X-r-df"' ^^ aux actions du
soleil et de la lune, et négligeant les excentricités des orbites.
Dans le calcul du mouvement de la terre autour de son centre de gravité, on peut, sans aucune erreur appréciable, considérer les masses du soleil et de la lune comme réunies à leurs centres de gravité respectifs \ car les dimensions de ces corps sont faibles en comparaison de leurs distances à la terre \ en outre, leur figure diffère peu de la figure sphérique, et Ton sait qu'une sphère homogène
DYIKAMIQVE. 187
attire un point e:&tërîear, comme si elle était tout entière condensée à son centre. Nous sommes donc conduits à calculer les moments de F attraction (Vun point matériel fort éloigné y autour des axes principaux d* inertie du corps attiré relatifs au centre de gratuité.
Dans ce calcul, le corps attiré pourra être un corps quelconque ; mais , pour nous fixer, nous supposerons de suite qu'il s'agisse de la terre.
Afin de nous conformer à Tusage des astronomes, nous regarderons comme positives les rotations qui s'eflPectuent de droite à gauche.
Soient
OX, OY, OZ trois axes coordonnés, dirigés suivant les axes principaux d'inertie de la terre autour de son centre de gravité;
x\ j"', z' les coordonnas d'une molécule de la terre ;
dm^ la masse de cette molécule -,
or, y, z les coordonnées d^un point matériel très-éloigaé: ce sera, par exemple, le soleil ^
ria distance de ce point au centre de gravité de la terre ;
t"^ la distance du même point à la molécule c&n';
m le produit de la masse de ce point par la constante qui mesure l'attraction de l'unité de masse sur l'unité de masse à l'unité de distance;
X , Y, Z les composantes de l'atlraction de ce point sur la terre, dirigées suivant les axes ;
L, M, N les moments de cette attraction autour des axes OX, OY, OZ.
Nous avons d'abord, quelle que soit la forme et la constitution de la terre ,
X = /;; r ^^ dm% Y =: m f ^-~- dm\
les intégrales s'étendant à toutes les molécules de la terre. Il s'ensuit
h = Zjr--Yz = mz j l^^dm' ^ my j -^^ dm\
-j^ dm' — mz j -^ dm\
—j^ dm! — mx I ^dm*.
Or
si nous développons le radical par la formule du binôme^ et que nous négligions dans ce développement les termes qui contiennent les secondes puissances des rapports très-
im "w Z JE V Z
petits — j — » -> vis-à-vis des rapports -5-5 -•> qui sont j: r r r ^^ r r r ^
comparables à l'unité , il reste
I I . ^ xo:' 4- jr' H- zz' -7; = -T + ^ 1 •
Substituant cette valeur dans les expressions des moments L, M, N, et nommant A, B, C les moments d'inertie principaux de la terre autour des axes OX , OY, OZ , il vient
M = ^— Izx,
Actuellement ayons égard à ce que l'observation et la théorie nous apprennent sur la constitution de la terre. Le centre de gravité de la terre étant supposé fixe, le mouyement de la sphère céleste nous apprend que la terre tourne autour d'un axe qui parait absolu&ent fixe dans ce corps. De plus, nous savons que la forme de la terre diffère peu de celle d'une sphère, et rien ne nous porteà croire que la densité soit fort inégalement répartie autour du centre. Nous pouvons donc admettre que les différences des moments d'inertie, et, par suite, les moments L, M, N sont peu considérables vis-à-vis de la masse de la terre. Or, si l'axe de rotation de la terre était réellement fixe dans ce corps , et les moments L^ M , N tout à fait nuls , l'axe de rotation serait un axe principal d'inertie, selon la propriété caractéristique dont jouissent ces axes , d'être axes permanents de rotation. D'après cela , l'erreur commise, en admettant que la rotation de la terre s'effectue autour d'un axe principal d'inertie , sera fort petite. Un calcul approfondi montre que cette erreur est tout à fait négligeable.
