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4. Frottement de roulement. — Jusqu'ici nous n'avons étudié que le frottement de glissement. Or il est une autre espèce de frottement, qui se manifeste par la résistance que l'on éprouve à faire rouler deux surfaces l'une sur l'autre. Ce frottement est nommé frottement de roulement ^ onhien frottement de seconde espèce. Pour concevoir comment se produit le frottement de roulement, imaginons un cylindre pesant qui roule sur un plan horizontal. Par l'effet de la compressibilité des substances en contact, le cylindre et le plan s'impriment l'un dans l'autre. Cela fait naître, du côté où se dirige le cylindre , des réactions inclinées , qui s'opposent au roulement tendant à s'effectuer autour de l'extrémité du

diamètre vertical. Si les corps en contact ne sont pas parfaitement élastiques^ les réactions qui s'exercent en arrière du cylindre ne compensent pas les réactions exercées en avant; alors il y a frottement de roulement. Le frottement de roulement a pour mesure la force horizontale qu'il faudrait appliquer à l'axe, dans le sens du mouvement, pour maintenir l'uniformité du roulement ou pour faire naître le roulement, suivant qu'il s'agit d'un frottement dynamique ou d'un frottement statique.

Les premières expériences faites sur le frottement de roulement sont principalement dues à Coulomb (* ) , qui les entreprit à l'occasion de ses belles recherches sur la raideur des cordes. D'après ce physicien, Je frottement de roulement , pour un cylindre et un plan de nature donnée y est proportionnel à la pression et im^ersement proportionnel au rayon du cylindre. Ainsi , nommant R la pression, r le rayon , et v un coefficient constant qui ne dépend que de la nature des surfaces , le frottement F sera donné par la formule

Si, comme le font quelques auteurs, on prenait pour mesure du frottement une force perpendiculaire à l'arête de contact et située à une distance constante quel que soit le rayon, il faudrait dire que le frottement de roulement est indépendant du rayon.

M. Arthur Morin {^) a repris ces expériences dans des conditions plus favorables; il a reconnu que les lois de Coulomb sont généralement peu exactes , et qu'il est im-

( ') Savants étrangers {kcSLàérniQ des Sciences), t. X ,1785.^ (') Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. X, XII » XllI et XI V , 1840-2.— Expéncnces sur le tirage des voitures. Paris, 18^2.

possible de donner à ce sujet des lois simples et générales. Néanmoins, dit-il, la résistance opposée au mouvement des voitures par les routes pavées ou en empierrement solide est sensiblement proportionnelle à la pression , et inversement proportionnelle au rayon des roues ; elle est indépendante du nombre des roues, à très-peu près indépendante de la largeur des bandes de roues , et croît avec la vitesse.

Au reste 9 le frottement de roulement est ordinairement négligeable vis-à-vis du frottement de glissement; et menue on eil fait entièrement abstraction dans tous les calculs relatifs aux corps solides et durs qui entrent dans la composition des macbines. On n'a guère à le considérer ({uedans certains phénomènes spéciaux, tels que le roulement des voitures. Nous traiterons ce cas brièvement, eu nous plaçant dans les conditions qui , suivant M. Moriu, laissent subsister les lois de Coulomb. Supposant la vitesse constante, nous n'aurons pas à tenir compte de son influence sur le frottement, une fois le coeflScient de frottement déterminé.

Considérons une roue qui roule uniformément sur un plan horizontal. Soient

P la charge de l'essieu, y compris son poids 5

p le poids de la roue -,

r son rayon;

p celui de l'essieu ;

V le coefficient de frottement de roulement entre la roue et le plan ;

ji le coefficient de frottement de glissement entre l'essieu et le creux du moyeu \

F la force horizontale qu'il faut appliquer à l'essiiîu pour maintenir l'uniformité du mouvement.

La force F se compose de deux parties : l'une fait équilibre au frottement de roulement, sa valeur est

Io8 MÉCAMQLE RATI0:NNELLE.

V ' ^] l'autre, que nous nommerons/, fait équilibre

au frottement de glissement. Pour obtenir sa valeur, observons qu'en vertu du jeu de Temboitement , le frottement ne s'exerce que sur une seule génératice de Tessieu, et déterminons d'abord cette génératrice.

La réaction du moyeu sur Tessieu est égale et contraire à la résultante des autres forces appliquées sur l'essieu, laquelle est égale à V^P'^- F*. D'ailleurs, nous avons vu (t. I, p. 59) que, toutes les fois qu'il y a frottement entre deux surfaces , la réaction totale n'est point dirigée suivant la normale commune aux surfaces en contact, mais fait avec elle un angle dont la tangente est égale au coefficient de frottement. Il en résulte que, dans notre cas, la direction de la force \/P' -f- F' fait avec le rayon de l'essieu mené vers la génératrice de contact un angle (f = arc tangfx. Par suite, la pression normale est

et la force de frottement

Ce frottement et la force/doivent avoir des moments virtuels égaux -, donc

De là suit l'équation

F = -i (^ -f- ^ '- ^pa j. F'^

Posant

on en tire

. vr(P-f-/?)4-fitV s/l/-'— f*^'p')P^ + vMP+/^)'

Le produit de cette expression par l'espace horizontal parcouru donne le travail nécessaire au transport de la charge P, travail qui est employé tout entier à vaincre les frottements.

