II

l46 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

a pour valeur

Si donc on observe que le rayon de gy ration de la tige

a autour de son axe de rotation est -y=, on voit que les oscillations sont régies par Téquation

ou, simplement,

L'intégration donne, en désignant par a la plus grande valeur de 0 ,

Il en résulte que la durée d'une oscillation est exprimée par l'intégrale

Cette durée ne dépend point de la longueur de la barre; elle est la même que pour un pendule simple dont la longueur serait le tiers de la longueur commune des deux

fils.

Ladjr's and gentleman* s Diaiy, 1842, p. 5i.

3. Une sphère creuse, homogène et remplie de liquide de même densité que la paroi descend ^ sans vitesse initiale y sur un plan incliné qui exerce assez de frottement pour déterminer la sphère à rouler sans glisser, Compa-

rer le temps quelle emploie pour parcourir un espace donné à celui qu emploierait une sphère pleine, de même rayon et de même densité.

Soient

a rinclînaison du plan sur Thorizon ^

m la masse de la paroî solide ;

a son rayon extérieur 5

k son rayon de gy ration autour d'un diamètre 5

m\ a', k' les quantités analogues pour la sphère liquide;

X Tespacc parcouru par le centre parallèlement au plan \

6 Tangle dont le solide a tourné autour de son centre;

F la force de frottement qui s'oppose au glissement;

x\ 6', F' les quantités analogues dans le cas d'une sphère pleine.

Pendant le mouvement de la sphère creuse, le fluide ne tourne pas^ mais ses molécules sont toutes transportées parallèlement au centre de ûgure. Il en résulte que les équations du mouvement de l'enveloppe sont les suivantes :

(/n-hw')"^ = (*" -4-/»')^sina — F, . d'^

desquelles on tire, en observant que 0=-

[m/t2-H(/7f -h w')a»] -— = (m H- m')a'g%\Xi%.

L'intégrale est

[w/t'-h {m + m')a^\x:=z a'g'sma.f'.

Si maintenant on considère la sphère pleine, on a les

lO.

l48 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

équations

d'où

î l fw' l-'a -l- ^ m -1- wwè'\ a^^

d'^x' [mh^ -h m'k'^ -h (m -h m') «»] -— - = (iw + m')a^g sin a,

[iiiit*4-/w'^''+(wH-/n')a']j/ = «'g'sma.r.

D'après ces formules , les espaces parcourus par les deux mobiles pendant le même temps sont dans le rapport

X __ mk^ -t- m'k'* H- (m 4- m') a»

TP mk^-^ (m + /if')/i»

Si l'on remplace m/r* et m'A'" par leurs valeurs

^ (/n -f-m') a* — ^ w'a" et ^ fn!a'^^ puis les masses par leurs expressions en fonction des rayons, et que l'on nomme n le rapport — du rayon extérieur au rayon in-

a a' térieur, on trouve

Dans le cas de u =r 2, cette formule donne