Les mesures géodésiques nous apprennent que la figure de la terre est celle d'un solide de révolution autour de son axe de rotation. Ceci et plusieurs autres considérations portent à croire que les deux axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité, qui sont situés dans le plan de l'équateur, ont des moments égaux. Nous prendrons le plan XOY pour celui de l'équateur, et nous poserons
L' aplatissement de la terre vers les pôles nous porte k admettre que l'axe OZ est l'axe du plus grand moment. Nous supposerons donc
190 MÉCANIt;)UË RÂTIOlïfîELLE.
Ainsi , nous aurons
Mettons de suite ces valeurs sous une forme qui se prête mieux au calcul numérique.
Soit n la vitesse angulaire moyenne du mouvement de la terre autour du soleil. D'après les formules du mouvement elliptique , la force accélératrice qui retient la terre dans son orbite , rapportée à l'unité de distance, est mesurée par le produit n^r^. D'un autre côté, cette même force a pour mesure le produit de la somme des masses du soleil et de la terre , par l'attraction de l'unité de masse sur Tunité de masse à l'unité de distance. Si donc nous nommons h le rapport de la masse de la terre à celle du soleil, nous aurons
et, par suite,
Le rapport h étant fort petit, ^ » au plus, nous le
négligerons dans le présent calcul. Mais, quand il s'agira de la lune, il faudra rétablir dans fes iKormules le rap' poit analogue; savoir, le rapport de la masse de la terre à celle de la lune, qui est égal à 80.
Dorénavant nous prendrons l'axe OX constamment dirigé vers Féquinoxe de printemps, et Taxe OY dirigé du côté du solstice d'été. Ces deux axes ne cesseront pas d'être axes principaux d'inertie de la terre.
Nous déterminerons le mouvement par la méthode de la
composition des couples. Les couples L et M, en agissant pendant Tinstant dt^ communiquent à la terre deux vitesses de rotation infiniment petites , aiatour des axes OX etOY*, les quantités de mouvement qui naissent de ces vitesses de rotation ont pour moments , autour des mêmes axes, les produits L rfî et Mrf/, car les moments des forces eflTectives sont égaux aux moments des forces appliquées. Ainsi , les quantités de mouvement que possède la terre à la fin de l'instant dt^ considérées comme des forces , et transportées à l'origine, donnent naissance à trois couples autour des trois axes OX, OY, OZ. Les deux premiers ont leurs moments égaux k\jdt^M.dt\\e troisième est le couple des quantités de mouvement qui animaient la terre au commencement de l'instant considéré. Si l'on représente son moment par G, et que l'on nomme p la vitesse de rotation de la terre autour de son axe, on a
G=:pC.
Ces trois couples se composent en un seul , dont l'axe se confond, pour nous , avec l'axe de révolution de la terre, dans la nouvelle position qu'il occupe à la fin de Tinstant dt. On sait, en effet, que trais rotations infiniment petites, autour de trois -axes rectangulaires, se réduisent à une rotation autour d'un seul axe convenablement déterminé. Si Ton convient de représenter un couple par une droite dirigée suivant l'axe et proportionnelle au moment, le couple résultant dont il s'agit sera représenté, en grandeur et en direction, parla diagonale du parallélipipède rectangle construit sur les axes OX , OY, OZ avec des longueurs proportionnelles à L<afe, M.dt^ G. Les deux premières arêtes du parallélipipède étant infiniment petites en comparaison de la troisième, la diagonale fera un angle infiniment petit avec la troisième arête et, par suite , aura même longueur. L'attraction du soleil dévie
ign MÉCANIQUE RATIONNELLE.
donc l'axe de la terre , à chaque instant, sans changer la vitesse de rotation autour de cet axe ( ^ ) .
Étudions isolément les mouvements produits par chacun des quatre couples moteurs , en commençant par les couples qui proviennent de l'action du soleil.
diction du soleil.
Il nous faut substituer aux coordonnées rectangulaires du soleil la distance r, la longitude a? , et l'obliquité B de Téquateur XOY sur Técliptique XOE.
