TRANSMISSION DU TRAVAIL PAR LES MACHINES

* On nomme trai^ail élémentaire d'une force, le produit de cette force par la projection sur sa propre direction du chemin que son point d'application parcourt pendant un instant infiniment petit dt, La somme des travaux élémentaires produits pendant un temps donné t — fo mesure le travail de la force pendant le même temps. Cette définition répond très-bien à l'idée que l'on se forme communément du travail d'un moteur, laquelle implique distance parcourue et résistance surmontée. Elle permet d'énoncer le principe des forces vives sous cette forme simple :

Pans tout système de points matériels assujettis à

DYNAMIQUE. y 5

des liaisons indépendantes du temps, r accroissement de la somme des forces villes pendant un temps donné est égal à deux fois la somme des travaux produits pendant le même temps par toutes les forces qui agissent sur le système.

C'est ainsi que Ton énonce ordinairement le principe des forces vives dans l'étude des machines en mouvement.

Dans la plupart des machines , les pièces solides qui les composent ne se déforment pas sensiblement, au moins pendant un temps peu considérable 5 de là il résulte qu'en appliquant le principe des forces vives au mouvement des machines 9 on peut généralement faire abstraction des forces intérieures qui naissent des actions mutuelles entre les différentes molécules de chaque pièce.

On doit considérer dans toute machine deux espèces de forces, les unes mouvantes, les autres résistantes. Les premières ont un travail positif, c'est le travail moteur; les secondes ont un travail négatif, c'est le travail résistant .

Soient

Smp'* et Hmvl les sommes des forces vives correspondantes aux époques t et t^]

T« la somme des travaux positifs produits pendant le temps t — ?o 9

T^ la somme des travaux négatifs développés pendant le même temps et pris en valeurs absolues.

Nous aurons

La discussion attentive de cette équation nous indiquera les conditions que doit remplir une bonne machine, et les principes généraux qui doivent présider à sa construction.

^6 MÉCAMQl E RATIOJNJVELLE.

La force mouvante étant donnée , si la force résistante est tellement considérable, qu'elle empêche tout mouvement , le travail sera nul ^ si au contraire la force résistante est très-faible , la vitesse pourra devenir grande ; mais, comme cette vitesse est presque toujours limitée par la nature du moteur, le travail sera toujours peu considérable. On conçoit par là qu'il est une proportion entre les efforts et les vitesses pour laquelle le travail est un maximum. Parent (*) est le premier qui ait' fait cette remarque et se soit proposé de trouver les conditions du maximum de travail pour quelques machines. Les géomètres et ingénieurs qui vinrent après lui , Daniel Bernoulli, Euler, Borda, Coulomb, Carnot, Bélidor et Smeaton entrèrent dans cette voie de recherches utiles. Ce fut Lagrange (') qui signala l'importance de l'équation des forces vives dans les questions relatives à l'effet des machines. Cette idée fut fécondée par Petit (*), par Navier (*) et surtout par Coriolis dans son excellent Traité du calcul et de V effet des machines (1829). C'est à cet auteur que l'on doit l'expression de travail d^une force employée dans le sens que nous avons défini.

1*. Discussion de Inéquation des forces vivres

(A) '^mp'-'^m.l = ^(T^-Tr).

Les forces vives qui entrent au premier membre de cette équation sont la force vive de chaque molécule de la machine dans son mouvement naturel , celle des mêmes molécules dans le mouvement vibratoire qui accompagne presque toujours le premier mouvement , celle des sup-

(*) Mémoires de VAcad, des Sciences de Paris, 1704, p. 323. (') Théorie des Fonctions analytiques, P. III, c. 7; 1797. (•) Annales de Chimie, 1818, t. VIII, p. 287.

(*) Notes ajoutées dans la nouvelle édition de V Architecture hydraulique de Bélidor, t. I; 1819.

DYNAMIQUE. yy

ports et du sol euvironnant, enfin celle de Tair ambiant. Le travail résistant T^ qui figure au second membre se compose du travail utile que la machine a pour but de produire, et du travail nuisible^ nommé aussi tra-^ vail des résistances passives. Ce dernier renferme le travail produit par le frottement des pièces Tune contre l'autre ou contre les supports, le travail dépensé dans les vibrations qui sont communiquées aux diverses pièces de la machine, le travail dépensé dans les mouvements qui sont communiqués aux supports et au sol environnant, enfin le travail qui naît de la résistance de l'air ambiant. Le travail des frottements peut se calculer. Celui des vibrations de la machine ne peut se mesurer dans Tétat actuel de la science , mais on démontre qu'il est égal à la force vive produite par les mêmes vibrations; on peut donc faire abstraction de ce travail et de cette force vive dans l'équation générale. Le travail qui naît des mouvements communiqués aux supports et au sol environnant est parfois considérable 5 on n'a pas pu jusqu'ici le soumettre au calcul. Enfin le travail consommé par l'air ambiant est en général une très-petite fraction du travail résistant total 5 on peut la négliger.

