A- = 5 > /= — TT

on a, pour déterminer jc, Téquaiion du second degré

l42 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

8. Un chemin de fer décrit une courbe horizontale y dont le rayon, compté du milieu de la voie, est R 5 quelle élév^ation faut-il donner au rail extérieur au-dessus du rail intérieur pour que le wagon s'appuie également sur les deux rails?

On peut négliger T effet de la traction^ car cette force est une petite fraction du poids , surtout pour le dernier wagon 5 qui est le plus exposé à verser.

Soient 2 a la largeur de la voie, t' la vitesse sur le milieu de la voie et u la différence de niveau des deux rails. '

Si l'on suppose que la masse du wagon soit distribuée symétriquement de part et d'autre de la section longitudinale et de la section transversale qui partagent la largeur et la longueur en deux parties égales, on trouve

^ap'

9. Trouver, dans un corps pesant, le lieu des axes de suspension, autour desquels le corps oscillerait dans le même temps qiiun pendule simple de longueur donnée /, et qui sont à une distance connue h du centre de granité.

Prenons pour axes des x^ des j^ et des z les axes principaux d'inertie du corps relatifs à son centre de gravité ; nommons A , B, C les moments d'inertie relatifs à ces axes , M la masse du corps , et posons

Le lieu cherché est celui que trace dans le corps la surface d'un cylindre droit, de rayon A, et dont l'axe décrit le cône du second degré représenté par l'équation

BiOT, Journ. de VÉcoh Polyt., XIIP cahier, p. 242.

10. Trousser, dans un coty}S pesant ^ te lieu des axes de suspension , autour desquels le corps oscillerait dans un temps donné, et guipassent par un point connu.

Conservons la notation du problème précédent, et nommons x', y', z' les coordonnées du point commun à à tous les axes.

Le lieu cherché est la surface représentée par Téquation

^ [A(a7 -~ xj + B( j -/)> + C(^ - zyf

BiOT, Ibid.

MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE AUTOUR d'uN AXE QUI SE MEUT PARALLÈLEMENT A LUI-MEME.

Le problème général du mouvement d'un corps solide autour d'un axe qui se meut parallèlement à lui-même , se résout en déterminant d'abord le mouvement de translation du centre de gravité, puis la rotation du corps autour d'une parallèle à l'axe mobile, menée par le centre de gravité, et considérée comme fixe.

1. Déterminer le mouvement que prend une tige pesante^ lorsqu'on Vabandonne à son poids, sans "vitesse initiale, après avoir placé une des extrémités sur un plan incliné parfaitement uni. On suppose la tige

située dans un plan vertical perpendiculaire à la trace

horizontale du plan.

l44 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Soient '

OL rinclinaisoQ du plan \

m la masse de la tige \

h son rayon de gyration autour d'une perpendiculaire menée par le centre de gravité ;

a la distance du centre de gravité à l'extrémité qui touche le plan 5

X le chemin parcouru le long du plan par la projection C du centre de gravité 5

f l'inclinaison de la barre sur le plan ;

(3 la valeur initiale de cette inclinaison 5

R la réaction du plan.

Le mouvement du centre de gravité est régi par les deux équations

m -— - = mg sin a m = R — /wg cosa ;

dt dt^

et la rotation autour du centre de gravité par l'équation

mk^ TT = — R^ cosç.

dO ^

La valeur de x est donnée par la première équation , intégrée deux fois ,

X = -gt^ sina -h a cosp.

Nous aurons la valeur de y, si nous éliminons R entre la seconde équation et la troisième. Il vient

rf»sin<p ,,î3r<p

a^ cos« — r~ = — A^ — f — as cosa ces <p, ^ dt^ dt"" ^ ^'

et, en intégrant,

do^ (V) (a'cosVç -h /•') -Y = 2flg'cosa(sinp — sinep),

' dt'

r^ /sm6 — sm© ,

Jo V «'cos'(ï)-4- ^-' '

DYNAMIQUE. l45

valeur qui, avec celle de x, délerminç complètement le mouvement de la tige.

La réaction R est donnée par la formule

(t 6'os^ ar

OÙ il faut remplacer -~ par la valeur finie que l'on obtient en difierentiant l'équation (V). On trouve

R = r-^— f-^r-I7TJ^'+«'(ï 4-sin'<p — asinBsin®)].

(fl'cos'ep + *')*'■ \ T r T/J

Fuss, Nova acta Petrop,^ t. XIII, p. 70; 1797.

2. Une tige pesante y homogène et partout d'égale épaisseur, suspendue dans une position honzontale par deux fils ^verticaux d'égale longueur, attachés à ses extrémités, a été légèrement dérangée de sa position d^ équilibre. Assigner la durée des petites oscillations que cette tige exécute^ en restant horizontale et conservant son centre de grai^ité sur une même verticale. Les fils sont assez légers pour quon puisse négliger leur inertie.

Soient m la masse de la tige, 2/2 sa longueur, 0 Tangle qu'elle fait avec sa position d'équilibre , / la longueur de chacun des fils.

Pour de très-petites oscillations, on peut négliger le déplacement vertical de la tige, à moins que le rapport

- ne soit une très-petite fraction , ce que nous ne supposons point. Il en résulte que la tension de chaque fil est constamment égale a —^5 en sorte que cette tension, estimée suivant une horizontale perpendiculaire à la tige,