partie connue, plus le moment d'inertie du volant

Nous remplacerons les forces motrices par une fordte unique appliquée directement à l'arbre , perpendiculaire à l'axe, et ayant à chaque instant même travail élémentaire que les forces motrices réellement appliquées. Ceci est évidemment possible et même facile. Nous ferons une substitution semblable pour les forces résistantes. Ce sont ces deux forces fictives que nous considérerons dorénavant.

Construisons point par point une courbe S,„ qui ait pour ordonnée le moment de la force motrice relatif à l'axe ^ et pour abscisse la longueur de l'arc qui, dans le cercle de rayon égal à l'unité, mesure l'angle dont l'arbre a tourné. L'aire comprise entre la courbe, l.'axe des abscisses et deux ordonnées infiniment voisines correspondantes aux angles 6 et 6-f-«?9, mesurera le travail élémentaire de la foice motrice pour la position déterminée par r angle 9^ Car toute force appliquée sur l'arbre et perpendiculaire à l'axe peut être considérée comme appliquée à l'extrémité du rayon qui lui est perpendiculaire.

Construisons de même une seconde courbe S^ rapportée aux mêmes axes coordonnés , et relative à la force résistante.

Les aires de ces deux courbes , comprises entre deux or-»données AC, BD distantes de a tt, mesurent l'une le travail moteur, l'autre le travail résistant développé pendant un tour entier. Ces deux aires doivent être égales pour que le mouvement soit périodique avec une amplitude de période

égale 2 71 (.*). Si celle égalité n'a pas lieu , ou modifiera la force motrice, le plus souvent disponible, de manière à établir sensiblement l'égalité des deux aires.

Ceci fait, les intersections des deux courbes doivent se trouver en nombre pair entre les deux ordonnées AC , BD. Chacune ^des aires comprises entre les deux courbes et limilées à deux intersections consécutives , mesure la moitié de la quantité dont croît ou décroît la force vive pendant que l'arbre tourne de l'angle mesuré par la différence des abscisses correspondantes aux deux intersectio^is extrêmes. Parmi ces aires , celles dont le contour supérieur est formé par la courbe S^ répondent à un accroissement de force vive , les autres répondent à une diminution de force vive. Prenons un nombre impair de ces aires consécutives,. en commençant par Tune de celles qui répondent à un accroissement de force vive; ajoutons celles qui répondent h un accroissement, et relranchons celles qui répondent à une diminution. Soit Ej — E3 4- E* la plus grande différence que nous puissions former de cette manière. La première intersection Ij repondra à la plus petite vitesse angulaire Wo , la dernière intersection I* .répondra à la plus grande vitesse angulaire Wi , et nous aurons l'équation

'(^" — «0) 2 w p» = 2 (E, — E, -h È4). La solution s'achève* comme dans le cas simple trailé

(') Si Tamplitude de la période était un autre angle ji, ou prendrait la elistance des ordonnées extrêmes AG, BD égale à Tare /3.

précédemment. Si l'on conserve la même notation, et que, de plus, on nomme k le rapport de Taire Et — Ej 4- E4 à Taire qui mesure le travail résistant développé pendant un tour entier, on aura , pour déterminer le moment d'inertie du volant, en se bornant à la première approximation ,

mp

La partie pénible de cette solution consiste dans le tracé des courbes S,„ , S,.. Nous indiquerons plus loin des appareils dynamométriques qui peuvent exécuter d'eux-mêmes ce tracé. •

(Considérons encore une machine à vapeur de TVatt, Le piston communique le mouvement à Tarbre par Tintermédiaire du balancier, de la bielle et de la manivelle. L'arbre fait mouvoir des pièces dont les vitesses sont avec la sienne dans des rapports constants.

