point m se meut comme s'il était attiré vers l'origine par une force égale à

Or les trajectoires des points (//, m', rapportées à des coordonnées polaires dont Torigine est au point M, ont des équations de la forme

Si ces équations étaient connues , l'élimination de Q donnerait une relation entre les distances simultanées r et r', de laquelle ou pourrait tirer la valeur de / en fonction

(le /'. Le rapport — et , par suite, l'expression (6) sont

a8 MÉCANIQUE RÀT101«^ELLE.

donc des fonctions de r. D'un autre côté , quand la force attractive est une fonction de la distance, la trajectoire ne peut être une section conique, comme l'exige notre problème , que dans le seul cas où la force est inversement proportionnelle au carré de la distance^ donc

— = const.

Soit

d'où

xz={i-irp)x', yz={i-^p)y', f=pr.

Si l'on reporte ces valeurs dans l'ëquation (i) ou (5), il vient

Les mêmes substitutions faites dans l'équation (3) donnent

Mais on doit avoir

par conséquent,

M + m +m'(i +py{i + L\ = {m + m'){i +p)'

ou bien

Les équations (2) et (4) , traitées de la même manière,

conduiraient à la même relation que doit vérifier la constante p, La valeur de cette constante est donc la racine positive de l'équation (8), laquelle est unique d'après la règle de Descaries.

En résumé, les trois mobiles sont toujours en ligue droite, et leurs distances sont dans un rapport constant, déterminé par les équations (7) et (8). Les sections coniques décrites par les points m, m! sont homothétiques par rapport au point M.

Pour produire ce mouvement, il faut des positions initiales qui satisfassent aux conditions précédentes, et des vitesses initiales relatives qui soient parallèles entre elles et proportionnelles à la distance au point M.

Si l'on suppose que M se rapporte au soleil , nd à la terre ex m à la lune, on aura, d'après les nombres de la Mécanique céleste (tome III) ^

Ces nombres , rapprochés de l'équation (8), montrent que p sera une petite fraction 5 on peut donc , sans erreur considérable, égaler le plus grand terme positif au plus grand terme négatif; alors il vient

- — , ouàpeupres p=(*).

Les deux cas que nous venons d'examiner sont les

(^) M. Liouville a démontré {Additions à la Connaissance des Temps pour 1845) que dans cette solution lo système formé par les trois corps est instable; en sorte que, dès qu'il est légèrement troublé, il tend à se déranger de plus en plus d'une manière rapide.U en résulte que si ce système avait été réalisé par le Créateur dans le soleil, la terre et la lune, la lumière de la lune , loin de remplacer constamment celle du soleil pendant les nuits, comme l'affirme Lap^ace dans V Exposition du Système du

3o MécAMIQUE RATIONNELLE.

seuls OÙ l'on ait pu trouver toutes les intégrales rigoureuses du fameux Problème des trois corps. Ils ont été discutés par Lagrange dans son Essai d'une nouv^elle méthode pour lésoudre le problème des trois corps y ouvrage qui a remporté le prix de TAcadémie des Sciences de Paris, en 1772.

5. Un fil Jlexible^ pesant et homogène y porté par l'une de ses extrémités, tourne unifor^ mément autour d'un axe verlicaL Dire si le fd peut conseriner une figure permanente, et quelle est cette Jîgure,

Admettons que cette figure permanente soit possible, et .clierchons à la déterminer.

Le principe de d'Alembert réduit le problème à une simple question de statique. Trois forces agissent sur chacun des éléments du fil, la pesanteur, et deux tensions dirigées en sens contraires suivant les tangentes extrêmes. Ces trois forces doivent faire équilibre à la force effective tîi ri gée en sens contraire, c'est-à-dire à la force centrifuge ; ainsi les moments des quatre forces autour de l'axe de rotation doivent faire une somme nulle. Or les moments de la pesanteur et de la force centrifuge

monde (liv. IV, chap. v), aurait été probablement moins fréquente qu'elle ne Test dans Tétat actuel des choses.

Quant au système fourni par la première solution , M. Gascheau (Thèse de Mécanique) a montré qu'il est stable quand on a

Mw -t- Mm'-f- mm

et seulement dans ce cas. Cette inégalité est satisraite par le soleil , la terre et la lune.

DYNAMIQUE. 3l

étant nuls , ceux des deux tensions doivent être égaux et de signes contraires; par suite, quel que soit le point du fil que l'on considère, le moment de la tension en ce point doit être égal , en valeur absolue , au moment de la tension à rextrémité libre, lequel est nul, puisque la tension est nulle à cette extrémité. Cela exige que Taxe soit rencontré par chacune des tangentes à la courbe formée par le fil-, d'où il résulte que la courbe est plane. Au reste , si l'on omettait de faire cette remarque dès le principe , l'analyse y suppléerait.

Deux coordonnées nous suffisent. Prenons l'axe desj^ sur l'axe de rotation, dirigé en sens contraire de la pesanteur, et faisons passer l'axe des x par l'exu-émité inférieure du fil.

* Soient Cl) la vitesse angulaire, T la tension essentiellement positive, et s l'arc compté à partir de l'extrémité inférieure.

Le principe de d'Alembert, appliqué à l'un des éléments du fil, nous donne les équations

La seconde a pour intégrale

T -f- = fi^^ -f- const. ; as

et, puisque T et s sont nuls à l'extrémité,

(3) T% = ss,

Multiplions les équations (i) et (2) respectivement par —

et -j-f puis ajoutons les produits, en développant les dif-

3a MÉCANIQUE HATIONITELLE.

férentielles et observant que ( — j -f-fj") =i. H vient </T = — tù^xdx -f- gdyy T = «*«' 4- g'j 4- const.

