X^ III
Ladf's and gentleman's Diary, i84a, p. 5i. 4. On lance une sphère homogène le long d^un plan
incliné, dans une direction perpendiculaire à l* horizontale du plan , en même temps qu'on lui imprime une rotation de même sens que celle qui aurait Heu si la sphère roulait sans glisser, mais plus rapide. Déterminer le Ttioui^ementy en tenant compte du frottement de glissement.
Soient
a rinclinaison du plan sur l'horizon ;
m la masse de la sphère ;
a son rayon;
k son rayon de gyration autour d'un diamètre;
X l'espace que son centre a parcouru parallèlement au plan;
9 Tangle dont la sphère a tourné autour de son centre ;
(i le coefficient de frottement entre les deux surfaces en contact , pour Tétat de glissement.
Dans les premiers instants , le mouvement est régi par les équations
Si Ton nomme c et « les valeurs initiales de -7- et de -7-9
ili dt
on obtient, pour intégrales premières et secondes,
dx , . . dB a a g ces a ^=:g^(sina-4-^cosa)^-hc, ^ = — ^~-j; ^ + « ;
I y^^S cosa
d:rz:-^(sina -j- fx COS a ) /» + <:^ , ^ = — ,, — f' -+-&>/.
Ces formules subsistent tant que la sphère tourne plus rapidement que si elle roulait sans glisser, c'est-à-dire, tant
l5o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
que -^ n'est pas devenu égal à a — • Or celle égalité a
lieu y et , par suiie , le glissemenl cesse , à l'époque
^* (aw — c) ing (a^ 4- k^) ces a -h g^^ sin a
A celte époque le frottement change de sens , et devient statique, de dynamique qu'il était. Par suite (tome I, p. 59), le coefficient de frottement prend une nouvelle valeur plus considérable que la première; cette valeur peut même être telle , que tout glissement soit désormais impossible.
Supposons d'abord qu'il en soit ainsi. Alors ^ en désignant par c\ x\ B' des constantes déterminées par le mouvement antérieur à l'époque t, nous aurons depuis cette époque , de la même manière qu'au problème précédent ,
à*gûuoi
2(fl^-h A')
(/ — T)*-hc'(r-T)-t-ar',
Dans cet état, la force de frottement qui s'oppose au glissement a toujours la même valeur, savoir,
. F = --r = — —— ; — = T- fng cosa.
a df a^ 4- A^ a» 4- ^* ^
Cette valeur montre que la sphère roulera en' effet sans
glisser, si le coefficient de frottement au départ est égal
. /-^ tang a ou supérieur a -- — —-•
Supposons , en second lieu , que le coefficient de frottement au départ ne soit pas assez considérable pour empêcher la sphère de glisser de suite après l'époque f,
DYNAMIQUE. IDI
ce qui a lieu quand ce coefl6cienl est inférieur à — ^ — —••
Alors les équations qui régissent le mouvement, après l'époque t ^ sont les suivantes :
— = gsinct — itgcosciy
A"' -- — =:z aaff CCS a.
fit' ^ ^
Une double intégration donne
X = -g'(sina — fx ces a) (t — t)' -{' c' (t — t) -H J^,
les constantes c', x', 6' ayant ici les mêmes expressions que dans le cas précédent. Il faut observer que la quantité sina — jx cosa est positive; car le coefficient de frottement est moindre pendant le mouvement qu'au départ , et au départ ce coefficient est moindre que tanga.
Dans Fétat qui nous occupe, il y a à la fois glissement et roulement. Il nous est facile de trouver l'espace parcouru par le seul effet du glissement.
En effet , nommant \ l'espace parcouru par glissement, depuis Fépoque t jusqu'à I époque 2, nous avons
dl dx dB , ,/. a'-f-^='\
d'où
ËULER, Acta AciuL Petrop.y 1781 j P. II, p. i3i.
MÉCAKIQUE RATIONNELLE.
5. Un cylindre est placé horizontalement sur la surface concaue d'un grand cylindre creux , pareillement horizontal, et dans lequel une fonte, pratiquée suiv^ant une sec' tion droite, donne passage à un corps solide de forme quelconque inuariablement lié au petit cylindre. L'ensemble de ces deux derniers corps forme une sorte de pendule composé. On propose de déterminer la longueur du pendule simple qui oscille dans le même temps que ce pendule composé, en ne considérant que de petites oscillations ^ et admettant que le cylindre intérieur roule sans glisser sur le cylindre extérieur.
G>nsidérons la section faite par un plan perpendiculaire aux cylindres , et contenant le centre de gravité G du pendule composé.