Dans le calcul de la force vive, on peut, sans erreur trop grande, considérer les masses du piston à vapeur, de la bielle et des pistons des pompes qui sont mises en mouvement par le balancier, comme concentrées aux points d'articulation de ces corps sur le balancier. De plus , la force vive moyenne du balancier étant ordinairement inférieure à ïa centième partie de celle du volant et de Tarbre fictif, qui remplace toutes les autres pièces de la machine , il est permis de remplacer la valeur exacte de " la force vive du balancier par une valeur approchée, d'un calcul plus commode. Or, si l'on nomme &> la vitesse angulaire de Tarbre, «' celle du balancier, R' la demilongueur du balancier, et /la longueur variable d'une parallèle au balancier menée par le centre de Tarbre jusqu'à la rencontre de la bielle, il est aisé de voir, d'apirès ce que nous avons dit à la page 186 du tome I, qu'on a

constammcQt la relation

Ainsi, la force vive du balancier est rigoureusement le produit du moment d'inertie de ce corps autour de son

axe par le facteur S7^ w*. Il nous est permis de remplacer

ce dernier facteur par la quantité peu différente ^11', il désignant la moyenne arithmétique entre la plus grande et la plus petite valeur de &) , c'est-à-dire ^ ^» '

Ceci posé, soient

2 /Wjo' le moment d'inertie de l'arbre fictif et du volant ]

ïùi la vitesse angulaire que possèdent ces deux pièces quand la manivelle est au point mortj c'est-à-dire, quand le prolongement de la bielle rencontre Taxe de rotation -,

I le produit de :^ par le moment d'inertie du balancier

autour de son axe propre •,

T,„ le travail de la vapeur diminué du travail des résistances qui agissent sur le balancier, savoir le frottement du piston, et l'effort de la pompe alimentaire, de la pompe à air et de la pompe à eau, ce travail étant compté à partir de la position de la machine correspondante au point mort;

Tr le travail de la résistance appliquée sur* l'arbre, compté depuis la même position.

L'équation des forces vives, pour une position quelconque, sera sensiblement

yO MÉCANIQUE RÀTIOMÎELLE.

On construira dans une épure à grande échelle les valeurs de IZ', T,„,T^ correspondantes à des arcs décrits croissant en progression arithmétique et comprenant un tour entier ; puis on cherchera sur cette épure la plus grande valeur Ml du second membre de l'équation précédente et la plus petite valeur Mq. Ces valeurs étant trouvées, le problème sera résolu 5 car on aura

et, par suite, assujettissant le rapport -^ à prendre

la valeur ju,

VI , M, — Mo

On .pourra consulter avec fruit sur. ce sujet un beau Mémoire de Corîolis inséré au XXP cahier du Journal fie rÉcole Polytechnique,

Lorsque la machine a plusieurs arbres réunis par des engrenages ou des courroies sans fin , et d'ailleurs sollicités par des forces quelconques, il n'est point indifférent de placer le volant sur tel ou tel arbre. Il convient de le placer sur celui qui éprouve les plus grandes variations dans sa force appliquée, afin d'éviter autant que possible les chocs dans les engrenages.

En effet, considérons deux arbres de i:ayons r, r', sollicités dans le sens du mouvement par deux forces dont les moments autour des axes respectifs soient Pr, P'r', et supposons que le premier arbre conduise le second par l'intermédiaire d'\ine courroie sans fin ou d'un engrenage à dents très-petites. Nous pourrons assimiler la pression des dents de l'engrenage ou la différence entre les tensions des deux brins de la courroie , à la tension d'une corde qui s'enroulerait sur le premier arbre et se déroulerait sur l'autre. Alors, si nous représentons par T cette ten-

DYNAMIQUE. . gi

sion, par o), o)' les vitesses angulaires des deux arbres, et par Mr', M'r^' leurs moments d'inertie autour d^ leurs axes respectifs , nous aurons, en appliquant l'équation des forces vives à un instant infiniment petit,

D'après la relation rtù = r'w', il s'ensuit

P — T M^ PiM^ -> P M

P'-hT""M'' ~7 iM-i-M' •

Cette valeur de la tension nous montre que , pour deux accroissements égaux attribués séparément à P et à P', les variations correspondantes de la tension sont entre elles dans le rapport- inverse des quantités M et M^ Donc , pour éviter que la tension varie brusquement ou change de signe , auxquels cas il y aurait choc entre les dents de Pengrenage, il convient de faire correspondre le plus grand moquent d'inertie à l'arbre dont la force "appliquée éprouve les variations les plus subites et les plus considérables.

