II. Il
102 MÉCANIQUE RAïIONMELLE.
, ^ . d^ dB
sin 9 sin cp — ^ -H cos cp — - = », ^ dt ^ dt ^
d-lt dB
(II) ( smecosy-^ — sinç — = ^,
^ d^ do cos ô -r- -h -7^ = r.
dt dt
Ces équations, données par Euler, renferment toute la solution du problème. On ne sait les intégrer que dans un petit nombre de cas particuliers : encore, dans ces cas, l'intégration conduit-elle à des quadratures que Ton ne peut effectuer en quantités finies.
Le problème de la rotation des corps est un de ceux qui ont le plus exercé les géomètres par les diflScultés qu il présente. Le premier travail important sur ce sujet fut publié par d'Alembert en 1749> dans ses Recherches sur la précession des équinoxes. Un an plus tard, Euler donna son Mémoire intitulé : Découv^erte d'huit noui^eau principe de mécanique ( *), dans lequel il traite le problème de la rotation des corps sous le point de vue le plus général. Mais il manquait à ces géomètres une connaissance de la plus baute importance dans cette théorie, nous voulons parler des trois axes principaux d*inertie et de leur propriété d'être axes permanents de rotation. Un professeur de Gottingue , S^ner, fit celte découverte ('). Euler (*), puis d'Alembert (*) en profitèrent bientôt pour simplifier leurs formules. Enfin Euler mit au jour son bel ouvrage Theoria motus corporwn salidorum (1767), qui fut regardé à peu près comme le dernier mot de la science sur celte matière, jusqu'en Tannée
(^) Mèm. de VAead. des Se. de Berlin, 1760, page i85. (*) Spécimen iheoriœ turhinum } Halle, 1755. (•) Mém, de l'Àcad, des Se, de Berlin, 1758, p. 1 54. ( * ) Opuscules ma t hémaiiques, t. I ; 1 76 1 .
DTIfAMIQUE. 16^
1834, OÙ M. Poinsot présenta à F Académie des Sciences sa Nouvelle théorie de la rotation des corps (*). Dans cette théorie, le problème est traité d'une manière synthétique et figurée, qui jette une vive lumière sur plusieurs points restés jusqu'alors cachés sous la complication des formules.
1 . Déterminer le mouvement d'un solide de révolution , pesant et homogène y autour d'un point fixe situé sur son axe de figure.
Nos calculs s'appliqueront à tout solide dont deux moments d'inertie principaux autour du point fixe auront même valeur, et dont le centre de gravité sera situé sur l'axe du troisième moment principal.
Nous conserverons la notation adoptée dans les préliminaires. L'axe OZ sera dirigé en sens contraire de la pesanteur, et l'axe OZi suivant le demi-axe de révolution qui fait un angle aigu avec OZ au commencement du mouvement. De plus, nous nommerons m la masse du corps, a" et h" les cosinus des angles que les axes OXi et OYi font avec l'axe OZ, et / la distance du centre de gravité G au point fixe , cette distance étant comptée positive dans la direction OZj.
Le corps peut être considéré comme sollicité par une force unique, égale et parallèle à son poids, appliquée
(') Voir le Journal d« M. Lionville, t. XVï, p. 9 et 389; iS.îi.
l64 MÉCÀNIQliE RATIONNELLE.
au centre de gravité. Le moment des forces appliquées autour de l'axe de figure est nul; comme d'ailleurs A = B, il en résulte (équations I) que la vitesse de rotation r autour de Taxe de figure est constante. Soit
Ceci posé, appliquons directement les principes des forces vives et des aires. Ces principes nous fourniront deux intégrales premières, qui seront suffisantes pour ramener le problème aux quadratures.
Il est aisé de voir qu^un point du corps dont les coordonnées relatives aux axes OX, , OY^ , OZi sont oti , j, , Zi y a pour composantes de sa vitesse , suivant les directions déterminées que possèdent les mêmes axes à Tins tant considéré ,
qz] — fj, , rxi — jJZt , /?j, — q.v, .
11 s'ensuit que la somme des forces vives est
F^galant cette somme au double du travail de la force, et désignant par 9q la valeur initiale de d, on obtient Tintégrale
(i) A (/>'-+• f') -hCn'^zrz ^mgl {cosBo— ces 0 ) -4- const.