Soient O et C les centres des sections du cylindre creux et du cylindre mobile ;
OAX un rayon vertical, dirigé dans le sens de la pesanteur, et qui iera l'axe des x \
OY un rayon horizontal , qui sera Taxe des y \
X ^ y les coordonnées du centre de gravité G ;
Q l'angle AOC ;
(f l'angle que CG fait avec la direction de la pesanteur;
E le point de la section du petit cylindre qui vient toucher le cylindre extérieur sur l'axe des x^ quand on fait rouler convenablement le premier corps;
j3 l'angle constant ECG ;
DYNAMIQUE. l53
a et b les rayons du grand et du petit cylindre 5
c la distance CG ;
în la masse du pendule ;
k son rayon 'de gy ration autour d'une parallèle aux cylindres, menée par le centre de gravité^
R la réaction normale du grand cylindre sur le cylindre mobile;
F la force de frottement qui s'oppose au glissement 3u second cylindre sur le premier.
Les équations rigoureuses du problème sont , pour le mouvement du centre de gravité,
m -— ■=■ mg — R CCS 0 — F sin ô , m -jj = — R sm Ô -h F cos G, et pour la rotation autour du centre de gravité,
mP —f = — R<?5in(G -h f ) -h F[c cos (ô -f- y) — ^].
Puisque nous avons en vue seulement le calcul des
petites oscillations, nous pouvons négliger les termes du
d^ X d^Y second degré par rapport à ô, ç, -^ et -t^« Ceci réduit
nos équations aux suivantes :
mk^-^ = — Rc(ÔH-<i»)-H VU --b).
dt^ V T> \ /
Si nous éliminons les forces inconnues R et F entre ces trois équations , il vient, au même degré d'approximation^
l54 MÉCANIQUE HATIONJNELLE.
Les relations géométriques
^(p-hÔ-+.<p) = aB, j' = [a — ^) sin ô — c sin y ,
nous permettent d'éliminer encore les variables y ei Q de la dernière équation. Nous trouvons ainsi Téquation linéaire
[k^+(c-bY]
d^ff b^ -^ ac — bc
lïÈl^
dt- a-^ b '>^ ' a — b
Faisant disparaître le terme tout connu, en posant
^-^ b^^ac-^bc = '^^
il vient finalement l'équation
(a^b)[P-^{c^by] d^..^ dt' "^ ^^ — •
bc
Elle coïncide avec l'équation qui déterminerait le mouvement d'un pendule simple dont l'angle sur la verticale serait ^ , et dont la longueur serait égale à la fraction
b^ -^ ac — be
Or les angles (p et ^^ ne difl'èrent que d'une quantité constante 5 donc la fraction précédente mesure la longueur du pendule simple qui oscille dans le même temps que le pendule donné.
EuLEB , Jeta Jcad, Petrop,, 1780, P. II, p. 164.
6. Un cylindre homogène est placé horizontalement sur un plan incliné parfaitement uni.
Un fil sans masse, fixé par une de ses extrémités au contour du a/\ cylindre , s'enroule sur ce corps suivant la section^ droite quicon-
DYNAMIQUE. l55
tient le centre de gravité , et s'attache par V autre extré-mité à un point fixe situé dans le plan de cette section y à une hauteur f au-dessus du plan incliné y égale au rayon du cylindre. Le fil étant complètement enroulé , on abandonne le cylindre à son poids. Déterminer^ pour une position donnée y la tension T du fil, et la vitesse av^ec laquelle décroît V angle 0 que le fil fait avec le plan incliné.
Soient a le rayon du cylindre , m sa masse, A son rayon degyratiou autour de Taxe et a l'inclinaison du plan.
On trouve
dB^ tiga sin a (i — sin 0) sin'Ô
'dp "" ces' 0 (a» 4- A» ces» G) '
a» (i 4. gin^ô -^ 2 sin^ ô) -f- X=» C08* ô
EuLER , Noi'o Jeta Jcad. Petrop., 1 ^gS-ô, p. 64.
7. Un cylindre homogène est couché en équilibre sur un plan horizontal indéfini. Déterminer le mouvement que prend ce corps , lorsque h plan vient à tourner uniformément autour de la ligne de contact primiln^e y en supposant que le plan mobile exerce assez de frottement pour empêcher le corps de glisser.
Soient w la vitesse angulaire du plan , a le rayon du cylindre, m sa massé, h son rayon de gyration autour de Taxe, X le chemin parcouru sur le plan par la ligne de contact.