Quand on considère le mouvement depuis son origine jusqu'à son extinction ou, plus généralement, entre deux instants où les vitesses sont les mêmes, le premier membre de l'équation (A) est nul. Il en résulte que le travail mo^ teur, dans ce cas, est égal au travail résistant. Ainsi l'effet de la machine , pendant toute la durée du mouvement , a été de transmettre le travail des forces mouvantes aux forces résistantes sans aucune déperdition. Ceci constitue le principe nommé par Coriolis principe de la transmission du travail.

Il importe de diminuer autant que possible le travail des résistances passives , afin qu'une plus grande portion

^8 MÉCANIQUE RATIOKKELLE.

du travail résistant se traduise en effet utile. Par conséquent, dans rétablissement d*une machine, on aura soin d'éviter les frottements qui ne sont point nécessaires, d'adoucir ceux qu'on ne peut éviter; on prendra toutes les précautions convenables pour qu'il ne soit pas communiqué de vibrations considérables aux supports et au sol environnant. Il faudra éviter les chocs avec plus de soin encore; car, outre qu'un choc fait naître des vibrations intenses dans les pièces de la machine et dans leurs supports , il produit des déformations qui , sans être considérables, peuvent néanmoins absorber une grande quantité de travail à cause de la résistance considérable des forces moléculaires. Les meilleures machines se meuvent sans bruit, sans ébranlement, et pour ainsi dire, sans laisser soupçonner l'effort qu'elles produisent.

Les maxima et les minima de la force vive ne peuvent se présenter que dans les positions de la machine où la force motrice fait équilibre à la force résistante. On le reconnaît en observant que les travaux élémentaires qui représentent la différentielle de la force vive, sont précisément les moments virtuels dont la somme est nulle lorsqu'il y a équilibre. En outre, pour que l'équilibre ait lieu, il suffit que les travaux élémentaires des différentes forces aient une somme nulle dans les deux mouvements contraires dont la machine est susceptible de part et d'autre de la position considérée. Les diffiérents cas sont compris dans le théorème suivant :

Quand la force motrice fait équilibre à la force résistante, il y a maximum ou minimum de force viucy ou bien il ny a ni maximum ni minimum, suivant que la somme algébrique du travail élémentaire moteur et du trai^ail élémentaire résistant passe en s' annulant du positif au négatif ou du négatif au positif ou bien ne change pas de signe.

UYJliAMIQXJE. ^9

Dans le premier cas, la position correspondante de la machine est une position ôi! équilibre stable; car, si Ton écarte un peu la machine de cette position dans le sens du mouvement , la force résistante , qui alors est supérieure à la force motrice, tend à ramener la machine dans la position première, et si Técartest produit en sens contraire du mouvement, la force motrice, qui alors est la plus grande, tend à ramener encore la machine dans la position première. On verra de même que, dans le second cas, la position de la machine pour laquelle les forces sont égales, est une position Ôl équilibre instable ; car, quel que soit le sens du petit déplacement produit, celle des deux forces qui est la plus considérable tend à éloigner la machine de la position première. Dans le troisième cas, l'équilibre n^est ni stable ni instable, ou plutôt il est stable relativement à un écart produit dans un sens, et instable relativement à un écart produit dans l'autre sens-, car, quel que soit le sens du déplacement, la force qui est la plus grande agit dans la même direction. L'existence de ce dernier cas d'équilibre est cause que les positions d'équilibre stable et d'équilibre instable ne se succèdent pas toujours alternativement. Enfin, si les forces se font équilibre pour une série de positions consécutives de part et d'autre de la position considérée, celle-ci est une position S! équilibre indifférent. 2*. Mouvement uniforme, volants et régulateurs , Lorsqu'une machine commence à se mouvoir, le travail moteur élémentaire l'emporte d'abord sur le travail résistant^ alors la force vive et la vitesse augmentent. Le travail résistant élémentaire devient bientôt égal au travail moteur-, à cet instant , la force vive est un maximum. Si le travail moteur et le travail résistant continuent de varier d'une manière inégale, la vitesse subit des variations correspondantes. Cependant on a de l'intérêt à

8o MÉCANIQUE RATIONNELLE.

maintenir runiformité du mouvement , non qu'elle soit nécessaire à une bonne transmission du travail , mais parce que le travail produit est de meilleure qualité au point de vue industriel : il a plus de régularité. En outre, si les vitesses étaient sujettes à des variations rapides , ces changements brusques ne pourraient guère s'effectuer sans produire des ébranlements dans les supports. Il est donc important de chercher comment on pourra favoriser l'uniformité du mouvement.