Les formules de transformations sont les suivantes :
X = rcosffy 7- = rcosôsinç, z = rsinÔ sin^p. Elles donnent
L=: 3«'(C — A)sin6cos6sin^7, M = — 3/ï- (C — A) sin 0 siny cos^.
( ^ ) La théorie des forces instantanées rend aussi parfaitement compte de la méthode de la composition des couples. En effet , quand des forces instantanées viennent à agir sur un système de points matériels assujettis à des liaisons quelconques, si Ton conrîdère les quantités de mouvement comme des forces, il y a équilibre, en vertu des liaisons, entre les quantités de mouvement que possédait le système avant les percussions , les quantités de mouvement qui seraient communiquées par les percussions si tous les points étaient libres , et les quantités de mouvement que possède le système après les percussions , ces dernières quantités étant prises en signe contraire.
Or on peut toujours remplacer les forces continues qui agissent pendant rinstant dt, par des percussions appliquées à la fin de cet instant, et capables de produire sur chaque point du système , supposé libre , la quantité de mouvement qui lui serait communiquée par les forces continues pendant l'instant dt. Par là on n'a plus à considérer que des percussions; en sorte que le mouvement communiqué se détermine, d*après le théorème général qu'on vient de rappeler, en exprimant que les quantités de mouvement se font équilibre.
Dans notre cas, les liaisons réduisent les conditions d'équilibre à celleci , que la somme des moments autour de chacun des trois axes soit nulle. 11 s'ensuit que les moments , représentés par des droites , se composent suivant la loi du parallélogramme.
i*^. Couple L. — Composant d'après la loi du parallélogramme le couple \jdt avec le couple G, on obtient un nouveau couple, dont Taxe OG' représente la position que prendrait Taxe terrestre à la fin de l'instant dtj si le couple hdl agissait seul. Ainsi, par Feffet du couple Ltdt^ Taxe terrestre ou la perpendiculaire à Téquateur tourne d'un angle infiniment petit dit autour du rayon OY de l'équateur. Ce rayon étant perpendiculaire à l'intersection de l'équateur et de l'écliptique , il s'ensuit que la rotation dit a pour unique effet de déplacer l'intersection de l'équateur sur l'écliptique, sans changer Tangle des deux plans
Soit d^ Tangle XOX' dont la ligne des équinoxes a rétrogradé dans le plan de l'écliptique. Cet angle est le même que l'angle décrit par la projection de l'axe terrestre sur l'écliptique, car celte projection est constamment perpendiculaire à la ligne des équinoxes. Nous avons donc
^ sinO' iet d'ailleurs
^ Ldt 3/2^(C~A) . ^ « . , j
sindxt ou a\j r= -— - r= i— sm B cosô sm' fdt,
G pC
Prenons l'origine du temps à l'équinoxe de printemps pour une année déterminée, et nommons ^j^ l'angle dont la ligne des équinoxes a rétrogradé sur le plan de l'écliptique depuis l'origine du temps. Alors, négligeant l'excentricité de l'orbite terrestre , nous avons
y =r /If -h ^j; .
Mais, dans la valeur de d^y nous pouvons négliger l'angle ^j; au même titre que nous négligeons les déplacements produits par les autres couples moteurs. Par conséquent,
d^ = . \—- i co$9 sm' ntdt.