Les volants ne sont pas destinés seulement à égaliser pendant un tour le mouvement devenu périodique; ils servent encore à empêcher que le mouvement ne change trop rapidement d'un tour à l'autre, lorsque les variations de la force motrice et de la force résistante ne lui permettent pas de devenir périodique. Dans ce cas , le volant ne peyt empêcher l'accélération ou le ralentissement, il ne fait que les retarder, jusqu'à, ce qu'un autre appareil vienne modifier la force résistante , de manière à suppri-^ mer la cause de l'accélération ou du ralentissement.

Ce second appareil porte le nom de régulateur^ le plus employé est le régulateur à force centrifuge.

9'i . MÉCANIQUE RATlOmWELLE.

• Deux tiges égales Â6 sont articulées en un même point A sur un axe vertical mis en mouvement par la machine^ et portent à leurs extrémités deux massés égales 6.

Ces deux liges se relient par deux autres tiges articulées CM, avec un manchon M qui ismbrasse l'axe et peut glisser verticalement. La surface extérieure de ce manchon est taillée en gorge, et dans la gorge s'engage une fourchette^ extrémité d^un levier L , propre à régler la puissance ou la résistance. La considération des forces centrifuges fait voir que, si la rotation de Taxe s-'accélère, les masses s'écartent, et, par suite , le mauchon se soulèvp et agit sur le levier. Le levier modifie ordinairement la puissance et non la résistance. Dans les machines hydrauliques, il baisse ou soulève la vanne 5 dans les machines à vapeur, il tourne une soupape à gorge placée dans le tuyau de communication entre la chaudière et le cylindre, ou, ce qui est mieux, il fait varier le degré de détente avec lequel la vapeur agit dans le cylindre. On préfère ce dernier mode d'opération, parce qu'il permet de supprimer la soupape à gorge qui absorbe toujours une partie de la force de la vapeur.

Déterminons la position d'équilibre du régulateur, en Te considérant comme formé de deux points pesants réunis à l'axe par deux tiges sans poids.

Soient / la longueur commune des tiges , * a l'angle qu'elles font avec Taxe et « la vitesse angulaire.

Pour qu'il y ait équilibre, la résultante de la pesanteur et de la force centrifuge sur chaque poids doit être dirigée

suivant le prolongement de la tige; par conséquent, on a

0)^ / sin a • -y- = taDga,

sin a (w'/cosa -^ ^) =0; d'où l'on tire

sin a = 09 ou bien cos a = -^z

La seconde solution a seule quelque intérêt. Pour qu'elle soit réelle, il faut que la vitesse angulaire surpasse 4 /y ;

lorsque w = t /f» «"He donne a = o.

Quand on veut construire un régulateur, on se donne Tangle a correspondant à une vitesse déterminée w, et l'on en conclut la longueur des tiges ,

w'cosa

3. Travail résistant des frottements, — Étudions le travail développé par les frottements dans quelques machines les plus simples. Il s'agît ici Am frottement dynamique tel qu'on l'a défini (t. I , p. 58).

Pour estimer le travail du frottement, on peut considérer la force de frottement comme celle d'un ressort qui s'oppose à Técartenient des molécules en contact, suivant la tangente commune aux deux surfaces dont elles font partie, tant que la distance de ces molécules est inappréciable ou tant que d'autres molécules infiniment voisines ne sont pas venues se toucher et jouer le rôle des premières. D'après cela, le traitait dâ au frottement de deux surfaces qui glissent l'une sur l'autre a pour mesure Fintensité de la force de flottement intégrée par rapport à Varc de glissement.