Supposons maintenant que la force F soit inclinée à Thorizon d'un angle a et tende à soulever la roue.

Dans ce cas, la pression sur le plan horizontal est

P-l-/? — Fsina,

et la résultante des forces appliquées sur Tessieu , outre le frottement , est égale à

y/p2 4- F' — aPFsin».

Par suite , on a

F COS. = v(P+/>-F»i°-) + , t^p.^p,pFsin..

On pourra tirer de celte équation la valeur de F cos a en fonction de a , et Tangle a qui rendra cette valeur un minimum sera Tinclinaison la plus favorable au tirage.

Si le plan est incliné à T horizon d'un angle a , et la force F parallèle au plan, la pression normale sur le plan est

(P4-/;)cosa,

et la résultante des forces appliquées sur Tessieu , outre

I lO MÉCANIQUE RATIONNELLE.

le frottement , est égale à

V^P» -+-F^— 2PF sina.

Par suite, ou a Téquation

d'où Ton peut tirer la valeur de F. Alors, si l'on nomme \j.^ le coefficient du frottement de glissement entre la roue et le plan , la condition pour que la roue tourne sans glisser sera exprimée par l'inégalité

F>fx, (P-h/?)cosa.

Cette condition pourra se trouver satisfaite, même lorsque F inclinaison du plan sera nulle,

5. Raideur des cordes, — Lorsqu'un poids Q est soulevé d'un mouvement uniforme à l'aide d'une corde qui passe sur une poulie de renvoi , on observe que le travail de la puissance P, diminué du travail consommé par le frottement de la poulie sur son axe, est sup péricur en valeur numérique au travail de la pesanteur sur le poids Q. La puissance a donc à surmonter une résistance autre que celles du poids et du frottement. D est aisé de découvrir la nature de cette résistance nouvelle . La corde qui porte le poids Q doit se ployer en arrivant sur la poulie-, comme elle n'est pas parfaitement flexible, il y a du travail dépensé à vaincre son ressort; et, comme elle n'est pas parfaitement élastique, ce travail dépensé n'est pas entièrement rendu lorsque la corde quitte la poulie du côté de la puissance. On observe, en effet, que le bras de levier

de la résistance est toujours un peu supérieur à celui de la puissance, bien que les points d'application des deux forces, pris sur les cordons rectilignes, aient constamment la même vitesse:

D'après les expériences de Coulomb ( ^ ) , la partie de Texcès du travail moteur sur le travail résistant qui est due à la raideur de la .corde, pour un chemin parcouru égal à Tunité, peut se représenter, quelle que soît la vitesse, par une expression de la forme

r étant le rayon de la poulie augmenté du rayon de la corde, et a, è désignant deux constantes qui dépendent de la nature de la corde, de sa grosseur, de son état de vétusté. Toutes choses égales, a est à peu près proportionnel à la quatrième puissance du diamètre de la corde, et b proportionnel à la seconde puissance.

Cherchons la relation qui lie entre elles les forces P et Q dans le mouvement uniforme de la poulie.

Soient p le rayon de l'axe ou celui de l'œil de la poulie, suivant que l'axe tient à la poulie ou bien à la chappe , et/ la force de frottement qui s'exerce sur l'axe.

Ecrivons que la somme algébrique des quantités de travail est nulle, en observant que inr est le chemin parcouru par les points d'application de la puissance et de la résistance dans un tour He la poulie. Il vient

D reste à exprimer/ en fonction de P et de Q.

Or, ou a vu au problème précédent , dans un cas tout à

{ ' ) Satfants étrangers ( Acadéniio des Sciences) , t. X , ijSS.

112 MÉCANIQUE RATIOfiNELLE*

fait semblable , que, si Ton représente par (a le coei&cient de frottement, la force du frottement est égale au produit

de par la réaction totale qui s'exerce entre les sur-

faces en contact, laquelle est ici y P'-f-Q'-f-aPQcos (PQ), quand on néglige le poids de la poulie. Substituant cette valeur dans l'équation précédente, il vient

P = Q ^- ÎL±^ ^ ^ Pyp» H- Q» 4- aPQ cos(PQ). Dans le cas où les forces P et Q sont parallèles , on a

valeur qui est de la forme

P =: A -h BQ.

Adoptant cette dernière formule , on trouvera facilement que, pour soulever le poids Q d'un mouvement uniforme à Taide de moufles formées de n poulies égales , il faut appliquer au dernier cordon une force P dont la valeur est

6*. Mesure du travail parles appareils dynamométriques,— On peut juger, par les cas simples que nous venons de traiter, combien il sera dîflScile de calculer le travail utile fourni par une machine un peu complexe , en prenant pour unique point de départ les lois gêné-

DYNAMIQUE. Il3

raies de la mécanique. Cependant il est souvent nécessaire d'évaluer ce travail d'une manière approchée, pour la construction même de la machine. Les ingénieurs basent cette évaluation sur des expériences antérieures, faites dans des conditions analogues à celles de la machine projetée.