Soit a la distance de Taxe à Textrémité inférieure. Nous devrons avoir simultartément

Cela nous détermine la constante, et nous donne

(4) T = ^'(«»-^>)-hgr.

Pour obtenir Téquation différentielle de la courbe, remplaçons ds dans les équations (i) et (2), par sa va-

leur I-+" (7-) ^^5 et considérons j^ comme la variable indépendante \ nous pourrons écrire les résultats sous la forme

-h(jyf-'4-(i)f=-

Retranchant ces équations membre à membre après avoir multiplié la seconde par — > puis remplaçant T par sa valeur (4) ? il vient

Celte équation différentielle, résolue par rapport à la

plus haute dérivée, a tous ses coefSeieuts réels ^ par conséquent elle représente une courbe. Le fil peut conserver une figure permanente.

Il nous reste à étudier celte figure.

L'équation (3) nous montre que la tension , estimée parallèlement à Taxe de rotation, est égale au poids du.fil situé au-dessous du point considéré; T est donc supérieur à gYt c*? P^^ conséquent (4), x ne peut atteindre a. T étant essentiellement positif, la même équation (3) nous fait voir que j^ croît toujours quand s augmente. Par là nous pouvons déjà entrevoir ([ue la courbe forme une suite d'ondulations de part et d'autre de l'axe de rotation. Le nombre de ces ondulations est évidemment indéterminé ; il dépend de la longueur du fil et de sa position initiale.

Intégrons l'équation (i) à partir de l'extrémité inférieure du fil ; nous aurons

dx C dx

T -r- = — w* I xdsy ou bien T -7- =: — w*jr, ^ , ds J ds

en nommant x^ la dislance de l'axe au centre de gravité de l'arc 5 sur lequel s'étend l'intégrale. Divisant la relation obtenue par l'équation (3) , il vient

dx w':r,

Or, si nous supposons que la distance à Taxe soit un maximum ou un minimum à l'extrémité de l'arc 5, V

fx

sera nul à ce point 5 donc aussi x^ sera nul, c'est-à-dire que le centre de grarité du fil qui pend au-dessous d*un point dont la distance à l'axe est un maximum ou un minimum, se troui^e sur Vaxe de rotation.

Il est évident que la même chose peut se dire de toute portion de fil dont les extrémités sont parallèles à l'axe, II. 3

De là il suit qa'une telle portion du fil coupe toujours Taxe , et Ton en conclut que la distance de l'axe aux différents points du fil , prise en valeur absolue, n'a pas d'autre minimum que zéro. Ainsi la forme générale de la courbe est bien telle que Findique la figure.

De ce que nous venons de dire il résulte , eu égard au théorème de Guldin , que toute portion de la courbe qui est terminée à deux points consécutifs parmi ceux où la tangente est verticale (en y comprenant l'extrémité libre), est divisée par l'axe en deux parties qui engendrent dans leur rotation des surfaces équivalentes. Â F aide de la même relation ( 5 ) , il est aisé de voir que plus généralement , si Von considère deux arcs situés tout entiers d'un même côté de Vaxe, et dont les tangentes extrêmes soient parallèles deux à deux y les surfaces engendrées par ces deux arcs seront équivalentes.

Aux points où la tangente est verticale, — =;= i^

donc, en vertu des équations (3) et (4) 9 on a pour ces points

Puisque — est généralement inférieur à l'unité et jamais supérieur, s — j croît avec j-, d'après cela, la dernière relation nous fait voir que , de deux points où le fil est vertical y le plus éloigné de Vaxe est le moins élevé. Ceci , rapproché de ce que nous avons dit sur l'aire des différentes nappes de la surface, nous montre que la distance de deux intersections consécutives de Vaxe par la courbe va en augmentant à mesure que F on s'élève au-dessus de l'origine.

Quand on suit la courbe en partant de son extrémité inférieure, on rencontre les points d'inflexion sur les

branches qui se rapprochent de l'axe. En effet, si Ton

pose -^ = o dans Fëqualion différentielle de la courbe,

elle donne

dz w'

La courbe intéressante qui nous occupe ici, peut se réaliser à très-peu près en faisant tourner avec la main une chaîne à la fois pesante et flexible.

6. Un filjlexible, homogène et soustrait â la gravité y tourne uniformément autour d^ une droite fixe sur laquelle sont attachées ses extrémités. Dire si le fil peut conserver une figure permanente, et quelle est cette figure.

On montrera d'abord que la courbe , si elle existe , doit être une courbe plane; puis, prenant l'origine à l'une des extrémités du fil, et l'axe des y suivant l'axe de rotation , on arrivera à l'équation différentielle

adx

dx^±-p

^i^b — xy—a^ .

dans laquelle aelb sont des constantes positives, el a<^b. Cette équation représente une courbe réelle \ et , comme les constantes sont indépendantes de la vitesse angulaire , la forme de la courbe ne dépend pas de la vitesse angulaire 5 elle dépend seulement de la longueur du fil , de la distance de ses extrémités et de sa position initiale.

Il existe une infinité de formes d'équilibre, dans lesquelles le fil est partagé en arcs égaux, situés alternativement de part et d'autre de l'axe de rotation. Ces formes diverses se distinguent par les valeurs différentes des constantes a et h.

Ce problème a été proposé par M. Sturm^ au concours d'agrégation de 1842.

36 MÉCANIQUE RATIOKNELLK.