pC
194 MÉGANIQUE RATIONNELLE.
En outre, robservadon fait voir que Tobliquité de Téquateur sur Técliptique reste à peu près constante, car elle ne s'écarte pas de sa valeur moyenne de plus de lo''. Nous pouvons donc, dans l'équation précédente, supposer à dune valeur constante 6', comprise entre la plus grande et la plus petite des valeurs de cet angle. D'après cela , il vient, en intégrant et remplaçant ensuite nt par f ,
3ff'(C — A)cose *"'2 pC
// si^y
Cet angle ^ mesure la précession des équinoxes due à Taction du soleil. La valeur moyenne de cet angle croît proportionnellement au temps. Or l'observation apprend que la ligné des nœuds emploie environ 26000 ans pour accomplir une révolution entière 5 donc le coefficient
— - — est fort petit. Il en résulte que le terme qui con-
tient le facteur périodique ne peut jamais acquérir
une valeur bien sensible. Aussi nous bornerons notre formule à la précession moyenne y
• , , 3/»»(C — A)cos&'
2^. Couple M. — Composant le couple Mdt avec le couple G, on obtient un nouveau couple, dont l'axe OG" représente la position que prendrait l'axe terrestre à la fin de l'instant dt^ si le couple Mdt agissait seul. Ou voit que l'effet de ce couple se réduit à faire varier l'obliquité de l'équateur sur l'écliptique d'un angle
GOG" =2 d^z= — = — 3/?'(C-- A)sinesin2/?f ^^ G 2pC
11 vient , en intégrant avec la même approximation que
DVNAMIQUte. ip5
dans le calcul précédent,
ô = 7- — ^ — sm ô cos 2 «p -h const .
4 pc
La variation de Tangle 0, donnée par cette formule^ mesure la nutation de Taxe terrestre duc à l'action du soleil. Cette nutation périodique est peu sensible, à
cause du très-petit facteur — - — • Ainsi , Vaxe de la ro-
tation de la terre resterait à peu près fixe dans Vespace, si le soleil agissait seul.
diction de ta lutte.
Occupons-nous maintenant de la lune. Conservons auV lettres la même signification, mais marquons de l'indice i celles qui se rapportent à la lune ; de plus , nommons i rioclinaison de l'orbite lunaire sur Técliptique, et X la longitude du nœud ascendant de la lune.
Nous avons ) d'après les formules (i)^
^1 5 Ji 9 Zi étant les coordonnées de la lune par rapport
auxaxesOX,OY, QZ.
wt^ 11 nous faut exprimer ces
// y coordonnées en fonction de
p--- --^^...^^^i... j^ longitude de la lune.
j ^^^-^/^ ^^-^ Pour cela ^ figurons une
I ^J^^^i^^"^^^ sphère décrite du centre de
* ^ gravité de la terre comme
centre avec un rayon égal à l'unité; et marquons sur cette sphère la trace m^ du rayon vecteur de la lune , Téquateur XY, Técliptique XN et l'orbite lunaire Nm,* L'arc XN sera la longitude du nœud ^ et la somme des
196 MÉCAWIQUE RATIONJNELLE.
deux arcs XN, Nwi, non situés dans un même plan, sera la longitude de la lune , ou ^1 .
Nous chercbons les valeurs des coordonnées, en vue
de les substituer dans les expressions de ~ et de -r^»
lesquelles contiennent le facteur très-petit — Il est
donc inutile de calculer ces valeurs fort exactement. Aussi nous négligerons dans ce calcul le carré del'angle /,
angle dont la valeur est à peu près 5*^ y' ou — du rayon.
Soient x\ , jr\ , z\ les coordonnées de la lune, prises par rapport à trois axes dont Torigine est au centre de gravité de la terre , et qui sont dirigés , le premier suivant la direction OX de Téquinoxe de printemps , le second suivant une perpendiculaire située dans le plan de TécHptique, et le troisième suivant une perpendiculaire à l'écliptique.
Nous avons d'abord
x\ = 7-, eo9 y, , x', = r, sin f , , z\ = r, i sin ((p, — - X) ;
puis, par les formules de transformation des coordonnées en géométrie plane ,
Xi = x\ = r, ces <p, ,
y^ = y, ces 0 — z\ sin 0 m /', [sin (jp, ces 0 — / sin ( <p, — X) sin 0],
Zi =: x\ sin 0 H- 2, ces 0 = /-, [sin «p, sin 0 -f- / sin (y, — X) cos 0].