Puisque les forces appliquées ont un moment nul autour de Taxe OZ, le principe des aires est applicable en prenant le plan XOY pour plan de projection. Or la somme des produits de la masse de chaque molécule du corps et de Taire décrite par cette molécule pendant l'instant infiniment petit dt, en vertu de la rotation autour d'un axe quelconque , l'axe OX,, par exemple, est ^ale
DYNAMIQUE. l65
au produit de la moitié du moment d'inertie A relatif à cet axe par l'angle ^d^^ décrit autour de cet axe^ et la somme des projections de ces aires sur le plan XOY est égale à la somme des aires multipliée par le cosinus de Tangle que fait l'axe OX, avec Taxe OZ, sa valeur est
donc - Kpal'dt. D'après cela , on a l'équation
(2) A [pa" -^qb")-^ C«cos9=: const.
A Taidedes relations (II), et des valeurs
a" = sin 0 sin <p, b" = sin 0 cos y ,
il est facile d'exprimer les équations (i) et (2) par les seules variables ^^0, On trouve d'abord
pa" + qb" = sin' ô --^ -,
et, par suite, on a les équations transformées
(3) A [sin' ô -j^ -h -j^) = 2 mgl{cos ô,— cos ô) — C/^' + const.
(4) Asin"0-~ = — C« cos Ô 4- const, ^^' dt
Eliminant -~^> on obtiendra une équation de la forme
dt=/{B)dBy
qui fera connaître Q en fonction de t par une quadrature. Reportant cette valeur dans Téquation (4), on aura ^ en fonction de t par une seconde quadrature. Enfin la dernière équation (II) fera connaître (f en fonction de £, et le problème sera résolu. Toutes les intégrales se réduiront aux fonctions elliptiques.
l6() MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Supposons , ^n parlÎGulier, que le mouvement initial soit une simple rotation autour de l'axe de figure, en sorte
tiue" les valeurs initiales de -p et de -;- soient nulles» ^ dt dt
Les équations (3) et (4) se réduisent alors aux suivantes :
(5) A (sin'ô-~-h^ \ = 2wg^/(cosôg — cosô),
(6) Asin^O--i — C«(cos0o— cosô).
La première de ces équations montre que l'on a constamment 6> ©0 si l est positif, et 6 < 0o si /est négatif. Ainsi, Tinclinaison de Taxe de figure sur la verticale est constamment supérieure ou constamment inférieure à l'inclinaison initiale , suivant que le centre de gravité est au-dessus ou au-dessous du point fixe dans l'état initial. On voit encore,
par la seconde équation, que la vitesse —-^ avec laquelle
tourne la trace ON de l'équateur X^OYi sur le plan fixe XOY, est de même signe que la vitesse de rotation n si ^!>9o5 et de signe contraire si ô<^6o. Empruntant les termes de la mécanique céleste , nous dirons que le mou-
ï>ement de précession , dont -~- mesure la vitesse, est
de niéme sens que le mouvement de rotation autour de Taxe de figure^ ou bien de sens contraire, suivant que le centre de gravité est au-dessus ou au-dessous du point fixe au commencement du mouvement.
Éliminant — entre les équations (5) et (6), il vient
{n)dtz=i ^ — «
. /, ^ ^nF , C»Ar»(cos6o— cosôn
Pour nous fixer, supposons / positif. Alors le second facteur du radical est positif au commencement du mouvement 5* par suite, le premier facteur doit aussi être positif, c*est-à»-dire que 9 doit commencer par croître. Il en résulte qu'il faut prendre d'abord le radical avec le signe -f-. La dérivée -7- étant une fonction continue de 9. ^ dt
le radical qui la représente ne pourra changer de signe qu'en â' annulant. On doit donc garder le signe 4-, tant que 9 n*aura pas atteint, en croissant, une valeur qui annule le second facteur du radical. Or il existe toujours une valeur de l'angle 9, supérieure à do ^t qui annule le facteur en question 5 car ce facteur prend des signes contraires, quand on y pose successivement 0 = ô^^ et 0 == tt. Soit 01 celte valeur.
