CHAPITRE IX
MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE.
MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE AUTOUR VVÏf AXE FIXE.
Soient 0) la vitesse angulaire, et Mk* le moment d'inertie du corps autour de Taxe de rotation. Prenons cet axe pour axe des «, et nommons X, Y les forces motrices extérieures , qui sollicitent la molécule (x, j) suivant les axes des x et des y. Nous aurons
,. 2(Yx~X.r)
(^^ :57 = — WT^ — '
le signe ^ indiquant une somme étendue à toutes les
molécules du corps considéré.
Les pressions sur l'axe se calculent en exprimant que les forces motrices extérieures , transportées sur Taxe , et les forces centrifuges nées de la rotation, sont équilibrées par les réactions de l'axe, égales et contraires aux pressions.
Une des applications les plus importantes de cette théorie consiste à déterminer le mouvement d'un corps pesant autour d'un axe horizontal. Soient h la distance du centre de gravité à l'axe de rotation, et C un point situé avec le centre de gravité sur une même perpendiculaire à l'axe, à une distance / de cet axe , donnée par la formule
DYNAMIQUE. l3l
Le mouvement du point C ne serait pas altéré si toute la masse du corps était réunie en ce point. On le nomme, pour cette raison , centre d'oscillation du corps relativement à l'axe considéré. La longueur / est celle du pendule simple qui oscille dans le même temps que le pendule composé formé par le cdrps dont il s'agit.
Le P. Mersenne proposa, en 1646, de déterminer la durée des oscillations d'un corps pesant autour d'un axe horizontal 5 ce qui revient à déterminer le centre d'oscillation. Tous les géomètres qui abordèrent la solution, Descartes (*), Roberval («), Wallîs (»), Fabri (*) et le P. Mersenne (*) lui-même supposèrent tacitement que le centre d'oscillation coïncide avec le centre de percussion . Celte proposition est exacte 5 mais il est étonnant qu'ils l'aient admise sans la démontrer. Elle leur permit de trouver le centre d'oscillation dans un certain nombre de figures. Descartes détermina celui des figures planes oscillant dans leur plan , et se trompa pour les autres cas 5 Roberval trouva celui de certaines figures planes n'oscillant pas dans leur plan; enfin Huygbens résolut le cas général. Ce ne fut pourtant qu'après plusieurs essais infructueux qu'il parvint à la solution tant désirée. Elle fut publiée dans la quatrième partie de son Horologiiim oscîllatorium, 1673. Cette solution se fonde sur deux postulata ; le centre de^gravilé d'un système de corps pesants ne peut remonter de lui-même à une bauteur plus grande que celle d'où il est tombé, de quelque manière que se modifie la disposition mutuelle des corps. Un pendule composé
( • ) Lettres de Descartes.
(*) Jbid.
(") Mechanica, sife de motu.
{*) Tract, de motu, Append, phjrsîco-malh. de ceniro percussion is.
(•) Mcrsenii Rt^cxiones physico-mathematicœ, cap. XI et \II.
l32 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
remonte toujours à la hauteur d'où il est descendu librement.
Quelques années après la publication de V Horologiuni oscillatorium y Tabbé Catelan (*) fit observer que les postulata de Huyghens ne peuvent être pris pour des axiomes. Ce fut l'occasion de nouvelles recherches de la part de l'Hôpital , Jacques BernouUi et autres géomètres. Ces travaux amenèrent la solution simple , bien connue aujourd'hui.
1 . Un pendule q\d porte à son extrémité un cylindre creux, contenant du mercure, et dirigé suis^ant le pro~ longement de la tige, oscille dans un plan . ^vertical. Étant donnés, le poids p du pendule, les distances h et l du point de suspension au centre de gras^ité et au centre d^ oscillation , et le rayon intérieur du cylindre r, déterminer le poids p^ du mercure qu'il faut verser dans le cylindre pour que le pendule batte exactement la seconde.
Soient k le rayon de gyration du pendule donné autour d'une parallèle à l'axe de suspension, passant au centre de gravité 5 A' le rayon de gyration du mercure additionnel autour d'une parallèle à Taxe, passant au centre de gravité de cette masse; A' la distance du point de suspension au centre de gravité du mercure additionnel ; L la longueur du pendule simple qui bat la seconde. (A Paris , L = 0^,993 900 17).
La formule (B), jointe à la relation qui existe entre les rayons de gyration autour de deux axes dont l'un passe au centre de gravité, nous donne l'équation
H' + -^,[(A -H)' + i'] + -~rp [(H-A')'-4-*"]
(') Journal des Savants, 1682 et 1684.
DYNAMIQUE. l33
OÙ l'on a fait
p!l±JL!l ^n.
II vient , en réduisant,
et, si l'on remplace A* H- A* par sa valeur /// ,
(.) ph{l--L) = p'[h'(l.-h')-k'^].
Nommons p la densité du mercure, et u la dislance du point de suspension à la surface supérieure du mercure que contient le pendule dans son premier état.
Nous aurons
61, (page 57)
Ces deux relations nous permettent d'éliminer A' et A' de la dernière équation ; alors nous obtenons , pour déterminer p', Téquation du troisième degré
— ^ ^y /^ [4« (L -r w ) — f']p + 3iv'p'r'ph{i — L) =r o.
Dans le cas où le pendule donné battrait à peu près la seconde, on pourrait considérer le mercure ajouté comme formant une lame circulaire sans épaisseur, et l'on aurait sensiblement
d'où (i)
l34 MÉCANIQUE KATIONMELLE.
La capillarité et les oscillations du mercure sont des causes perturbatrices que nous avons négligées ; mais nos calculs seront tout à fait exacts, si nous remplaçons le mercure par de petits disques solides enfilés sur un axe commun .