Substituant ces valeurs dans les expressions de Li et de Ml, et négligeant toujours 2', il vient
3/^t(C — A) r sin 0 cos 0 sin' çi 1
' "" (i-h^i) L~T" '(<'os'® — sin'0) sin<p, sin (9>, — X) J'
3/f^(C — ^) r sin 0 sin (p, cos (f, H
^ * ~ (14-^1) L'+' ' cosôcos^i sin(<p, — a)J
I**. Couple Lii — Si Ton nomme ^ l'angle dont rétrograde la ligne des équinoxes {)endaiit le temps t , en vertu de Faction du couple L, , on a Véquation
G sin 9
où l'on doit remplacer Li par la valeur précédente, et G par sa valeur pC.
Dans l'intégration qui doit nous fournir Tangle ^^ nous pourrons regarder comme constants , non-seulement l'angle 0, mais aussi l'angle/; car l'inclinaison de l'orbite lunaire sur l'écliptique reste à peu près constante. Nous pourrons encore remplacer la longitude ç, par Wj^-l-const. Quanta la longitude du nœud, X, nous
savons qu'elle diminue d'une circonférence en i8 ans ^
environ, d'un mouvement à peu près uniforme^ en sorte que, en nommant — a la vitesse angulaire moyenne du nœud, nous pourrons remplacer \ par — ai-f-const. 5 et il importe d'observer que a sera beaucoup plus petit que «j.
Ceci posé, il suffit de remplacer les produits de sinus parles cosinus de la somme et de la différence des arcs, et l'inlégralion se fera immédiatement. Mais, parmi les termes périodiques de la différentielle, nous conserve-r rons seulement le terme indépendant de <fx\ car l'intégrale des autres termes aura en diviseur le nombre n^ , tandis que l'intégrale de celui-ci aura en diviseur le nombre a, lequel est beaucoup plus petit que nj.
La différentielle d^ se réduit donc à la valeur suivante
d'^=~ / ^ , . / cosÔ'h r-7;7-cos(— af-f-const.) \dl.
On eii tire
3) -L = - -J-i—-— i cosô'./ r—r smX).
3w C — A / ,, /COS20'
2 (i -h /fijpC \ asmO'
198 MÉCA.NIQUE EATK)NNELLE.
2**. Couple Mi. — Si l'on nomme ^20 la variation de l'obliquité de Téquateur, due à raction du couple M^ , pendant l'instant i/t, on a,
En opérant comme pour le calcul de ^, la différentielle dd se réduit à la valeur suivante :
dO = - -~ t^t-t; — sin(— a^-hconst.).
Quand on détermine convenablezpent la constantç 0\ l'intégrale est
(4 ô=ô'H '; , . / ^ — cos>.
Réunissant toutes les parties obtenues, (2), (3), (4)) on a la représentation complète du mouvement de Tai^e terrestre, par les formules
(5) += (c4-c,)f~--j--^sinX,
(6) ô = ô'-f- acosX,
où Ton a posé
3C— ,A «'cosô' 3 C — A /ïîcosd'
3C — A/IÎICOS2Ô' 3 G — A w?/cosÔ'
2 C, (i-h^i)pa 2 G (i-hA,)pa
Représentation géométrique , -r- Ces formules (5) et (6) sont semblables à celles que nous avons discutées au problème 1, page 172, si ce n'est que les coefficients des termes périodiques de ^ et de 0 ne sont pas égaux dans le problème actuel. Elles sont susceptibles d'une représen-^
tation géométrique toute semblable , qui se reconnaît de la même manière.
Imaginons un axe mené par le centre de gravité de la terre, et dont le mouvement soit défini par les valeurs
Cet axe coïncidera périodiquement avec Taxe de rotation de la terre ; c'est pourquoi nous le nommerons axe moyen.
Décrivons une sphère autour du centre de gravité de la terre comme centre , avec un rayon égal à l'unité ; et considérons les intersections de cette surface par l'axe vrai et par Taxe moyen , intersections que nous nommerons pâle vrai et pôle moyen.
Le pôle moyen décrit d'un mouvement uniforme un petit cercle de la sphère , dont le rayon sphérique est 0 ', et dont le centre est le point qui marque sur la sphère le p61e de l'écliptique. Ce mouvement de rotation est de sens contraire à celui de la rotation de la terre autour de son axe.