Le temps T, nécessaire pour que 0 atteigne la valeur 0i , est donné*par l'intégrale
(cOSÔo — COS0)"
cose ^ ' - "•-' ^ ^ '
im'gl ^
A sin'ô
Ce temps est fini , bien que l'élément de l'intégrale devienne infini aux deux limites. En eiTet, posant
ces 0 = 5, fos 00 = «^0 » ces 0, = A-, , on a
) [o.mglA ( I — ;r') — an' (^o— s)]
Or, le facteur du second degré qui est sous le radical prenant le signe — pour ^ = di » , et le signe H- pour 5 = 5o, il s'ensuit que les facteurs s — 5o et ^i — s n'entrent sous le signe f qu'à la puissance • Mais , géhé-
l68 MÉCAIXIQUE RATIONNELLE.
ralement,/(j) étant une fonction continue dans le voisinage de 5 = a , el 6 étant un infiniment petit positif ou
XflH-t f[s) ' I ds , pour
£ = o, n'est point infinie; car cette quantité peut s'écrire
X«-+-« ds I / y \«-+-«
— == = -/(£!) lim. \^s^a\ =0.
Il en résulte que 6 atteindra la valeur Oj .
A cet instant, le premier facteur du radical, cosdo — cos6, est positif; donc le second facteur doit rester positif après que ô a atteint la valeur 0i , c'est-à-dire que ô doit diminuer; par suite, le radical doit être pris avec le signe — . L'inclinaison ô diminuera jusqu'à la valeur ôo? dans le même temps T qu'elle a mis à croître de Ôq à 0i ; puis le mouvement recommencera de la même manière. L'axe exécutera des oscillations isochrones dans le plan mobile ZOZi.
Le plan vertical ZOZi , qui contient l'axe de révolution , ne tourne pas uniformément; mais son mouvement est parfaitement identique pendant chacune des demioscillations de l'axe. Car la trace ON de Téquateur est constamment perpendiculaire au deux droites OZ, OZi et, par suite, au plan ZOZj; et, d'après l'équation (6),
la vitesse de cette trace, ou — > ne dépend que de l'angle e.
La vitesse angulaire totale,
est un minimum lorsque p ei q sont nuls , ce qui a lieu quand 0 =i9o^ c'est-à-dire, quand Taxe OZi est le plus rapproché de la verticale OZ.
DYJJAMIQUE. l6i)
La mèaie vitesse où est un maximum, lorsque la somme
. d^' dQ' /?»H- q^ OU sm' ô y-j -+- -- ou 2mgi{cQs9^— cosô)
est elle-même un maximum, c'est-à-dire, quand Taxe est le plus écarté de la verticale.
Considérant le mouvement de la projection du centre de gravité sur le plan horizontal XOY, on voit que cette projection reste toujours comprise entre deux circonférences, décrites du point fixe comme centre, avec les rayons /sin 00 et /sin0,. Elle décrit, toujours dans le même sens , une courbe formant une sorte de rosace dont les feuilles s'implantent sur la circonférence de rayon /sin 60 9 et se terminent sur la circonférence de rayon / sin 01 . En suivant la marche du rayon vecteur, on reconnaît facilement que cette courbe est tangente à la seconde circonférence, et normale à la première. En
effet, la dérivée du rayon vecteur, -^ — ou /cos0 —?
est nulle pour 0 = 0], et la vitesse angulaire de ce rayon,
d-^ .Cn{cosBc — cosô)
^"" Asin'Ô
n'est point nulle pour 0 = 0^ 5 en sorte que le rapport de l'accroissement du rayon vecteur à celui de l'angle décrit,
ou ' — 9 s'annule sur la circonférence dont le rayon
est /sin0i. Il s'ensuit que la courbe est tangente à cette circonférence. On verrait de même que ce rapport devient infini sur la circonférence dont le rayon est ZsinO^ : par conséquent, la courbe est normale à cette circonférciire.
Si la distance / était négative, les résultats seraient les mêmes, sauf que l'angle, Qi serait plus petit que Tangle Ôq.
A Tinspection du binôme
OnUcos9^— cosô) ^ Asm'©
qui , égalé à zéro , a pour racine 0 = d, , on voit que , si
la vitesse angulaire initiale n est très-grande, ou bien,
. , mglA . . . .
SI le rapport • Z,^ ■ est très-petit , un petit accroissement
donné à 6 depuis la valeur 9o rendra le second terme égal au premier en valeur numérique, la racine Sx sera très-peu différente de Ooj et, par conséquent, l'inclinaison de l'axe sur la verticale variera très -peu. Dans ce cas, les intégrations pourront s'effectuer par approximation.
Cas particulier oà l'inclinaison de l'axe varie trèspeu.