Dans la plupart des machines, les vitesses des différentes parties ont des rapports constants, abstraction faite des vibrations. Soient u la vitesse d'une molécule de la machine choisie à volonté , av^ celle de Tune quelconque des autres molécules. L'équation des forces vives prendra la forme

Or, la différence T,„ — T^ étant donnée, plus 2 ma' sera considérable , moins la différence des vitesses ^ — Uq sera grande •, on diminuera donc les inégalités de la vitesse si Ton ajoute à la machine de nouvelles pièces dont le poids et la vitesse relatives soient considérables.

Ces pièces additionnelles portent le nom de volants. Pour qu'elles n'augmentent pas les variations du travail moteur et du travail résistant , on fait en sorte que leur centre de gravité reste immobile ^ car alors le travail de la pesanteur sur ces pièces est constamment nul ; leur seul inconvénient est d'accroître un peu la somme des frottements. Les volants sont ordinairement de grandes roues concentriques à Tarbre principal de la machine.

Il arrive assez souvent que la force motrice et la force résistante peuvent être réglées de manière qu elles reprennent toujours les mêmes valeurs lorsque l'arbre de la machine a tourné d'un angle déterminé; dans ce cas, le

DYNAMIQUE. 8l

mouvement finira par être périodique, F amplitude de la période sera F angle dont il s'agit. Nous pourrons déterminer le moment d'inertie du volant qu'il faut adapter à l'arbre pour que la difTérence entre la plus grande et la plus petite des valeurs de la vitesse soit réduite, dans chaque période, à une fraction donnée de la vitesse moyenne. Un exemple simple indiquera la marche à suivre.

Nous supposons un arbre horizontal OA, muni d'une manivelle ON qui est articulée à une bielle verticale NM. La force résistante est un poids Q suspendu à l'extrémité d'une chaîne qui s'enroule sur l'arbre. La force motrice est une force constante P, qui pendant une demi-révolution tire la bielle dans le sens de la pesanteur, et pendant l'autre demi-révolution la pousse en sens contraire, de manière à favoriser toujours le mouvement de rotation sans écarter la bielle de la verticale. Nous négligeons le poids de la chaîne et celui de la bielle, et nous admettons que le mouvement soit devenu périodique. Puisque le mouvement est périodique, le travail de la force motrice pendant un tour entier est égal au travail de la force résistante. Si donc on nomme r et R les rayons de r arbre et de la manivelle , on aura

4R.P == 27rr.Q,

Quand la vitesse est un maximum ou un minimum , la force motrice fait équilibre à la force résistante. Ainsi , en désignant par a l'angle que la manivelle fait avec la verticale OB à Tinstant du maximum ou du minimum de IL 6

8a MÉCANIQUE RATIONNELLE.

vitesse, on a ]a relation

zbPRsinarrrQr;

d'où Ton tire, eu égard à Tëquation précédente,

a = ± arc sin —

Soient BON = — B01VI'= a, , le plus petit des angles dont le sinus est ~» et BOM = — BON' =7r — a^ La vi-

tesse a évidemment la même valeur minimum en N et N', et la même valeur maximum en M et M'; car, en vertu dp la symétrie, le mouvement est le même aux deux extrémités d'un même diamètre.

Soient tùi la vitesse angulaire maximum, (ù^ la vitesse angulaire minimum, et ^ mp* le moment d'inertie de l'arbre, de la manivelle et du volant inconnu autour du même axe O.

D'après ce qui précède, l'équation des forcer vives, étendue à l'arc décrit NM, devient

(fc,J — (ùl)^mp^= 2[2PR cosa, — Qr(7r — 2a,)],

(l) («î — «;)2/wp»=:2Qr[ir(cosa, — i)-t-2a,].

Soit encore fl le quotient de 2 tt par la durée d'une révolution de l'arbre, c'est-à-dire la vitesse angulaire moyenne, quantité qui est supposée connue. Il s'agit de déterminer le

moment d'inertie ^nip* parla condition que le rapport

-î * se réduise à une fraction donnée /ut, sans que la

vitesse SI éprotive aucun changement.

La vitesse moyenne Si différera peu de la demi-somme des vitesses extrêmes, lorsque le problème sera résolu, et

que la quantité (i sera une petite fraction. Si donc on pose

e sera une petite quantité, et Ton aura

(ù] — wj dr 2 (w, — w,)a(i — g) = apiû' (l — «), (2) 2)/wp'=-~;[7r(cosa, — i)-}- 2a,](i-f.«-h«'-h.. .)•

Pour une première approximation j on peut négliger e ] alors il vient

S'^P'— -^[7r(cosa, — i)-h2a,].