Pendant ce mouvement, le pôle vrai tourne autour du pôle moyen dans le même sens que le pôle moyen autour du pôle de l'écliptique. Si l'on considère le pôle moyen comme fixe, on voit le pôle vrai décrire autour de ce point, comme centre, une très-petite ellipse dont les demi-axes sont a et è, le premier de ces axes étant dirigé vers le pôle de l'écliptique. En effet, une ellipse dont les demi -axes sont a et b peut se représenter,, soit par l'équation
soit par les deux équations simultanées
Ç = fli cos> , rj r= ^ sini^ y
OÙ X désigne l'angle connu sous le nom à! anomalie excentrique àa point (Ç, m). Cet angle croît ici d un mouvement uniforme.
Le rapport des axes de cette petite ellipse est
b ces 2 6'
a ~" cps 6' '
comme 0^ est un angle aigu, il s'ensuit que a est plus grand que b , en sorte que Taxe dirigé vers le pôle de l'écliptique est le plus grand des deux*
Le pôle moyen accomplit sa révolution dans le temps
9 et le pôle vrai parcourt sa petite ellipse dans le
même temps que le nœud de l'orbite lunaire fait le tour
de l'écliptique, c'est-à-dire en i8 ans - environ.
Calcul numérique. — Dans ce calcul, l'unité de longueur sera la seconde d'arc , et l'unité de temps sera Tannée julienne composée de 365,25 jours solaires moyens. Nous pourrons confondre cette année avec Tannée sidérale, dont elle diffère très-peu; par suite, nous aurons
n = nombre de secondes en 36o" = 1296000".
Les autres données, fournies par l'observation, sont, pour Tépoque actuelle ,
Il faut encore connaître le rapport des moments d'iner-
tie, — - — •, mais notre ignorance sur la répartition de la
^çi^sit^ dans l'intérieur de la terre ne nous permet que
Ji
des conjectures. D'après une hypothèse (*), imaginée par Legendre et discutée par Laplace dans la Mécanique céleste (livre XI, §1 et 6) , qui s'accorde assez bien avec la plupart des phénomènes observés , on trouve
Nous admettrons cette valeur.
Substituant ces nombres dans les formules obtenues , il vient d'abord .
h COS2Ô' , ,^
a cosô' "^^
quel que soit le rapport des moments d'inertie \ tandis
que l'observation donne - = 0,^462. L'erreur relative
est 7: — • 5oo
Nous trouvons ensuite
c = 1 5'^,8, pour la précession solaire annuelle , c,= 34'S99 pour la précession lunaire annuelle, c -f- c, = 5o'%7, pour la précession annuelle totale;
tandis que la précession annuelle observée est 5o'^, 2. Il vient enfin
tandis que la valeur observée est 9 '',65,
On sait que la théorie des couples a été imaginée par M. Poinsot. Elle constitue une partie importante de l'ad-^ mirable Traité de Statique publié par cet auteur. L'ap-
( ' ) Cette hypothèse consiste à regarder la terre comme une masse fluide et tellement compressible, que l'accroissement de pression nécessaire pour produire un accroissement donné de la densité soit proportionnel à Is^ densité elle-même.
202 MÉCANIQUE RÀTlOMfELLE.
plication de la mélhode à la détermination du mouvement de la terre autour de son centre est également due à rîllustre géomètre (*).
Corollaire. — Nous pouvons, en suivant une marche inverse, nous servir des mêmes formules pour calculer le
rapport des moments d'inertie de la terre, — - — ? et aussi
le rapport de la masse de la terre à celle de la lune , qui est encore assez incertain. Il nous suffit dVgaler les expressions de c -f-Ci et de a aux valeurs observées ^o"^% et 9'^65 , puis de résoudre les deux équations obtenues par
rapport aux quantités — - — et A,. Nous trouvons ainsi
L 3 /î cosô' \ n in] *
Cette valeur du rapport des masses est sans doute trop faible, bien qu'elle se déduise de formules assez exactes. Il faut en conclure que la précession et la nutation ne fournissent pas aux astronomes un bon moyen pour déterminer la masse de la lune , en ce sens qu'une petite erreur dans la précession ou la nutation produit une (erreur considérable dans le rapport des masses.