Soit
u sera un petit angle ] on négligera son carré. Portant cette valeur dans la formule ( 7) , et observant que Ton a , au degré d'approximation voulu ,
. ^ CCS ô« — cos ô u
CCS ôo — COSÔ = u sin 0, et —
sin'O sinôo
il vient
A du (lt =
± ^ u(iimgl A smQo — O n'' u) Soient encore, pour abréger,
mgi A sin 9o C/i .
DYKAMIQUE.
L'équation devient
du
Ut :
: vw(2w, — u) Son intégale est
zri^t =z arc CCS i
sans constante, car u est nul à Vorigine du mouvement. Si l'on pose
cette intégrale pourra s'écrire
9 = ô'— «, cos/<7.
L'équation (6) devient, au même degré d'approximation ,
d-it Au /•«, A-Mi
~ = -r-7- = -r-r- r-7-COS//.
dt smOo smOo smda On en tire
iL = eonst. H- -r-~r ^ :— r- *>n ^^
siD Oo sm Go
ou bien, en négligeant w', qui est de même ordre de grandeur que m",
^ = const H- -r-r; / r—r-, Sm Â't,
• smô' smô'
Enfin la dernière équation (II) donne
da d^
--I = /a — cosô'--i-; dt dt
d'où
(}» = const. 4- /?f — cosô'.-J;,
(f =z const. -f- (/? — Aui cotô')r -h tf, cote' sin At, Le mouvement de l'axe est susceptible d'une représen-
lyi MÉCAKIQIE RAïlOANELLE.
tation géométrique assez simple. Imaginons un axe, pour
lequel ou aurait constamment 0= 0', et J^ = const. 4- -:—^,t, ^ ' sinô'
Cet axe fictif décrira autour de la verticale un cône circulaire, d'un mouvement uniforme, tandis que Taxe vrai tournera autour de cet axe fictif, avec un mouvement relatif représenté par les termes périodiques
— Uicos^t et r-T-/SinX7,
sm6'
qui doivent être ajoutés respectivement aux valeurs de S et de tp relatives au premier axe. Ces termes étant trèspetits et périodiques, il en résulte que Taxe fictif peut être considéré conuue occupant, à chaque instant, une sorte de position moyenne entre les positions adjacentes de Taxe vrai.
Décrivons une sphère du point fixe comme centre, avec un rayon égal à Funité^ et considérons les intersections de cette surface par l'axe vrai et par l'axe moyen , intersections que nous nommerons pâle vrai et pôle moyen. Nous verrons sans peine que le pôle vrai décrit autour (lu pôle moyen , supposé fixe, un petit cercle, dont le rayon sphérique est égal à u^ en valeur absolue. Ce mouv^ement circulaire est toujours uniforme. Il est de même sens que la rotation du pôle moyen autour de la verticale y ou bien de sens contraire, sui\^ant que la vitesse angulaire n est positii^e ou négative, quelle que soit d^ ailleurs la position du centre de grav^ité dans F état initial, au-dessus ou au-dessous du point fixe. En effet, la distance des deux pôles étant de même ordre que u , nous pouvons, dans l'étude de leur mouvement relatif , confondre la surface de la sphère avec celle du plan tangent au pôle moyen. Rapportons la position du pôle vrai à deux axes coordonnés, des 'i et des ^, ayant leur origine
au pôle moyen, et dont le premier sera dirigé suivant la tangente au méridien du pôle moyen du côté de la verticale OZ , et le second suivant la tangente au parallèle du pôle moyen en sens contraire du mouvement sur ce parallèle. Nous aurons
et Ti sera le produit de -r-^ sin/rf par le rayon du parallèle, sinÔ'*, c'est-à-dire que nous aurons
ri = «, sinAr ; et, par suite,
r4->j'= u\y — =ikii\ = -^'ï-
Ces valeurs justifient tout ce que nous avons annoncé; car le mouvement relatif du pôle vrai est de même sens que le mouvement du pôle moyen , quand le premier pôle se meut de l'axe des Ç vers Taxe des yp; et ceci a lieu,
comme 1 on sait, lorsque la quantité est positive.
