MOUVEMENTS RELATIFS. CHANGEMENT DE VARIABLES
La détermination du mouvement d^un système de points matériels^ relativement à des axes mobiles suivant une loi donnée , exige un changement de variables , soit après l'intégration des équations différentielles qui régissent le mouvement absolu, soit avant cette intégration. Cette seconde marche est généralement préférable^ nous Tétudierons seule.
Pour substituer de nouvelles variables aux coordonnées rectangulaires x^ y ^ z^ dans Téquation générale de la dynamique ,
il semble au premier abord qu'il faut calculer séparé-
ment les expressions des quantités — > --^> ...,^x, cîy...,
en fonction des nouvelles variables, puis substituer les valeurs obtenues ; mais le calcul ainsi fait serait parfois fort pénible. On l'abrégera beaucoup en se servant d'un théorème de Lagrange (*) , d'après lequel toute la partie pénible de la transformation se réduit à trouver l'expression de la demi-somme des forces vives de tout le système^ en fonction des variables nouvelles. Quoique ce théorème ne soit nullement nécessaire pour la théorie des mouve-
(') Mécanitfue analj'ii^uc, seconde partit, sect; 4-
ments relatif, ni même pour la résolution d'aucun problème de mécanique , nous le rapporterons ici , à raison 'de sa commodité pratique dans un grand nombre de questions, et, comme application, nous en déduirons les équations générales du mouvement relatif en coordonnées rectangulaires.
Formule de Lagrange. — Soient a, |3 , etc. , les nouvelles variables , que nous supposons liées aux coordonnées rectangulaires x, j", z , etc., par des équations finies quelconques, pouvant contenir le temps explicitement; ces nouvelles variables peuvent d'ailleurs être en nombre différent de celui des coordonnées a? , y , z , etc. .
Posons , d'après Lagrange,
et
T = j2iii(.r'».f.y'H-»''),
en sorte que T soit la demi-somme des forces vives de tout le système.
L'équation générale de la dynamique pourra s'écrire
Le théorème de Lagrange consiste en ce que la quantité
s'exprime d'une manière simple à l'aide des dérivée» de la fonction T.
Pour le démontrer, observons d'abord que, les signes d et â pouvant être intervertis, on a
fit ' di / » •• »
d'où il résulte
VI /dx" ^ dy ^ dzW
~^m (x'Sx^ -h y 9/ 4- z'^z').
Il reste à transformer les deux sommes qui figurent au second membre.
Pour cela , on imagine que, à l'aide des équations qui lient les nouvelles variables aux anciennes et au temps, on ait exprimé a:, j^, 2,... en f, a, /S,...^ elod^y'^ -s'vj T en {, a, (3 ,..., ol\ PS*... Alors, en commençant par la première somme, on a identiquement
iv^ , fdx . dx ^^
D'ailleurs, si l'on représente par ( — | la dérivée partielle de X par rapport à Z en tant que t figure explicite-
ment dans l'expression de jr en t, a , j3 ,..., on a
-'=i(§)+^.-'+5iP' + -.-î
dx , dx
dT. ^ d^
d'où
dx' dx dx' dx
et de même
dy' dy dz' dz
daf da. ' da' da.
En ayant égard à ces dernières relations , Téquation (3) peut se mettre sous la forme
ou bien
Par suite,
j^'^mix'dx^ySy^z'Sz)
dl dT
da! dW ^ du ^ , dH ^^,
— dt ^ dt ''^' ' ••• • rf«' cfp'
Quant à la somme qui forme la dernière partie de
Téquation (2), elle est évidemment égale à (ÎT, cest-à- ' dire à
Ainsi , en réunissant les deux valeurs obtenues , il vient
^ /dx' ^ dy ^ dz\ \
^."'[-di'^^'i'^^-de'')
doi' 'd^\^ dJ ^ dT ,^
dt dt ^ d(x, d^ ^
Telle est l'expression donnée par Lagrange. Pour achever la transformation de Téquation générale (i), il faut encore calculer la quantité
en fonction des nouvelles variables.
Ce calcul s'effectuera généralement sans artifice particulier.
Toutefois , dans le cas où cette expression serait la variation exacte d'une fonction F des coordonnées x , j^, z ,..., considérées comme variables indépendantes, pour la transformer, il suffirait de substituer les nouvelles variables aux anciennes dans la fonction F, et de prendre la variation par rapport à a , |3 ,..., sans faire varier t.
En tout cas, si 1 on représente la valeur de la somme en question par
réquadon générale de la dynamique sera
Si les variables a, /3,... étaient réduites au moindre nombre possible, on égalerait séparément à zéro les coefficients des variations 5a , (î(3 ,
Il ne faut pas oublier que, dans cette équation, les dérivées par rapport à a, |3 ..., a', P'v sont des dérivées partielles , et les dérivées par rapport à t des dérivées totales prises en considérant a, j3,..., a', P',... comme des fonctions inconnues du temps.
Application aux mouvements relatifs. — ■ Supposons que les nouvelles variables a, P, y,... soient les coordonnées relatives à des axes rectangulaires , mobiles suivant une loi donnée.
Soient
yz=zy,^a'oL -^ b' ^ -h c'7 , 2 = 2o -H «"«, -h b"^ -H c"7 ,
les formules de transformation , dans lesquelles x^ , y^ , z% et les cosinus a, /;, c, a',,., sont des fonctions connues du temps.
Pour abréger Técriture, supprimons le signe ^^
comme s'il ne s'agissait que d'un seul point, et supposons la masse m égale à l'unité.
En ayant égard aux relations finies qui lient les neuf cosinus , ainsi qu'aux relations différentielles qui en déri-
ai4 MÉGANIQUE RATIONNELLE.
vent , nous obtenons successivement
2 1 = 4:'» + /' + 2" = a'' + p'» -+- 7" / rf/ï ,rf^ de dx,y
[ da' ^db' de' dxoV
^[^H^^-di^'^dF-^-Tt)
I da" ^db" de" dz.Y
/ . «, ,^ I da ^ db de dxÀ
rfT , J db ,db' ,.db"\ daf ^\dt dt dt ]
\ dt dt dt / dt dt dt
da ( da ^ db de dx\
da> ( da' „ db' de' dr,\
da" ( da" „ db" de" dz,\
dj da d'à
da'
da , ,
^Tt («« -^-^P -^- ^7')
d'y, dt''