6. Considérons Vorbite de la lune comme un anneau circulaire très-^mince y et partout d* égale épaisseur, animé d'Aimé vitesse de rotation autour de son axe de figure, égale au moyen mouvement de la lune; et cherchons quel déplacement du plan de Vorbite produirait r attraction du soleil, dans cette hypothèse.
(') Voir la Théorie des cônes circulaires roulants (Journal de M. Liouyille, t. XVIII, p. 41; i853).
DYNAMIQUE. 2o3
La distance moyenne de la lune à la terre étant à peu près la 4oo^ partie de celle du soleil , nous pouvons appliqaer à l'anneau fictif les formules établies pour le mouvement de la terre dans l<e problème précédent; car œs formules supposent seulement que le coi|>s est de révolution, et de dimensions petites relativement à la distance du soleil. Le plan de Tanneau nous représentera le plan de Téquateur, son axe de rotation nous représentera la ligne des pôles, etc.
D'après cela , transportant à cet anneau la notation employée pour la terre au problème cité, nous avons
^^ = i — i cosO{i — cos2y)af ,
</e rr: î^— ^ SÏH ô SlR 2 (p (//,
Ici le rapport — - — est égal à -» et Fangle 6 reste
toujours assez petit, 5^9' environ. Il vient donc, en né^ gligeant le carré de Tangle Q ,
e/9 = -z — 6 sin2«p^^.
Dans ces formules, n est le mouvement moyen du soleil, p le mouvement moyen de la lune dans son orbite, 3 l'inclinaison du plan de l'orbite lunaire, — (p la longitude du nœud de la lune, f la différence entre la longitude moyenne du soleil et la longitude du nœud de la lune. Elles coïncident exactement avec les équations auxquelles on parvient, quand on cherche à déterminer le mouve^.
méat du plan de Torbite de la lune , par la méthode commune de la variation des constantes arbitraires (^).
Si Ton n^Iige les termes périodiques , pour ne consi-r dérer que le mouvement moyen , on voit que l'inclinaison reste constante , et que le nœud rétrograde d'un mouvement uniforme, avec la vitesse -7--
Newton a traité cette question dans le lÀv*re des Principes (lib. I, prop. 66). L'anneau qu'il considère est la portion du globe terrestre qui forme le renflement équatorial. Il avait en vue de calculer la précession des équittoxes \ mais il se trompa dans le passage du cas d'un anneau libre, au cas réel d'un anneau qui est lié avec le noyau sphérique de la terre , et Tentraîne dans son mou-^ vement. Laplace a corrigé le calcul de New^ton , dans la Mécanique céleste (liv. XIV, § 1),
7. Supposons un corps retenu par un point fixe, qui ne soit sollicité par aucun couple accélérateur. Ce sera, si ton veut, un corps pesant retenu par son centre de grauité.
Nommons G le moment du couple résultant de toutes les quantités de mouvement 5
h la distance du centre fixe au plan qui touche l'ellipsoïde central, relatif à ce centre, sur l'axe instantané de rotation ^
Xi, j^i, Zi les coordonnées du point de contact par rap-port aux axes principaux d'inertie du corps ]
k le rapport constant de Jt:i,^i, z^ à p^ q^ r^,
i, /x, V les angles que forment les axes principaux d'inertie sur l'axe fixe du couple G.
Le couple G est constant en grandeur et en direction ,
(' ) Cette remarque se trouve dans une thèse présentée récemment à la Faculté de Paris, par M. Charles Simon,
d'après le principe des aires •, la distance h reste invariable pendant toute la durée du mouvement, car elle est égale au quotient de la racine carrée de la somme des forces vives par le moment G^ le plan tangent à l'ellipsoïde central sur Taxe instantané coïncide avec le plan du couple G. Ce sont là des propositions démontrées dans tous les Traités de mécanique postérieurs aux travaux de M. Poinsot.