94 MÉCANIQIJE HATIOBIVELLE.

Engrenages cylindriques. — Considérons d'abord le frottement développé dans le mouyement d'un engrenage cylindrique. Nous pouvons, supposer les roues réduites à leurs basés; et nous avons vu (t. I, p. 191) que le mouvement relatif des deux profils s'obtient en supposant fixe l'une des circonférences primitives,, et faisant rouler l'autre circonférence primitive sur le contour de la première. Dans ce mouvement fictif, tout point de la figure mobile décrit à chaque instant un petit arc de cercle autour du point de contact des circonférences primitives. Observons en passant que l'angle sous-tendu par cet arc élémentaire est la somme des deux angles infiniment petits dont les circonférences primitives ont tourné dans le mouvement réel. De plus, les éléments en contact dans les deux profils sont à chaque instant perpendiculaires sur la droite qui les joint au point de contact des circonférences primitives. Ainsi , nous voyons déjà que pour des rotations égales et infiniment petites d'une circonférence primitive, l'arc de glissement élémentaire est proportionnel à la distance du contact des dents au contact des circonférences primitives ; en sorte que, si la pression normale est constante, le travail élémentaire du frottement est lui-même proportionnel à cette distance. Venons au détail du calcul.

Soient r, r' les rayons des deux circonférences primitives O, 0^5

Q là résistance , supposée constante, qui agit tangentiellement à la roue conduite C et s'oppose à son mouvement;

P la pression normale qui s'exerce entre' les dents en contact;

/jt le coefficient de frottement;

DYNA.MIQUE. g5

X la distance variable du point de contact A des circonférences primitives, au point de contact M des dents correspondantes v

s l'arc décrit par un point des circonférences primitives, depuis Tinstant où les deux dents considérées ont commencé à se conduire ; •

S la valeur finale de. Tare s lorsque les deux dents se séparent.

D'après ce que nous avons dit, Tare élémentaire de glissement d'une dent sur l'autre est

/ds ds\

Par suite, le' travail du frottement pendant toute la durée du contact a pour expression

11 reste à exprimer T?x en fonction de 5.

Le mouvement des roues étant supposé uniforme , les forces Q, P et la force de frottement se font équilibre autour de Taxe 0^ Si donc on mène par le point de contact 4es dents la tangente commune MB, et par le centre O' une perpendiculaire O' B sur cette tangente , on aura

(V) Qr'=P(BM + f*BÔ'), •

la distance BO pouvant être positive ou négative. Or, quand on connaîtra le profil des dents, on pourra exprimer BM, BO', X et, par suite, Par en fonction de s.

Supposons que le profil des dents de la roue O' soit une épicycloïde engendrée par un point M d'une circonférence 0" roulant intérieurement sur la circonférence O'. On sait (t. I, p. igS) que, si Ton fait rouler simultanément les circonférences O', O'' sur la circonférence O, supposée fixe, de manière que les trois circonférences se touchent

constamment en un inèmc point, le point dëerivant M est à chaque instant le point de contact des dents correspondantes. Soient a le diamètre de la circonférence O", et a l'angle que la droite AM fait avec la tangente commune aux circonférences.

On a

*x = «5ina, -BM = r'cosa, BO' = (/ — «)-^

et, si l'on suppose que les dents commencent à se conduire lorsqu'elles se touchent au point de contact des circonférences primitives, on a

D'après ces valeurs, l'équation (V) devient

Qr'=P r'ros-4-fA(/*' — ^)sin- ;

et le travail développé par le frottement des deux dents a pour valeur

Il \\ ï **°«

^ ^ f cos - 4- fA I ; sm*-

L'intégrale qui figure ici peut s'obtenir sous forme finie , en prenant pour variable la quantité tang — •

Si l'on fait a == /, on a V engrenage à Jlanc ( t. I , p. 194). Le terme dépendant du frottement disparaît sous le signe y j en sorte que le travail a pour valeur

Si l'on fait a = oo , on a un engrenage dont les dents

ont pour profils des développantes des circonférences primitives. Lorsque les dents sont petites , cet engrenage peut se confondi^e avec l'engrenage à développantes de cercle, tel qu'il a été défini (t. I, p. ipS). Pour ce système , le travail du frottement est

"'(;*')(?>';rj;-')-

Dans les autres cas, l'expression finie et rigoureuse du travail est moins simple. Mais, comme les dents sont toujours très-petites, S est un petit arc, et, par suite, on peut, sans erreur considérable, négliger sous le signe f

les puissances de - supérieures à la première. La valeur

approchée du travail devient alors

Nommant n le nombre des dents de la roue O, n' le nombre des dents de la roue O', on a

27rr airr^

ce qui permet d'écrire la valeur précédente sous la forme

Telle est la formule commiinément employée. Elle exprime II. 7

^8 MÉCANIQUE IlAT10M«ELL£.