Celte équation fait connaître d'une manière approchée le moment d'inertie du volant, lorsque celui de l'arbre et de la manivelle sont donnés. Admettant cette valeur, on tirera de l'équation générale des forces vives la valeur de la vitesse angulaire w correspondante à un angle quelconque 6 , exprimée en fonction de cet angle et de la vitesse Wo ; on calculera celte vitesse «o à l'aide de la rela-

(ùdO= 27rîî, puis on aura «t par l'équation (i),

et enfin e par la relation

Ceci fait, on prendra pour nouvelle valeur du moment d'inertie la valeur déjà trouvée augmentée de

-^TTr fcosa, — l)-f- 2«,]«.

Cette nouvelle valeur sera plus exacte que la première;on pourra s'en servir pour calculer une nouvelle valeur de e, que l'on substituera. dans la formule (2) en négligeant seulement le cube de s. De cette manière, on poussera

84 MÉCANIQLE RATIONNELLE.

rapproximatioli aussi loin qu'on le jugera convenable.

Ordinairement on prend le nombre fx égal à «-•,€!

Ton se borne à la première approximation.

Pour réduire les formules en nombres rapportés aux unités communément admises dans ce genre de questions, on exprimera Q en kilogrammes, /• en mètres, et l'on rapportera les vitesses à la seconde prise pour unité de temps. Alors, si l'on nomme n le nombre de tours que

2 7rrt

l'arbre exécute en une minute, -^ — sera la vitesse angulaire moyenne îl, /r = STirQ sera le nombre de chevaux qui mesure la force de la machine^ représentant ce nombre par la lettre c , on aura , à la première approximation ,

2 2025oooc / /-- 7 . 2\

m û« =: — - — ( Vît* — ^ — r, -f- 2 arc sin - •

Comme la forme du volant n'est point déterminée , on profitera de cette indétermination pour diminuer son poids et alléger d'autant les frottements sur l'axe. Il suffira d'éloigner les parties les plus massives de Taxe de rotation. Néanmoins on ne pourra pas augmenter indéfiniment le rayon de la couronne qui forme ordinairement la partie principale du volant 5 car les forces centrifuges, qui croissent comme le rayon , finiraient par être assez puissantes pour rompre la pièce.

Cet exemple est plus général qu'il ne parait au premier abord 5 car il comprend toutes les machines qui peuvent se réduire à une série de pièces tournant autour d'axes fixes, et liées à l'arbre principal de manière que la vitesse angulaire de chaque pièce reste dans un rapport constant avec celle de Tarbre. La force résistante peut d'ailleurs

être appliquée à l'un quelconque de ces corps, ou répartie sur plusieurs d'entre eux , pourvu que la force appliquée à chaque corps ait toujours le même moment relatif à l'axe de rotation correspondant.

En effet, soient 1 le moment d'inertie d'un corps autour de son axe de rotation, i le rapport constant de sa vitesse angulaire à la vitesse angulaire co de l'arbre principal , et Q' /' le moment de la force résistante qui lui est appliquée, pris relativement à l'axe de ce même corps. Sans changer la somme des forces vives , on peut substituer à ce corps une masse distribuée symétriquement sur l'arbre principal et à une distance de l'axe telle, que le moment d'inertie de cette masse autour de l'axe soit li*. Sans changer le travail résistant, on peut remplacer la force Q' par

une force Q' - ajoutée au poids Q qui agit directement sur

l'arbre principal à la distance r. Alors on sera ramené au cas simple qui vient d'être traité. Les formules resteront

les mêmes, mais ^^^p* représentera le moment d'inertie

du volant et de l'arbre fictif qui remplace tous les corps, et Q représentera le poids fictif qui remplace toutes les forces résistantes. Cette méthode analytique et rigoureuse condui t le plus souvent à des calculs pénibles et difficiles. C'est pourquoi les ingénieurs préfèrent employer des procédés approximatifs dont T exactitude est suffisante pour la pratique.

Supposons d'abord que la vitesse de chaque molécule de la machine soit dans un rapport constant avec la vitesse angulaire de l'arbre principal dont on veut égaliser le mouvement, ou du moins admettons que les pièces qui ne satisfont point à cette condition aient une force vive constamment négligeable vis-à-vis de la force vive possédée au même instant par l'ensemble des autres pièces. Ceci

86 MÉCANIQUE RATIOI«»£LLE*

revient à supposer que la somme des forces vives peut, sans erreur sensible, se représenter par une expression

de la forme «* ^1 '''P*» ^ désignant la vitesse angulaire

de l'arbre , et >* m p' une somme constante formée d'une