H or = 2 v«r 1 j — '~~I7i

Si Ton substitue cette valeur de y dans Téquation précédente, en observant que f<jdm = o^ et que fa^dni est une constante, on trouve

— = -^ (const. -5'),

ce qui est l'équation du mouvement d'un point pesant isolé sur la cycloïde.

PuiSEUX, Journ, de M. Liouville, t. VIII, p. 71; i843.

6. Déterminer le mowement dune barre pesante^ homogène et d'épaisseur constante, dont tes extrémités s'appuient sur deux droites fixes situées dans le même plan.

MÉCANIQUE RÂTIOmurELLS.

Soient 2/ la longueur de la barre, m sa masse, B Tangle qu'elle fait avec l'horizon , a et a! les inclinaisons des droites fixes sur l'horizon.

"î ' ^ '" Prenons l'origine des coor-

données à l'intersection des deux droites fixes, l'axe Aesy dirigé en sens contraire de la pesanteur, et représentons par a:, y les coordonnées du centre de gravité de la barre. Nous avons

'^ Usï^ "*-5?^ -^5f) =~ "'"^^■^^""^^- ELliminant x elyk l'aide des valeurs

facosasinfa' — Ô) 1

x = l\ r— 7 — ^ — jT—^ — cose ,

L sm (a + a') J

, r2sinasin (a' — G) . /\ -^ L Sin{a-ha') J

nous obtiendrons une équation qui nous fera connaître la vitesse angulaire — correspondante à l'inclinaison 9.

Quand on suppose a = o et a' = -9 l'équation dont il s'agit devient

00 et |3 représentant les valeurs initiales de l'angle 6 et de

1 • , . ^ô la vitesse anmlaire ^-•

^ dt

Dans la même hypothèse , la barre ayant sa position initiale , attachons au point où elle touche l'axe des y un

pendule d'une longueur égale ^%l\ plaçons ce pendule

suivant le prolongement de la barre, puis imprimons aux

deux corps une même vitesse angulaire j3. D'après Téqualion que nous venons d'obtenir, le pendule et la barre resteront parallèles dans leur mouvement.

Ceci suppose que la barre ne se sépare jamais des deux droites fixes. Or, si elle est simplement posée contre les droites, puis abandonnée sans vitesse initiale, on trouve qu'elle se séparera de la droite verticale dès que F inclinaison 9 aura acquis la valeur déterminée par Téquation

smô = ~sin0o.

7. Un point pesant A descend sans vitesse initiale le long d^une courbe S, en tirant un second point pesant B sur une autre courbe S', à l'aide d'un fil qui passe sur une très-petite poulie de renvoi. Déterminer les vitesses des deux points lorsquHls ont parcouru des hauteurs verticales données.

Soient m, m' les masses des deux points, i^, p»' leurs vitesses respectives lorsqu'ils ont parcouru les hauteurs verticales j^, j^', l'un en montant, l'autre en descendant, et ds^ ds^ les éléments des deux courbes.

On trouve

ds'' ds'"" __ mds^ 4- m' ds""

Jean Bernoulli, Acta Erud,^ 1735, p. 210. — Opcra, t. III, p. 256.

8. Une équerre formée de deux tiges minces, homogènes et partout légale épaisseur, peut tourner librement dans un plan vertical autour de son sommet qui est fixe. Étant donnée V inclinaison de l'une des tiges sur l'horizon quand V équerre est en équilibre, on demande de déterminer l'amplitude des oscillations que l'équerre exécute lorsqu'on V abandonne à son poids, après ayoir

74 MÉCANlQrE RATIONNELLE.

amené la tige considérée dans une position horizontale»

Soient |3 rinelinaison donnée et 0 l'angle qui mesure Famplitude des oscillations.

On trouve

9. Une chaîne homogène, très-mince et dépaisseur constante est en partie étendue sur un plan horizontal parfaitement glissant, tandis que Vautre partie pend audessous du plan. Déterminer le mouvement que prend cette chaîne lorsquon l'abandonne à son poids.

Soient / la longueur de la chaîne, x la longueur de la partie qui pend au-dessous du plan , et x^ la valeur initiale de X.

On trouve l'équation

Si l'on y pose x =z l^ elle fait connaître le temps nécessaire pour que la chaîne tombe tout entière hors du plan.