(jue la force du froltement peut être remplacée par une

force égale à tti^lQ ( — | — ; J , qui serait appliqué^ sur un

point de la circonférence O', dans la direction de la tangente, et en sens contraire du mouvement. Mais le travail obtenu de cette manière est un peu trop faible.

M. Combes a étendu celte analyse aux engrenages coniques et à la vis sans fin [^Journal de M. Liouville, t. II, p. iû9;i837C)].

Engrenages de Withe. — Pour que le frottement d'un engrenage ait un travail nul, quelle que soit la pression, il faut que les dents se touchent au point de contact des circonférences primitives. Gomme cela ne peut avoir lieu dans un engrenage plan que pendant un instant infiniment petit , le travail du frottement pour un engrenage à axes parallèles ne pourra rester nul qu'autant que le système sera tellement conçu, qu'en l'assimilant à un engrenage plan, la durée du contact entre deux dents correspondantes sera infiniment petite. Wilhe a réalisé cette idée dans lui système d'engrenages qui porte son nom.

Pour nous rendre compte de ce système, prenons deux profils correspondants quelconques , entamons les dents de manière qu'elles ne se correspondent plus qu'aux -seuls points situés sur les circonférences primitives. Ceci fait, concevons une infinité de roues égales , infiniment minces, juxtaposées de manière que les dents forment autour de chaque axe un véritable filet de vis, chacun des deux filets étant également incliné sur l'axe. Les deux vis cylindriques formeront un engrenage de While, dans lequel le frottement sera nul.-

(') Voir encore un Mémoire de M. Rcsal^ Journal de l'École Polytechnique, XXXIU'' cahier.

DYNAMIQUE. OQ

Coin, — Supposons qu'il s'agisse d un coin BAfe' dont toutes les molécules sont animées d'une vitesse uniforme, parallèle à la pression qu'on exerce perpendiculairement sur la tête.

Nommons P cette pression, a l'angle du tranchant, (3 et (3' les inclinaisons des faces latéràlesr sur la tète, R et R' les réactions normales exercées contre ces faces, [h et ih les coefficients de frottement relatifs aux mêmes faces. Nous négligerons le poids du coin vis-à-vis des autres forces, ou bien nous le comprendrons dans la puissance P si celle-ci est verticale et dirigée sur le centre de gravité du coin.

Puisque le mouvement est uniforme, les forces extcrieures se font équilibre-, leurs projections parallèles à la tête ont une somme nulle, ainsi que leurs projections perpendiculaires. On a donc

Rsinp — R'sinp' — ptReosp 4- f*' R' cos p' = o, P — Rcosp — R'cosp — pRsinp — p'R' sinp'= o,

et, par conséquent,

p __ p^ (' ~ fxfx^) sina 4- (fx -h i»f) cosa sin P' — fx' CCS P'

Soit / le chemin décrit par le coin dans le sens de la force P. Le travail moteur sera P/, et le travail utile, qui est celui des réactions normales R et R', aura pour valeur

R/cosp 4-R'/cosp'=r R/ r^, — i-/ ^, Ï-.

^ ^ sm P' — f*' ces p'

lOO MÉGANIQUE RATIONNELLE.

Le rapport du travail utile au travail moteur,

sina -- (tJL 4- jtf) cos^ cosp^ (i— ^ft'jsina 4- (|x -+- pt')cosa'

est maximum, pour un tranchant donné, lorsque

C08 p cos p' = o ,

c'est-à-dire, lorsque l'un des angles à la tête est droit.

Admettons que (3' soit un angle droit. Le rapport des travaux devient

tanga i

(i — ftp') tanga -*-(;* + ;*') i — f^f*' + (f* 4- f*') 'angP '

et cette fraction croit à mesure que j3 diminue ou que a augmente. Ainsi, quand on fait abstraction de V élasticité des corps, la forme la plus avantageuse que Von puisse donner au coin est celle d'un prisme rectangle à la base et très-obtus au sommet. Néanmoins, dans la réalité, plus le tranchant est obtus , plus il y a de force consommée dans l'écrasement du corps qu'il s'agit de fendre. Cette considération fait voir qu'il est dans chaque cas une limite que T angle a ne saurait dépasser sans que Teflet utile en soit diminué.