Ce mouvement de l'axe vrai autour de Taxe moyen eonstitue la nutation de Taxe. Son amplitude est
imglAm\%
On^ '
ri ode ,
27rA
et la durée de sa période,
Le, mouvement angulaire de nutation sera d'autant plus rapide que la vitesse de rotation autour de l'axe sera plus grande. Lorsque V inclinaison moyenne de Vaxe sur laveiticale n est pas très-petite, le mom^ement angit-
laire de nutation est bien plus rapide que celui de précession ^ car, pour la précessiôn moyenne , la durée de la période est
2 7r sinô'
k tiy
Tous ces résultats, relatifs au cas où le centre de gravité est situé au*dessous du point fixe, concordeht à peu de chose près, avec les phénomènes que l'observation et l'analyse ont fait découvrir dans le mouvement de la terre autour de son centre de gravité. La différence la plus sensible consiste en ce que le pôle vrai, dans son mouvement autour du pôle moyen, ne décrit pas un petit cercle, mais une petite ellipse, dont le grand axe est situé dans le méridien du pôle moyen. Encore faut-il ajouter que l'excentricité de cette ellipse est assez faible pour avoir échappé à Bradley, le premier qui signala le mouvement de nutation.
Lagrange, dans la Mécanique analytique (part. II, sect. IX, n*' 35), a ramené aux quadratures la détermination du mouvement d'un solide de révolution, pesant , et retenu par un point quelconque de son axe de figure. Il ne paraît pas que ce résultat ait été obtenu avant lui.
2. Déterminer le mouvement d'une toupie lancée sur un plan horizontal, qui n exerce aucun fhvttement.
La toupie est un corps de révolution , qui s'appuie sur le plan horizontal toujours par un m(^me point P de sa surface.
Nous supposerons le centre de gravité O situé sur l'axe de figure, lequel sera un axe principal d'inertie relatif au
centre de gravité^ et nous admettrons que les moments d'inertie principaux autour des deux autres axes soi^it égaux.
Nous conserverons la même notation que dans le problème précédent, si ce n'est que l'origine des axes, O, sera le centre de gravité, et que la distance / sera celle qui sépare le centre de gravité et la pointe P.
Les deux forces qui agissent sur le corps, considéré comme libre, savoir, son poids et la réaction du plan horizontal , sont deux forces verticales ; donc , suivant le principe du mouvement du centre de gravité, ce centre se meut en projection horizontale, d'un mouvement rectjligne et uniforme dépendant uniquement de l'impulsion initiale. Le même principe , appliqué au mouvement vertical du centre de gravité, fait connaître l'intensité de la réaction du plan fixe sur la pointe de la toupie^ car cette réaction n'est autre que la force perdue dans le mouvement vertical. Si donc on observe que la hauteur du centre de gravité au-dessus du plan horizontal est /cosô, on trouvera pour la mesure de cette réaction,
rf^ / cos 9
Il reste à déterminer le mouvement du corps autour de son centre de gravité. Le calcul est tout semblable à celui de la question précédente; c'est pourquoi il suffira de le tracer rapidement.
Le moment des forces appliquées autour de Taxe de figure étant nul , on a
r = const. = n .
Le principe des forces vives donne lintégrale promicrc
A(/?'4- ^')-l- Cn'z= 1 mgl(cos%— cos ô) — m/ ' »in' ô -r- -f- consl.
Le principe des aires, appliqué relativement à un plan de projection horizontal , donne
A{pa" -h q¥') -h C/f cosô = const.
Ces deux dernières intégrales peuvent s'écrire
\ Asin'0--^ + (A-f-/w/'sin'O)-—
(i) ^ de ^ ' df
( =2/w^/(cos0o — cosô) — Cn*-f- const.,
d^ il) Asin'0— ^ = — C/? cos9 -+- const.
dt
Elles suffisent pour ramener le problème aux quadratures.
Supposons, en particulier, que les valeurs initiales de p
et de ^, et, par suite, celles de — et de -^ soient nulles*,
ce qui revient à supposer que le mouvement initial soit une rotation autour de l'axe de figure, accompagnée, si l'on veut, d'une translation horizontale. Ceci détermine les constantes, et il vient
A sin'0 y^ -f- (A -+- w/» sin^ô) — =: ^mgl [cosB,— cosô),
d'If Asin'9— = C/2(cos0e — cos9).
Éliminant —-9 on arrive à Téquation
)/\ -^mrsm''9dQ dt=:dz-
i /(cosôo— cosô) zmgl
C^/î^(cosQo—cosQ)'| A sin^ 9
Raisonnant sur ces formules comme on l'a fait dans le problème précédent sur les formules analogues, on arrivera k des conclusions toutes semblables.
