fl
dt
df"
' dt^
IF
dT doi ""
d'à IF
dt'
lit'
"Si»
\dt'
Cette dernière quantité , augmentée de la force qui sollicite le point dans la direction de l'axe des a , est le coefficient de doL dans l'équation générale du mouvement relatif.
Les coefficients de ^(3, à y sont de même forme, on les déduit du coefficient de (Ja par la permutation circulaire des lettres a, j3, y , et a, i, c.
On peut considérer les termes ajoutés à -j-^ dans
l'expression (4) 5 et les termes analogues relatifs aux autres coordonnées , comme représentant des forces fleuves telles que, sous l'action de ces forces et des forces réellement appliquées, le système prendrait un mouvement absolu identique au mouvement relatif qu'il s'agit de détepaiinerf EXftîfmation des équations du mouvement relatif consiste tout entière dans la recherclie de ces forces fictives. C'est ainsi que Clairaut (*) et, après lui.
(') Mém. de l'Acad. des Se. de Paris, 1742» P» >• Clairant commet une erreur dans l'exposé de la méthode; mais il l'applique correctement à plusieurs questions. Quelques-unes de ces questions ont été résolues di rectement dans cet ouvrage.
%l6 MÉCAmQUE RATIONNELLE.
Coriolis (*) ont envisagé la théorie des mouvements relatifs.
Reprenons la question sous ce nouveau point de vue, en usant de considérations géométriques : les démonstrations en seront plus simples et surtout plus lumineuses.
Exposé géométrique de la théorie des mous^emenU relatifs. — Observons d'abord que, si les axes ont un simple mouvement de translation rectiligne et imiforme, ce mouvement des axes ne modifie en rien les dérivées des vitesses relatives, lesquelles dérivées mesurent les forces accélératrices capables de produire un mouvement absolu égal au mouvement relatif considéré. Il en résulte que, dans ce cas, les équations différentielles du mouvement relatif aux axes mobiles , sont tout à fait identiques auT équations différentielles du mouvement absolu par rapport à des axes fixes, parallèles aux premiers. Seulement, quand on intégrera les équations , les constantes introduites devront être déterminées différemment pour le mouvement relatif et pour le mouvement absolu.
Actuellement supposons les axes animés d'un mouvement de l'espèce la plus générale, et considérons pendant un instant infiniment petit dt le mouvement relatif d'un point matériel M, entièrement libre, et sollicité par des forces quelconques. Ce mouvement relatif ne sera pas changé si , à la fin de l'instant dt^ nous imprimons à tout l'ensemble des axes et du point matériel un mouvement ço{nmun qui ramène les axes à la position qu'ils occuperaient, dans la supposition que leur mouvement pendant Tinstant dt ait été une translation uniforme, due à une vitesse acquise , égale et parallèle à celle que possède le point M au commencement de l'instant dt. Mais alors le mouvement du système est ramené au cas simple que nous
[y) Journal de V École Polytechnique, XXI« et XXI V« cahiers.
avons considéré d^abord, où les équations différentielles du mouvement relatif sont identiques à celles du mouvement absolu. Donc nous pouvons traiter le mouvement relatif comme un mouvement absolu , si nous ajoutons aux forces qui sollicitent réellement le point M pendant l'instant dt des forces capables de lui faire parcourir, pendant le même instant, le chemin que nous lui avons fait parcourir par le mouvement imprimé fictivement au système.
Il nous reste à calculer ces forces. Soient
OX', OY, OZ les positions des axes au commencement de l'instant ilt\
O'X', O'Y', O'Z' les positions des mêmes axes à la fin de l'instant
0,X,, 0,Y„ OiZi les positions qu'occuperaient ces axes à la fin de l'instant dl^ si , pendant cet instant, leur mouvement avait été une translation uni-» forme, due tout entière à la vitesse acquise qui anime le point M au commencement de Finstant considéré;
OiI une parallèle à l'axe instantané autour duquel jles axes ont tourné pendant l'instant dt-^
(ù leur vitesse de rotation autour de cet axe;
M la position du point mobile au commencement de l'instant dt]
M'' la position du même point à la fin de l'instant dt-^
Ml la position qu'occuperait ce même point à la|fin de cet instant, si son mouvement avait été une translation
ai8 MÉCANIQUE RÀTiOMÏfELLE.
uniforme , due tout entière à sa yîtesse acquise au commencement de Tinstant considéré.