Tant que le cylindre reste en contact avec le plan , on a
•^-1 sm w/;
et la pression normale qu'il exerce sur le plan est
^ gm cos 6)^ — «/w w^ ~- \ ^ ■+■ ^
l56 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Le cylindre abandonne le plan à Tinstant où celte pression devient nulle.
8. On dépose sur un plan incliné et dépoli une sphère homogène y animée y autour d'un diamètre horirzontal, d'aune rotation contraire à celle qui la ferait rouler en bas du plan. Déterminer le mous^ement de Id sphère y en supposant le coefficient de ffottementy pour l'état de glissement , égala la tangente de V inclinaison du plan.
Conservant la notation du problème 4 , et posant
fA=taDga,
on arrive aux conclusions suivantes .
Jusqu'à l'époque
li.ag cos a 5 g" sin a
le centre de la sphère reste immobile, bien que le corps tourne sur lui-même avec une vitesse donnée par la formule
d^ as sin a
dt A-'
A partir de l'époque t , la sphère roule en bas du plan sans glisser, comme si elle était partie saus vitesse initiale.
ËULER, Acta Acad, Petrop.^ 1781, P. II, p. i3i.
9. Un cylindre non homogène y mais dont tous les points situés sur une même parallèle à l'axe ont la même densité, est posé sur un plan horizontal et parfaitement uni. Déterminer la durée des petites oscillations que ce cylindre, exécute sous l'action de la pc-
DYNAMIQUE. iSj
santeur^ quand le centre de grai^ité a été légèrement écarté du plan vertical qui contient l'axe.
On peut se borner à considérer le mouvement d'une tranche du cylindre, comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe et infiniment rapprochés.
Soient c la distance du centre de gravité au centre de figure, k le rayon de gyralion autour d'un axe mené par le centre de gravité perpendiculairement au plan de la tranche , a l'angle qui mesure le plus grand écart entre la verticale et la ligne qui joint les deux centres.
La durée d'une petite oscillation est
On peut observer que, quelle que soit l'amplitude des oscillations , le centre de gravité se meut toujours sur une même verticale ; en sorte que la droite qui joint le centre de gravité au centre de figure se meut en conservant ses extrémités sur deux droites fixes, l'une horizontale, l'autre verticale. lien résulte que tout point de la tranche situé en Ugne droite as^ec le centre de gravité et le centre de figure y décrit dans V espace une ellipse y dont les axes sont Vhorizéontale et la ^verticale qui se coupent au centre défigure dans la position d'équilibre. Les longueurs des demi-axes sont les distances du point considéré au centre de gravité et au centre de figure.
EuLEB, Nova acta Acad. Petrop., 1783, p. 119.
10. Le cylindre considéré dans le problème précédent est maintenu sur un plan horizontal et parfaitement uni y dans une position telle , que le rayon mené au centre de gravdtéfait un angle a avec le rayon mené au point d'appui. Dans cet état, on lui imprime une vitesse angulaire w, autour d'un axe mené par le centre de
l58 ' MÉCANIQUE RATIONNELLE
gras^ité parallèlement aux arêtes. Quelle doit être cette vitesse angulaire pour que le centre de grai^ité monte au-dessus du centre de figure , sur la verticale du point d' appui j et s* y maintienne en repos?
Conservant la notation du problème précédent, on trouve
= ?.cos * i/t; — ^-T-r-
EuLERy ibid.
\\, Un cylindre non homogène roule sur un' plan horizontal^ qui exerce assez de frottement pour empê-' cher le corps de glisser. Déterminer la vitesse angulaire du cylindre en un point donné de sa course.
Soient a le rayon du cylindre , 6 l'angle décrit par le rayon mené au centre de gravité, &> la vitesse angulaire initiale, c et k les mêmes quantités que dans les problèmes précédents.
On trouve
(^•-f-û^-4-c'— 2flrccos0) — =[X-*-h [a ^ cY]^^^ — ^cg ûn^ —
EuLER , ibid.
12. On introduit plusieurs points matériels dans un tube rectiligney très-étroit et pesant, libre de tourner dans un plan horizontal autour de Vun de ses points qui est fixe, IjCS points maténels étant placés à des distances connues du centre de rotation, on imprime au tube une " vitesse angulaire donnée. Déterminer le moux^ement du tuhe et des points matériels.
Soient M la masse du tube , k son rayon de gyration autour de l'axe de rotation , Q Tangle dont le tube a tourné, fi) la vitesse angulaire imprimée, m, m', m'\ etc., les masses des points matériels, r, r', r", etc., leurs distances
DYNAMIQUE. iSg
à Taxe de rotation, a, a', a'^^ etc., les valeurs initiales de ces mêmes distances.