L'axe de la toupie commence par s'incliner sur la verticale, puis il se relève jusqu'à reprendre son inclinaison première, s'incline de nouveau, et ainsi de suite. Toutes ces demi-oscillations ont la même durée.
La vitesse totale de rotation est un minimum au commencement de chaque oscillation descendante, et un maximum à la fin.
L'intersection ON du plan de Téquateur et du plan horizontal XOY, tourne constamment dans le sens de la rotation autour de Taxe de figure. Ce mouvement n'est point uniforme; mais il se reproduit périodiquement le même à chaque demi-oscillation de l'axe, descendante ou ascendante.
Regardant comme fixe la projection du centre de gravité sur le plan horizontal qui porte la toupie , on verra la pointe de la toupie tracer sur ce plan une courbe formée d'une suite indéfinie d'arcs égaux, tangents à une même circonférence dont le centre est la projection du centre de gravité , et normaux à une circonférence concentrique , de rayon moi ndre .
Poisson , Traité de Mécanique , t. II , p. 207 ; 2* édit. FnrcK, IVouif. Annales de Mathématiques, t. IX, p. 3 10; i85o.
3. Imaginons quun solide de révolution, pesant et homogène, soit posé sur un plan horizontal parfaitement uni, etquon lui imprime un mouvement quelconque » Si la vitesse de rotation imprimée autour de Vaxe défigure est suffisamment grande, l'inclinaison de l'axe sur la verticale restera toujours aussi peu différente qu'on voudra de sa valeur initiale , quelles que soient d'ailleurs les autres circonstances du mouvement communiqué.
Conservons la notation du problème précédent. La réaction du plan étant constamment normale à la surface du corps, le moment de cette force autour de II. 12
178 MÉCAWIQUE RATIONNELLE.
l'axe de figure est nul-, par suite, la vitesse de rotation autour de cet axe reste constante. Il y a plus : tous les raisonnements qui nous ont conduit aux équations (i) et ( 2) de la question précédente subsistent ici, sauf que la hauteur du centre de gravité au-dessus du plan horizontal n'est plus proportionnelle à cosO.
Représentons cette hauteur par Ç. La réaction du plan sur le corps sera
et le travail de cette force aura pour expression
Représentant par h et A deux constantes , les équations (1) et (2) pourront s'écrire
d^ (2) A sin'Ô — î- -f- C« (cosô— 'cos0«) = X-.
Ces équations, jointes à l'équation de la surface du corps, suffisent pour déterminer le mouvement autour du centre de gravité.
Pour conclure de là le théorème que nous avons en vue, il faut faire quelques remarques préliminaires sur les constantes qui déterminent l'état initial.
Soient P09 ^oj Çoj etc., les valeurs initialesde/?,^, y, etc. Nous pouvons prendre à volonté les constantes So» ?09 ^0 i alors ^0 sera déterminé^ en conséquence de la valeur prise pour 00 9 par. la condition que la surface soit tangente au plan ; et la position initiale sera fixée. De plus , nous pouvons prendre à volonté lés constantes p^^q^^n^ qui repré-
OYNAivtiQuC. lyy
s^itent les vitesses angulaires initiales ; alors la position qu'aura le corps, à la fin du premier instant dt^ sera déterminée par les ixHations p^dt^ q^dt^ ndt^ et par la
condition que le corps touche le plan. La valeur <fe ( -7- )
sera doac déterminée \ et il importe d'observer <|tie la rotation ndt autour de Taxe de révolution n'aura aucune influence sur cette valeur, puisque ^ reste le même lorsque le point de contact se déplace sur un même parallèle. En résumé, nos constantes arbitraires seront %^ fo? 4^0 9
Poî 70 et rt -, les valeurs de Ço «t de ( -j- J s'ensuivront, «t
seront indépendantes de «.
Venons maintenant à la question.
