PRINCIPE DES AIRES

Considérons un système de points matériels , dont les liaisons se réduisent à des relations entre les distances mutuelles seulement. D*une origine fixe menons des rayons vecteurs aux différents points du système, et faisons la somme des produits que Von obtient en multipliant la masse de chaque point par la projection droite sur un plan fixe de Faire décrite dans V espace par son rayon "vecteur^ à partir d^une époque déterminée qui est la même pour tous les points. Si les moments des forces motrices autour de la droite qui projette l ^origine font une somme nulle, la somme des produits dont il s'agit croîtra proportionnellement au temps.

Tel est le principe des aires.

Outre les liaisons ci-dessus mentionnées, l'un des points peut être assujetti à rester fixe; mais , dans ce cas , l'origine doit être prise au point fixe.

Le principe des aires est une généralisation du théo-

DYIîAMIQUE. 123

rème de Newton (* ) sur les aires que décrit le rayon vecteur d'un point matériel sollicité par une force centrale. Il fut découvert presque en même temps par Euler ('), Daniel BernouUi (') et d'Arcy (*), à Toccasion du mouvement de plusieurs points matériels renfermés dans un tube de forme donnée, et mobile autour d'un point fixe.

i . Un point matériel, de masse m, est lié à deux fils inextensibles et sans masse, qui trai^ersent un petit anneau fixe O, et tiennent à leurs extrémités deux autres points matériels , de masses m\ m". Tout le système est situé sur un plan horizontal et parfaitement uni. Déterminer le mouv^ement des points et la tension des fils, en négligeant le frottement sur Vanneau, et supposant que les fils restent constamment tendus.

Soient Om == r, Om' = r', Om" = r" -,

6, 6', B" les angles que forment les rayons sur un axe fixe, situé dans le plan horizontal^

T' et T" les tensions des fils mOm^ et mOm" ^

V et l" les longueurs de ces fils.

Puisque toutes les forces sont dirigées vers le centre O, on peut appliquer les formules des forces centrales à chacun des trois points. De là les équations

d'^r dp

^ ^ ^ dt^

df" Le principe des aires s'applique à chaque point consi-

(*) Principia, lib. 1, prop. i.

( ') Opuscula. De motu corporum tubis mohilihus inclusorum, scct. 2;i 74^ •

(•) Mém, de VÂcad. des Se. de Berlin, 1745, p. 54-

(*) Mém, de VAcad. des Sciences de Paris, 1/471 p. 348.

'' dt'

dt'

dcFé isolément. Il en résulte qu'en représentant par C, C, CP les quantités constantes qui mesurent le double des aires décrites dans Tunité de temps par les rayons r, r', r^\ on a les trois équations

dt ' dt

Enfin les relations

donnent

dr , dr' dt^ dt=°'

dr dr" *+ di =°'

d'r d'r' ■dô^ dt^ =°'

rf'r d'r"

dt' ' dt' -°-

Pour avoir les valeurs des tensions , il suffit d'ajouter successivement la première des équations (i) avec chacune des deux autres, en éliminant les dérivées par les équations (a) et (5). Il vient ainsi

rp// rp// , fin/ ç% çn^

d'où l'on tire aisément

Cherchons maintenant les trajectoires.

D'après le principe des forces vives , on a

[df^ "^ '-' dP)

\dt'

r"^ --r- ] =: const, -j=i A.

dt^ )

Si l'on élimine r', r\ 6', 0" et dt à l'aide des relations (a), (3) et (4), il vient

, , „.C dr* C , C" .

Telle est l'ëquation de la trajectoire du point m. On obtiendrait de la même manière les équations des deux autres trajectoires.

Les formules (2) montrent que les mobiles ne peuvent jamais atteindre l'anneau, à m'oins que leurs vitesses initiales n'aient été dirigées vers ce point; dans ce cas, leur mouvement serait constamment rectiligne.

Admettons que ce cas se présente pour les mobiles m\ m"..

Alors C, C seront nulles, etFéquation (5) pourra s'intégrer sous forme finie. On trouvera l'intégrale

^ = c y/5 sec {\/„^Z + m" ' + *=""*'•)•

On traiterait^ sans plus de difficultés le cas où les points matériels réunis par des fils au point m seraient en nombre quelconque.

RiccATi, Comment. Bonon. , t. V, part. I, p. i5o; 1767.

2. jéppUquer les principes des forces viues^ du mous^ement du centre de gra\^ité et des aires au mouvement du soleil et des planètes considérés comme des points maténels.