On trouve
dt r^
M ^* H [ma} -f- w' «'^ + . . . )
dr-" ,,, ,, M^»H-/wrt'-hw'fl"-^. . .
MX^' -f- — (wfl» H- w' «'» + .. .)
Si l'on faisait abstraction de la masse du tube, on aurait
- = ^ = ^=... = cosô,
DAmrx Bernoyjlli , Mém, de VAcad. des Sciences de Berlin , 1745, p. 63.
SECTION IIL
MOUVEMENT QUELCONQUE d'uN CORPS SOLIDE.
Le mouvement le plus général d'un corps solide peut se décomposer en une translation d'un point invariablement lié avec le corps , et en une rotation du corps autour de ce point. Pour déterminer cette rotation, on peut considérer le point autour duquel elle s'effectue, comme maintenu fixe dans l'espace, pourvu que Ton ajoute à chaque molécule une nouvelle force accélératrice , égale et contraire à celle qui sollicite réellement le point pris pour centre de la rotation. Il y a grand avantage à prendre le centre de gravité pour le centre de la rotation 5 car lé mouvement de ce point est celui qui aurait lieu si toute la masse et toutes les forces accélératrices y étaient réunies, et de plus la rotation autour
l6o MÉCA^'IQUE RATIORRELLE.
de ce point , supposé fixe , s'obtient sans ajouter de nouvelles forces accélëratrices.
Nous savons déjà résoudre la première partie du problème, où il s'agit de déterminer le mouvement du centre de gravité. 11 reste à nous occuper de la seconde partie, c'est-à-dire de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe.
Pendant cette rotation, il existe à chaque instant une droite fixe dans le corps et dans l'espace. Cette droite est l'axe instantané de' rotation. D'un instant à un autre, elle change généralement de position dans le corps et dans l'espace, et décrit ainsi deux cônes , dont l'un est fixe dans le corps, et l'autre fixe dans l'espace. Par Teflet de la rotation, le premier cône roule sur le second sans glisser ; la génératrice de contact est à chaque instant l'axe instantané de rotation. 11 n'est qu'un seul cas où ces deux cônes puissent se réduire à des droites, et l'axe instantané être fixe; c'est le cas où, le corps ayant commencé à tourner autour d'un axe principal d'inertie relatif au point fixe , le couple a*ccélérateur est dans un plan perpendiculaire à cet axe.
Nous représenterons les vitesses de rotations par des droites proportionnelles , les couples par des droites proportionnelles à leurs moments et perpendiculaires à leurs plans. Ces droites seront dirigées de manière qu'un observateur dont les pieds seraient au point fixe, et qui serait couché sur la droite, verrait le corps tourner devant lui de gauche à droite (*), par l'effet de la rotation ou du couple. On sait que ces droites se composeront suivant la loi du parallélogramme, comme si elles représentaient des forces.
Nous conviendrons encore que les rotations sur les
(') Cet usage, qui a prévalu dans les Traités de Mécanique, est contraire aux conventions adoptées dans les ouvrages d'astronomie.
DYNAMIQUE. l6l
plans coordonnés seront positives de Taxe des x vers l'axe des jr^ de l'axe des y vers Taxe des z et de Taxe des z vers Taxe des x.
Soient O le point fixe, qui peut être Fun quelconque des points du corps 5
OX, OY, OZ trois axes rectangulaires fixes;
0X1, OY,,OZi les axes principaux d'inertie du corps relatifs au point O *,
A, B, C les moments d'inertie principaux autour de ces axes;
B l'angle de OZ avec OZi , angle qui sera toujours compris entre o et tt ;
ON celle de deux directions opposées de la trace du plan XiOYi sur le plan XOY pour laquelle la rotation B de OZ vers OZi est positive ;
9 et ^{/ les angles que fait la trace ON avec les droites 0X1 etOX, ces angles étant comptés positifs dans le sens direct, le premier à partir de la trace, le second à partir deOX;
w la vitesse angulaire, ou la vitesse de rotation autour de l'axe instantané ;
p^Çf ries composantes de la vitesse de rotation (ù suivant les axes OXi , OYi , OZi ;
L, M, N les sommes des moments des forces motrices autour des mêmes axes , exprimées en fonction de 0, ç>, ^.
Les vitesses angulaires /?, 9, r et la position (0, <p, ip) des axes mobiles sont déterminées par les six équations simultanées