2. On suppose un pendule formé d*une sphère pesante et homogène y dont le rayon est r et la masse m, fixée par son centre à t extrémité d'une tige sans poids, dont la longueur est a. On demande à quel point de la tige il faut fixer le centre d^une noui^elle sphère homogène ^ dont le rayon et la masse sont r' et m', pour diminuer le plus possible la durée des oscillations.
Soient a* la distance du point de suspension au centre de la sphère additionnelle, h la distance du même point au centre de gravité des deux sphères , h le rayon de gyration du système autour d'une perpendiculaire à la tige , menée par le centre de gravité, et / la longueur du pendule synchrone.
On trouve aisément
ma -H m a
m ->r ni
ma
-h m'a'' -h ^ (mr' -h m'/')
h ma H- m' a'
Posant —, =o, et tirant de celte équation la valeur de
a', il vient
■— /?!« -H j /w (/w 4- w')fl' -h ^ m' [mr^ -h /wV') 1 a' = -p
On voit par là que, lorsqu'on fait glisser un curseur
DYI«rÀMIQUE. l35
sur la tige d'un pendule en Télevant de plus en plus , on finit par atteindre une hauteur telle, qu'en élevant encore le curseur, on produit le même effet que si on l'abaissait^ c est-à-dire qu'on augmente la durée des oscillations.
Si la lentille et le curseur peuvent être assimilés à deux points matériels de masse m, m', portés par une tige sans poids, de longueurs, la distance a' du curseur au point de suspension, pour laquelle se produit le phénomène dont nous parlons , satisfait à l'équation
m' a' I ni
mil y m
EcLER, Theoria motus corporum solidorum, C. VII, prob. 48-
3. Considérons une tige pesante^ homogène et partout d'égale épaisseur j qui oscille dans un plan vertical autour de son extrémité. Si cette tige était flexible , elle se courberait. Nous la supposons rigide^ et nous voulons trouver le point où la force qui tend à la courber exerce le plus grand effort.
Soient a la longueur de la tige , m sa masse , 6 l'angle qu'elle fait avec la direction de la pesanteur, b la distance du point cherché B à l'extrémité fixe, r la distance à la même extrémité de l'un quelconque des éléments de la tige qui sont situés au-dessous du point B.
La force motrice gagnée en vertu des liaisons par
l'élément dr^ estimée dans le sens du mouvement , est
dr égale au produit de la masse —m, par la différence
entre la force accélératrice effective *- r -j- et la force
at^
accélératrice appliquée g sin 9. La somme des moments
autour du point B des forces gagnées par tous les éléments
dr mesure l'effort qui tend à courber la tige au point B.
l36 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Cet eflbrt a donc pour expression
Or on a, dans le mouvement de la tige,
-TT = — -^ smô.
Par conséquent, l'effort dont il s'agit est
mg sin B f*a mg sinB,, ,.
^^^ Jb /\ / 4^2 ^ ^
Le maximum a lieu quand & = ^*
Ainsi, le point cherché est symétrique du centre d'oscillation par rapport au centre de gravité.
Le moment de la force qui tend à courber la tige' en ce point a pour valeur
mg sin 9
4. Avec quelle ^vitesse * une voiture peut^elle tourner sur un plan incliné , sans quelle cesse de s^ap^ puyer sur ses quatre roues ?
Supposons que la ligne de plus grande pente sur le plan soit parallèle à l'essieu de derrière, et considérons le système en projection droite sur le plan incliné.
Soient
B, B' les points d'appui des roues de derrière sur le plan j
A , A' ceux des roues de devant 5
DYjyAMIQDE. l37
Al , A\ les positions qu'auraient ces derniers points si la voiture ne tournait pas;
a Fangle des deux essieux ;
€ l'angle AiBA*,
2 a la distance A A' ou BB'^
/ la distance des deux essieux, lorsqu'ils sont parallèles ;
i Tinclinaison du plan sur Thorizon ]
P le poids de la voiture;
G la projection de son centre de gravité, située à égale distance des droites BAi, B'A\;
h la distance du plan au centre de gravité;
b la distance du centre de gravité au plan vertical qui contient l'essieu de derrière ;
- la traction, que nous supposerons exercée dans une
direction parallèle au plan et perpendiculaire à l'essieu de devant ;
h' la distance du plan au point d'application de la traction;
i^ la vitesse du milieu D de l'essieu de derrièie.
Pour que la voilure reste appuyée sur ses quatre roues, il faut que le poids et la traction aient autour de AB un moment supérieur à celui des forces centrifuges. Formons cette inégalité.
Le moment du poids est égal au produit du poids par le cosinus de l'angle que la droite BA fait avec l'horizon, et par la distance du centre de gravité au plan vertical qui contient la même droite BA . Nous trouvons d'abord , pour expression de ce moment ,
P [(a ces i — h sin i) ces s — b ces i sin s ].
D'ailleurs la projection de AB sur A, A^ est égale, d'une part à ^(i — cos«), d'autre part à (/ -f- a sin a) lange,
l38 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
ce qui nous donne
sin s CCS e i
o(i — cosa) /-hflsina ,, . ,, . ..-^
Le moment de la traction est
- A' sin (a — s).
Il reste à trouver le moment des forces centrifuges. Nous admettons que les roues ne glissent point. Il en résulte que leurs points de contact sur le plan tournent, dans Tinslant considéré, autour de l'intersection O des droites A A', BB'. Par suite, les milieux des essieux et la voiture tout entière tournent autour d'une perpendiculaire au plan menée par le point O, avec une vitesse angulaire égale à
= ou - tanff a.