Si nouséliniinoBB -j- entre les équations (i) et (!à) , il
vient
, d^^ d^' ^ ^ [Ar — C/î(cos9 — cos9,)p
dt^ dt^ ^ Asin^ô
Le premier membre de cette équation étant positif de sa nature , le second membre devra rester positif pendant toute la durée du mouvement. Nous aurons donc constamment
k — Cii(cosO — cosÔoXv^A(/j — 2w^Ç)sin'0, X —C/i (cosÔ — cosôo)^ — v^A (^ — 2/wg'Ç) sin'ô,
ou encore , supposant n positif,
cose — cos9o > ^ ^ ç^ — ^^ -^
, ^A-H-v^A(A— 2wg'Ç)sin^Ô cosÔ — cosGo <C — ^ — r
Or, en appliquant les équations (i) et (2) à l'état ini-
MÉCANIQUE RÀTIONVELLE.
liai, après y avoir remplacé (formules H) s\n*6'^^-\- —
par p'H-^", et siii0-^ par jc7smf -^ ^cosf , nous
voyons que les constantes A et A ne dépendent que de p^ ,
^0 5 6« 5 îo ? Ço > ( "3" ) ' et, par conséquent, ne dépendent
pas de n. Il en résulte que les numérateurs des seconds membres de nos inégalités conserveront des valeurs finies, quelle que soit la vitesse angulaire n.
Nommons k' la valeur numérique de A , p le plus petit rayon que l'on puisse mener du centre de gravité à la surface du corps, et e un nombre donné aussi petit qu'on voudra .
Nous serons sûrs que la valeur numérique de Técart cos6 — cosdo restera constamment inférieure à e , si nous prenons
Ct
sans rien changer aux autres circonstances de l'état initial.
PuiSEUX, Journal de M. Liouville, t. Xfll, p. 249' 1848.
4. Déterminer le moui^ement d'une sphère homogène^ sur un plan ho-rizontal, enayantégard au frottement.
Nous allons traiter directement ce problème, au lieu d'en ramener la solution à l'intégration des équations générales d'Euler.
Soient
M la masse de la sphère ;
DYNAMIQUE. l8l
p le rayon;
fx le coefficient du frottement de glissement ;
OX , OY deux axes fixes tracés dans le plan , et OZ une verticale dirigée en sens contraire de la pesanteur 5
p, y 5 r les vitesses angulaires autour de parallèles aux axes , menées par le centre 5
X , y les coordonnées du point d'appui 5
Uy u les vitesses du centre estimées suivant les axes, dx dy
X, Y les composantes suivant les axes de la force accélératrice due au frottement.
Le mouvement de translation du centre de figure , qui est aussi le centre de gravité, est régi par les équations
Les équations du mouvement de rotation autour du centre s'obtiennent en exprimant que les forces appli-*quées font équilibre aux forces effectives , autour du centre considéré comme un point fixe. Si l'on observe que le rayon de gyration de la sphère autour d'un diamètre
i/ ^ p , on voit que les équations dont il s'agit sont
est
les suivantes
11 dp Z dq V ^^
^^ dt ' 5^ dt ' dt
Substituons ici — ? ~ aux forces égales X, Y 5 puis intégrons, en marquant les valeurs initiales de l'indice o. n vient
l8a MéCÀNIQITE RATIONNELLE.
Ces équations sont susceptibles d'une interprétation assez remarquable. £n effet , considérons le centre d'oscillation ou de percussion de la spbère par rapport à un axe de suspension passant au point d'appui. Ce centre est
situé au-dessus du centre de figure à la distance •= p. Ses
vitesses relatives au centre de figure, dirigées suivant les axesOX^ OY, sont
et sa vitesse vertieale est nulle. Diaprés ces valeurs, les équations^ (2) peuvent s'écrire
Sous cette forme, elles nous montrent que la vitesse du centre et la vitesse relatii^e du centre de percussion supérieur ont une résultante invariable en grandeur et en érection. Ce résultat est indépendant de la nature des forces X, T ; il subsiste donc quand on a égard à la fois au frottement de glissement et au frottement de roulement.
A Tinstant où la sphère cesse de glisser, on a
en sorte que , si Fon désigne par a et b les valeurs de u et de i^ correspondantes à ce mouvement rectiligne , on a
a=: -(«o4-Uo), b= -((.«H-Vo), 7 7
ou
Si le frotlctûent de roulement est nul , la sphère, à partir de F ÎBstant considéré) roule san& glisser, d'un mouvement rectiligne et uniforme , dont la vitesse a pour composantes a et b. Si le frottement de roulement n'est point nul, la sphère prend encore un fnouvement rectiligne, à partir de l'instant considéré-, car rien ne tend à la dévier à droite ou à gauche (^) ; mais sa vitesse diminue progressivement , jusqu'à ce qu'elle soit anéantie.