Ainsi , s' agit-il d'établir des pompes mues par un manège, l'ingénieur sait qu'un cheval, travaillant dans un manège huit heures par jour, fournît communément 40''", 5 de travail par seconde. Il sait encore, par des expériences faites sur des machines analogues , que les engrenages , les leviers , le communicateur, en un mot , absorbe environ le tiers du travail moteur. Par conséquent , il

t: X 4o>5 j de travail par seconde, c'est-à-dire qu'elles élèveront -~ ou

2,7 litres d'eau à 10 mètres dans une seconde. Il donnera donc aux tuyaux des dimensions suffisantes pour laisser passer commodément cette quantité d'eau.

Ceci nous conduit à dire quelques mots des appareils qui servent à mesurer le travail fourni par un moteur. Les plus employés sont le frein dynamométrique de Prony et le dynamomètre à ressorts disposé par M. Poncelet.

Le frein dynamométri- -1 que mesure le travail fourni par un arbre tournant. Supposons un arbre horizontal A ; serrons p' cet arbre entre deux mâ-

choires à frottement M, M' 5 fixons un levier L à l'une de ces mâchoires, et un plateau de balance à l'extrémité de ce levier-, puis chargeons le plateau, de manière que II. 8

Il4 MÉGADriQUE RATIONNELLE.

4'arbre glisse dans les mâchoires sans les entraîner, et que la tige, se maintenant à peu près horizontale, n'oscille que faiblement au-dessus et au*dessous de cette position. Soient r le rayon de l'arbre, F la force de frottement, et n le nombre de tours par seconde. Le travail produit par r arbre en une seconde , et consommé par le frottement contre les mâchoires , aura pour mesure

D'ailleurs, si Ton nomme / la distance horizontale de l 'axe A au poids P qui est placé à l'extrémité de la tige , et dans lequel on comprend la composante du poids propre du levier qui agirait à la même distance pour le faire baisser, l'équation des vitesses virtuelles donnera

Fr= P/.

Il en résulte que le travail développé en une seconde aura pour mesure le produit du poids P par le chemin que parcourrait son point d'application si le levier tournait avec l'arbre, ou a7r//»P.

Hachette a proposé de remplacer le plateau de balance

par un dynamomè-.

tre analogue à celui de Régnier, et dont les ressorts indiqueraient par leur flexion l'effort P qui fait équilibre au frottement de l'arbre. M. Poncelet place parallèlement au dynamomètre un plateau tournant, mis en mouvement par une courroie sans fin engagée sur l'arbre. Ce plateau reçoit la trace d'un style S, fixé au milieu du ressort mobile^ les aires comprises entre la

courbe tracée et les rayons menés aux extrémités sont évidemment en rapport avec le travail développé; on peut donc en conclure le travail. Pour faciliter le calcul, on subslitue au disque tournant l'appareil décrit au tome I , page 2o5 . La courroie sans fin embrasse le cylindre marqué du numéro 3 , et la bande de papier se meut parallèlement au plan du dynamomètre. Un second style S', placé au point fixe, trace une seconde ligne qui est à peu près droite. Alors , si la flexion des ressorts , mesurée par l'écarlement des deux lignes, est proportionnelle à la traction P, le travail sera simplement proportionnel à Taire comprise entre les deux lignes et deux droites joignant leurs extrémités correspondantes. On mesurera cette aire, soit par les formules des quadratures, soit en découpant le papier suivant le contour et le pesant , méthode pratique qui est ordinairement suffisante dans ce genre de recherches.

Quand un ressort est d'un acier convenablement trempé, sa flexion reste proportionnelle à la charge, dans des limites assez étendues. On donne au ressort du dynamomètre la raideur convenable pour que ces limites comprennent la plus grande traction qu'il éprouvera dans r expérience. De plus, pour que la flexion soit un maximimi : ^- relativement à tout au-

tre ressort offrant même résistance à la rupture, on donne aux deux lames la forme d'un solide d'égale résistance.

Elles sont partout d'égale largeur, et, quand le bord intérieur d'une demi-lame est dressé en ligne droite, le

Il6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

bord extérieur forme une parabole de très-court foyer, dont l'axe est le premier bord; le sommet de la parabole esta rextrémitéE {*).

Il est sans doute inutile d'ajouter que l'appareil de M. Poncelet peut mesurer le travail indépendamment du frein.

Par exemple, si l'on veut évaluer le travail produit par un cheval traînant une voiture, on fixera le dynamomètre derrière lepalonnier, et l'on engagera la courroie sans fin sur le moyeu de la roue.

Citons encore le petit appareil connu sous le nom d^îndicateur de Tf^atty qui est tout à fait analogue à l'appareil de M. Poncelet, si ce n'est que le ressort à pincettes est remplacé par un ressort en hélice. Il est spécialement employé à mesurer le travail de la vapeur agissant dans le cylindre d'une machine à détente.

(^ ) Voir le Complément aux questions de Statique^ chap. II; sect. 2.