Dans un corps
ABC A', qui peut glisser
sur unplan horizontal
et parfaitement uni
Jj^ I QGK^^ est pratiqué un
canal très-étroit AhA! ^
* situé dans le plan ver-
(') Principia; Axiomata sive leges motûs^cor. 4- (') Traité de Dynamique, part. II, chap. W. ( ' ) Mécanique analytique, part. U , sect. 3 , § i .
Il8 MÉCÀJ^IIQXJE RATIONNELLE.
tical qui contient le centre de grai^ité du corps. Déterminer la courbe que doit affecter ce canal, pour qu^ un point pesant P, qui j serait déposé, exécute des oscillations tautochrones ,
On fait abstractioD des frottements.
Nous pouvons supposer tout le système condensé sur le plan du canal.
Soient M la masse du corps, m celle du mobile P, X la distance d'un point D de la base du corps à un point fixe O pris sur le plan horizontal ^ x la distance du mobile à la verticale du point D, et y la hauteur du mobile au-dessus du plan.
Le principe du mouvement du centre de gravité s'applique au système foiTaé par le corps et le point pesant, pourvu que Ton considère le corps comme sollicité, nonseulement par la pesanteur, mais encore par la réaction du plan fixe horizontal. En eflet , le système ne sera plus assujetti qu'à une seule liaison, consistant en ce que le point mobile doit rester .dans le canal. Or cette liaison est une relation entre les distances mutuelles ; car, si Ton nomme r, r' les distances d'un point quelconque à deux points déterminés, pris sur le corps, la courbe formée par le canal pourra se représenter par une équation de la forme
et la liaison qui existe entre le corps et le point mobile sera représentée par la même équation , où les distances r, r' seront relatives au point mobile.
Au reste, pour s'assurer que le principe du mouvement du centre de gravité est applicable dans le sens in-: diqué, il suffit d'observer que l'ensemble du point et du corps peut se mouvoir 0)mme un corps solide, en satisfaisant aux liaisons
Ceci posé , la distance du centre de gravité du système à la verticale du point O est
/yi(X4-a?) + MX w + M '
et, puisque les forces horizontales sont nulles, cette distance doit rester constante^ on a donc
dt dt
Le principe des forces vives donne encore l'équation
/o étant la valeur initiale de y.
On lire de la première équation
^X m dx
Substituant cette valeur dans la seconde équation, il vient
d'où
^ dx^ dr^ , ,
n/ M dx^ Y
Si la courbe du canal était donnée , la dernière formule ferait connaître le mouvement du point , et l'équation (A ) celui du corps {*). Mais ici le problème est diiférent.
(^) Par exemple, si le canal est rectiligne, on tronyera que le point pesant décrit dans Tespace une ligne droite d'un mouvement uniformément accéléré. (Jean Bernoulli, Comment. Acad. Petrop., 1780, p. 11. - Opcra, t. m, p. 565.)
Supposons que rextrëmité des arcs qui doivent être parcourus pendant le même temps ait une ordonnée nulle. Il nous faut trouver la relation entre x et j qui rend indépendante de jTq l'intégrale
Cette relation doit être telle , que la quantité comprise sous le signe f soit de degré o en j^o ? JK? ^J]^^ d'ailleurs
— ne saurait dépendre de jo : par conséquent, si Ton
représente par a une constante indépendante de yo) on peut poser,
Cette relation peut s'écrire
JL i.
en l'intégrant, on aura l'équation de la courbe que doit former le canal.
Quand on suppose que la courbe passe à l'origine , il vient
^=^\—^) ( v/2«r -/*-+-« arc cos ^-~)' I
On reconnaît une cycloïde allongée, qui se construit en dilatant les ordonnées d'une cycloïde perpendiculaires à l'axe, dans le rapport de y/M -+- m à v'M.
La durée d'une demi-oscillation est
y s Jo \ly,y—y' V g
Quand cette durée est donnée , on en conclut la valeur de la constante
Claikaut, Mém, de VAcad, des Se, de Paris ^ l'J^i , p. ^\.
2*, Déterminer le mouvement de deux points matériels qui s'attirent proportionnellement à là masse et en raison inverse du carré de la distance.
Soient m , m' les masses \
r, r' les distances au centre de gravité commun ^
p la distance mutuelle 5
fx l'attraction de l'unité de masse sur Tunité de masse à l'unité de distance. ■
Le centre de gravité commun aura le mouvement rectiligne et uniforme que produirait une quantité de mouvement initiale égale à la résultante des quantités de mouvement initiales des deux mobiles , en supposant au centre de gravité une masse égale à la somme des masses des deux points. Le mouvement de ces deux points autour du centre de gravité sera celui qui résulterait des positions et vitesses initiales relatives au centre de gravité , et aussi de forces accélératrices dirigées vers ice centre, égales à
'—p pour le point m, et a ^—ç- pour le point m.
Or, d'après les relations
les valeurs de ces forces accélératrices peuvent s'écrire
Y-m!^ I pi m* i ^
{m + m')' /^' (/WH-/7I')» 7» '
d'où Ton voit que le mouvement relatif au centre de
122 MÉCÂIÎIQUE RATIOMNELLE.
gravité n'est autre que le mouTemeut bien connu d'un point matériel autour d'un centre fixe qui l'attire.
Il en résulte , en particulier, que les deux orbites décrites autour du centre de gravité , considéré comme fixe, sont des courbes planes , bien qu'elles ne soient pas nécessairement situées dans un même plan. En outre, la re-
r r' lation — : = — montre que ces deux courbes sont semm m ^
blables et semblablement placées, le centre de gravité étant centre de similitude inverse.
On aura le mouvement absolu en ajoutant les coordonnées du centre de gravité à celles du mouvement relatif. Les courbes que Ton obtiendra de la sorte seront généralement transcendantes.