Poursuivons notre problème , en ne tenant compte que du frottement de glissement. •
La force motrice est dirigée en sens contraire du glissement ; par suite , les composantes de cette fojrce , sui-r vaut les axes, sont proportionnelles aux composantes de la vitesse de glissement, u — pq^ v -f- pp. De là les équations
X (lu u — og
nii ..- — ' ■
uu -- —
L'intégration donne
X Uo — a — const. — ■
f ou
( ' ) On peut dire plus généralement que , si la sphère ne glisse pas , et que son centre soit sollicité parallèlement au plan par des forces quelconques, le frottement ne changera pas la natuvede la courbe dé-? crite. En effet, les composantes de la force qui naft de ce frottement sont
dg dp d*'x d^ y proportionnelles a — j- et t^» ou bien à j-j- et jr- ; par conséquent, leur addition dans les équations du mouvement du centre de gravité produira le pième efifetque sir Ton augmentait la masse sans accroitre les forces motrices appliquées.
Supposons, comme exemple, que la sphère soit attirée proportionnellement à la masse et en raison inverse du carré de la distance vers un point fiie, situé à une hauteur an-dessus du plan égale au rayon de la sphère. Dans ce cas , le centre de la sphère décrira uhe conique, dont Tun des foyer» sera le point fixe.
l84 MÉCANIQUE HÂTIONNELLE.
Ceci ^lous apprend que la force de frottement n'est pas seulement constante en intensité, mais encore constante en direction. Il en résulte que la sphère décrit une parabole y comme un projectile pesant , tant quelle ne cesse pas de glis^r ( * ) .
Actuellement il nous est facile d'obtenir les valeurs des forces X et Y , lesquelles , il ne faut pas l'oublier, sont de sens contraire au glissement. Nous trouvons
X ^ Y ^ fiMg ^fxMg-
en posant, pour abréger,
Portant ces valeurs dans les équations (i), et intégrant, il vient
(3) u — Uo = itMg — 2;— V, p — (»o=fAM^— ^^V.
Ces expressions des vitesses, substituées dans les équations (2}, nous feraient connaître les vitesses angulaires p^ q^ r, en fonction du temps.
dx dY Remplaçons m, v par — » — dans les intégrales que
nous venons d'obtenir, et intégrons de nouveau , en supposant que la sphère parte de l'origine. Il vient
Ces formules achèvent de déterminer le mouvement de translation; par l'élimination de ty elles nous donnent
(*) Ce théorème est de J.-A. Euler, fils du célèbre L. Ëuler, Mém. de l'Àcad. de Berlin j i-jbS, p. 284 •
DYIiAMIQUE. l85
Téquation de la trajectoire ,
Cette parabole se réduit à une ligne droite, quand iio, ^n sont proportionnels à a , &, et différents de ces quantités. Ces conditions reviennent à celle-ci :
«•A-*"*'o^o= o, et p/>o^ — f^o ou p^o^«o.
La première exprime qu'à l'origine du mouvement l'axe instantané de rotation est dans un plan vertical perpendiculaire à la translation 5 les dernières expriment qu'il y a glissement. Dans ces conditions , la sphère se meut en ligne droite, d'un mouvement uniformément retardé.
Ceci ne s'applique qu'à l'état de glissement*, or cet état cessera dès que l'on aura
les valeurs de u et de f^ qui satisfont à ces relations ont été calculées , nous les avons désignées par aet b.
Ces dernières valeurs, substituées dans l'une ou l'autre des équations (3), nous font connaître l'époque à laquelle
cessera le glissement ,
Cette valeur, substituée à son tour dans les équations (4) ) nous fait connaître le point où ce changement aura lieu ,
fl -f- «0 , ^ -+- t'o ^ Jî =r A, T = A.
A partir de ce point le mouvement est rectiligne et uniforme^ car X et Y étant devenus nuls, u et i' ou
-T-9 -j- restent constants d'après les équations (i).
l86 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
La droite décrite par le point d'appui est représentée par Féquation
ouq — bu»
2a^Mg
Il est aisé de vérifier que cette droite est tangente à la parabole au point où cesse le glissement.
Si Ton avait, à l'origine du mouvement,
le mouvement serait dès le principe rectiligne et uniforme.
CoRiOLis, Théorie mathématique des effets du jeu de billard, chap. I.
5. Déterminer le mouvement de la terre autour de son centre de grawté , en ayant égard