De plus , on a les équations
kx\ -hBjî -hCz; = i,
-f-B'rî -^Oz\)
H-B'7^-hC'r'=:
cosX
COSfZ COSV
B^ Cr
doù
l'on tire
cos>
__ COSfl COSV
Bji Cz,
De ces relations on déduira sans peine plusieurs propriétés du mouvement des axes principaux d'inertie relatifs au centre fixe :
1**. La somme des carrés des distances des trois sommets de V ellipsoïde central à V axe fixe du couple résultant des quantités de moui^ement , est constante pendant toute la durée du mouvement, '
a**. La somme des moments d'inertie principaux, respectii^ement multipliés par lès carrés des distances variables des sommets de V ellipsoïde central à V axe fixe du couple résultant des quantités de moui^ementy est constante pendant toute la durée du mous^ement,
3°. Si Von nomme pa^ pb^ pe les longueurs interceptées sur les axes principaux de V ellipsoïde central par le centre fixe et par le plan tangent à V ellipsoïde sur l'axe
ao6 MÉGANIQUE RATIONNELLE.
instantané de rotation, on a les relations
4^. Siy à partir du centre fixe, on porte sur les axes principaux d^ inertie du corps trois lignes égales entre elles et d'une longueur quelconque "R, la somme des aires décrites par leurs trois projections sur le plan fixe du couple résultant des quantités de moui^ement, sera proportionnelle au temps , et elle aura pour valeur le produit de
aR'i par la vitesse de rotation j- autour de l'axe fixe du couple.
5**. Si Ton porte sur les mêmes axes principaux trois lignes proportionnelles aux racines carrées des trois moments d'inertie relatifs à ces axes, la somme des trois aires décrites par leurs projections sur le plan du couple sera aussi proportionnelle au temps.
En s'appuyant sur cette propriété de l'ellipsoïde, que le volume du parallélipipède construit sur trois déminamètres conjugués est constant, on démontrera que fellip^ solde central est perpétuellement coupé par le plan diamétral conjugué à l'axe instantané de rotation, sui-^ vant une ellipse dont l'aire est constante, bien que la forme varie.
P01NSOT9 Théorie nouvelle de la rotation des corps ^ part, in, chap. m , n°» 47*55 et 67
8. Considérant toujours le même corps, imaginons ^ autour du point fixe comme centre .^ un ellipsoïde dont les axes soient dirigés suivant les axes principaux d'i* nertie du corps, et aient pour longueurs les doubles des racines carrées des moments d'inertie relatifs à ces axes. Pendant toute la durée du mom^ement, la surface de
cet ellipsoïde intercepte la même longueur j sur l'axe
fixe du couple résultant des quantités de moui^ement mené du centre y en sorte que cet axe fixe trace sur la surface de V ellipsoïde la courbe qui résulterait de l'intersection de cette surface par une sphère concentrique
de rayon égal à -• Démontrer directement ce théorème.
Dans le langage de la géométrie nouvelle, rellipsoïde que nous considérons ici est la figure polaire réciproque de Tellipsoïde central , par rapport à une sphère concentrique dont le rayon est égal à Funité. D'après le principe de dualité en géométrie, établi par M. Chasles, dans son Aperçu historique, à une propriétéde Tellipsoïde central concernant des points, des droites et des plans, répond une propriété semblable du second ellipsoïde concernant des plans, des droites et des points. La propriété qui fait Tobjet du théorème actuel répond à celle propriété de l'ellipsoïde central, découverte par M. Poinsoi : le plan tangent à Tellipsoïde central , et perpendiculaire à Taite du couple résultant des quantités de mouvement , coupe cet axe à une même dislance du centre, pendant toute la durée du mouvement. Ce nouvel ellipsoïde a été considéré pour la première fois par Mac-Cullagh.