On considère ici Tensenlble d'une planète et de ses satellites comme ne formant qu'une seule masse, située au centre de gravité du système.

Soient

M, m , m'^ etc., les produits des masses du soleil et des

ia6 MÉGÀMQUE RÀTIONIVELLE.

planètes par la constante qui mesure Tattraction de Tu

nitë de masse sur Tunité de masse à l'unité de distance; X, Y, Z les coordonnées du soleil par rapport à des axes

rectangulaires et fixes dans l'espace 5

?î ^1 Cî S 5 ^'î f'î ^^^"> ^®® coordonnées des planètes

m, m\ etc. 5

r, r', etc., les distances du soleil aux planètes m, m^ etc. 5 pi^ i la distance de la planète m^*^ à la planète m^^K Les équations du mouvement sont les suivantes :

d'Y dfi

d'Z dû

d^ dû

PJ,.

"il"- PJ.,

dû '

PÎ.

PÎ.,

dû

PÎ,.

Pî..

Le principe des forces

vives donne Tintégrale

l^dX'-i^dY'^dZdû

['" dt'

où A représente une constante, et ^^ un signe somma-

toire qui s'étend à toutes les combinaisons des différentes planètes.

Le principe du mouvement du centre de gravité donne

les intégrales

/ MX+ 2 «l = «'-<-«»

, UY+'^m7, = bt+^,

MZ +2'»Ç=<^' + V.

la;

a, b, c, a, /3, y étant des constantes.

Enfin le principe des aires donne trois intégrales dont l'une rentre dans les deux autres :

YdZ-ZdY ^( ndX, — Un\

; ZrfX-XrfZ ^/ ÇrfÇ-$rfÇ\

M ^ + 2i r dt j =^'

e, y*, g^ désignant des constantes.

Ces intégrales rigoureuses du mouTement absolu des corps célestes, sont les seules que Ton ait pu trouver jusqu'ici.

On a bien plus souvent à considérer le mouvement relatif des planètes autour du soleil que leur mouvement absolu dans l'espace. Il sera donc utile de chercher ce que deviennent les intégrales précédentes , quand on regarde le soleil comme fixe , et qu'on transporte en ce point l'origine des coordonnées.

Soient

x, y^ z les coordonnées de la planète m pour la nouvelle origine;

x', y\ z' celles de la planète m', et ainsi de suite. Nous aurons

Ç = X + ar, r=X4-a:',..., >ï = Y-f-r, *ï'=Y-hr,..., i; = Z-|-z, Ç'=:Z 4-z',....

ia8 MÉCANIQUE RATIONNELLE»

Substituant ces valeurs de {, m, ^, S^••« àams les formules (i), (2) et (3), les nouvelles formules (a) nous donneront des valeurs de X , Y, Z qui, substituées dans les nouvelles formules (1) et (3), nous fourniront les quatre intégrales du mouvement relatif seules connues, savoir :

On pourra, par de simples transformations, mettre ces intégrales sous la forme donnée dans la Mécanique céleste{L.U,C.n,^9):

d. Deux paùits^.^maténels, de masses m^m'^ sont réunis par une tige ^rigide et sans masse ^ mobile dans un plan horizontal autour d'un point fixe; la mo-

lécule m peut glisser librement le long de la tige^ tandis que la molécule m' est liée sur cette droite. Déterminer la trajectoire du point m.

Si l'on nomme a la distance du point m' au point fixe, r et 6 les coordonnées pqlaires du point m relativement au même point fixe pris pour origine , et A une constante, on trouve l'équation

— :^ A (mr^ H- m' a^)* — (/wr' -h m'a^). Clai&aut, Mém. de VAcad. des Se. de Paris y 174^, p. 22.

4. Deux points matériels égaux sont fixés aux extré^ mités d^une tige rigide et sans masse, mobile en tout sens autour d'un point fixe situé en son milieu. Déterminer le mou\fement de la tige.

Soient (f l'inclinaison de la tige sur la verticale , 0 l'angle qu'elle fait avec un plan vertical fixe, (3 la valeur initiale de l'angle ç, &> et y les valeurs initiales de ^ et de

— > c et c' des constantes que l'on détermine parles données initiales, et c"* = o* -+- u* sin*(3. On trouve les équations

sin',- = c,

COSy = ' -p^ — cos.c"(/ + c').

l3o MÉGAlflQUE RATIOUNELLE.