Lorsque la section du coin est un triangle isocèle et que les coefficients de frottement relatifs aux deux faces sont égaux, le rapport du travail moteur au travail utile se réduit à la fraction

I 4- f*tangp

On voit qu'il y a encore de l'avantage à augmenter l'angle du tranchant.

DYKAMIQUE. lOI

f^is à filet triangulaire. — On suppose une vis dont le filet est engendré par un '-' triangle qui se meut tout autour d'un noyau cylindrique , en restant dans le plan de Taxe, et de telle sorte que chaque point décrive une hélice.

L'axe de la vis est vertical , et porte un poids Q; une force horizontale P, tangente au cylindre qui forme le noyau, fait monter le poids Q, eu faisant tourner la vis d'un mouvement uniforme dans un écrou fixe. Il s'agit d'évaluer le travail moteur consommé par les frottements.

Nous considérerons la saillie du filet comme infiniment petite; ou plutôt nous supposerons que la charge soit distribuée uniformément sur les éléments de la surface du filet qui se trouvent compris entre deux hélices infiniment voisines, choisies de manière que le travail ne soit point changé. Alors cette suite d'éléments formera à elle seule Tune des faces d'un filet moyen, infiniment mince, que nous substituerons au filet réel. Si la saillie du filet est peu c5onsidérable relativement au rayon du cylindre, nous ne commettrons pas d'erreur sensible en prenant le rayon du filet moyen égal à la demi-somme des rayons extrêmes du filet réel.

Soient DE Taxe de la vis, AF le filet, AB la tangente à l'hélice au point A , AC une génératrice de la surface hélicoïde et AO une verticale. Le plan BAC est tangent à la surface hélicoïde. Les deux plans OAB, OAC se coupent à angle droit : nous prendrons le premier pour plan des xy^ le second pour plan des x^, et un plan horizontal pour plan des yz 5 les axes seront placés comme Tindique la figure.

102 MÉCANIQUE RÀTIOKJSELLE.

Nommons

a Tangle que la normale ON abaissée de F origine sur le plan tangent BAC fait avec Vaxe des x -,

i et c les angles que la tangente AB et la génératrice AC forment avec la verticale 5

r le rayon du filet moyen , qui est aussi le bras de levier de la puissance P;

h le pas du filet ^

[i le coefficient de frottement entre le filet et Técrou^

R la réaction normale exercée par l'écrou sur le filet ^

r/R Féléraent de cette réaction correspondant à l'élément de surface du filet.

Nous confondrons dans le poids Q le poids de la vis avec celui de la charge étrangère.

Puisque le mouvement est uniforme , les forces appliquées sur la vis se font équilibre. Écrivant que leurs composantes verticales se détruisent , il vient Féquation

Q =; I cosa^^R "~ f* / cosbdR = R(cosa — |x cosb).

On aura une seconde équation en exprimant que les moments des forces autour de Taxe font une somme nulle; mais, comme cette équation ne peut s'obtenir sans quelque peine, il sera préférable de lui substituer celle qui résulte du principe des vitesses virtuelles, appliqué au mouvement naturel de la vis pendant un tour entier.

Si Ton observe que la longueur d'une spire est — ou -r—r^ on obtient l'équation

sinb

P.27rr:

\ cos à/

= 2 7rrcoti^

••^if^^ D YN A MIQ U E . I o3

Les équations précédentes donnent, par rélimination deR,

sin6(cosa — ptcoso)

d'où l'on voit que le frottement a pour effet d'augmenter la force P de la quantité

sin3(cosa — picos^)

Cet accroissement devient infini lorsque — 7 == /jt j alors

le mouvement uniforme est impossible , quelle que soit la force motrice.

Pour achever la discussion il convient d'exprimer cos a en fonction des angles i et c qui, avec le rayon r, suflisent à déterminer la vis. Cet angle est celui de la normale au plan ABC avec l'axe des x. Or le plan ABC a pour équation

ÔÂ ÔB ÔC "" '

ou

tang/>> tangc par conséquent ,