Pour ramener les axes O' X', ... à la position Qi Xj , . . . , nous pouvons d'abord les transporter parallèlement à eux-mêmes de O' en Oi , puis les faire tourner d'un angle — iùdt autour de l'axe OiI.
n nous faut trouver la position que prend le point matériel par ces deux mouvements fictifs. Pour cela, décomposons le déplacement réel du point pendant l'instant dt en deux déplacements successifs : l'un MM', d'après lequel le point conserverait la même position relativement aux axes; l'autre M' M'', qui est le déplacement relatif. Nous pouvons considérer ce second déplacement comme ayant lieu après le premier mouvement fictif, lequel amène le point M' en coïncidence avec le point Mj. Si donc nous menons par le point Mi une droite M| M"^ égale et parallèle à M 'M", puis que nous fassions tourner cette droite de l'angle — tùdt autour d'une parallèle à Oj! menée par le point Mi, la nouvelle position M', de l'extrémité M'î sera la position cherchée.
Ainsi nous voyons que , par l'effet du double mouvement fictif, le point matériel éprouve deux déplacements. I-.e premier déplacement est égal et contraire à celui qui amènerait le point Mi à avoir, par rapport aux axes O'X',..., la même position que le point M par rapport aux axes OX , .... Il serait produit par une force égale et contraire à celle qui forcerait le point matériel à rester invariablement lié aux axes mobiles , en supposant qu'il ait , au commencement de l'instant considéré , la même vitesse qu'un point fictif coïncidant avec lui et invariablement lié aux axes.
L'autre déplacement fait décrire , en sens contraire de la rotation des axes , un petit arc M'^ M'^ perpendiculaire à OiI et à la direction MiM^^ de la vitesse relative. La longueur de ce petit arc est le produit de (ùdt par la projec-
tion du déplacement relatif MiM^^ sur iiu plan perpendiculaire à l'axe OiI. Si nous nommons v la projection de la vitesse relative sur ce plan perpendiculaire , la longueur de cet arc infiniment petit sera oivdt*, et la force accélératrice constante capable de le faire parcourir pendant Finstant dt^ en agissant dans la direction de ce petit chemin, sera 201)1).
Nous avons donc ce théorème : Pour a^oir les équa^ tions du moui^ement relatif d' un point libre, il faut ajou-ter aux tenues, existants pour le mouvement absolu , d'abord ceux qui prov^iennent de la force égale et contraire à celle qui forcerait le point considéré à rester ini^ariablement lié aux axes mobiles, et, en outre, ceux qui proviendraient d'une force perpendiculaire à la vitesse relative et à l'axe instantané de rotation des axes mobiles, dirigée dans le sens contraire au mouvement de rotation, égale à deux fois le produit de la vitesse angulaire de rotation des axes mobiles par la vitesse relative projetée sur un plan perpendiculaire à cet axe.
On aurait pu abréger cette démonstration en observant que, pour le calcul des forces additionnelles, il est permis de remplacer les axes mobiles donnés par des axes parallèles, invariablement liés à ceux-ci, dont l'origine soit en coïncidence avec le point M au commencement de l'instant considéré; car les dérivées des vitesses, qui mesurent ces forces , sont les mêmes par rapport aux derniers axes et par rapport aux premiers. Alors les points M et O, Mj et Oi, M' et O' se confondent. C'est ainsi que fait M. J. Bertrand (*), auquel nous emprun-tons ces considérations géométriques 5 mais on pénètre mieux la raison du théorème en n'usant pas d'abord de cette simplification.
(') Journal de VÉcole Polytechnique, XXXII® cahier, p. 149..
220 MÉCÀMIQUE AÀTIONBi ELLE .
La première force additionnelle, prise en sens con-' traire, est nommée par Coriolis force iT entraînement, et la seconde est nonmiée force centrifuge composée, parce que, de même que la force centrifuge , elle est perpendiculaire à la yitesse et à l'axe de rotation.
Les équations du mouvement relatif d'un système assujetti à des liaisons quelconques se déduisent des équations du mouvement relatif d'un point libre, comme s'il s'agissait du mouvement absolu.
Soient jc, jr^ z les coordonnées absolues d'un point du système, x\ y\ z' les coordonnées relatives, a , j3, y les coordonnées de l'origine des axes mobiles , et
les formules de transformations.
Nommons X«, Ye, Z« les composantes de la force accé* lératrice d'entraînement suivant les axes fixes, et Xé, Y«, Z« les composantes de la même force suivant les axes mobiles. X^, Y,, Z^ seront les dérivées secondes de x^y^ ^ , calculées en supposant invariables les coordonnées x', y', z\ Par conséquent,
d^oL ,d'a ,d*b ,d'c
et
Z*, =cX.-<-
Soient p^q^ /'les composantes de la vitesse angulaire w autour des axes mobiles, p»' la vitesse relative, i l'angle qu'elle fait avec Taxe instantané de rotation des axes mobiles, et i , /ix , v les angles que la force centrifuge composée fait avec les axes mobiles.
La force centrifuge composée étant perpendiculaire à Taxe instantané et à la vitesse relative, on a les relations
p cos \-\- q cos fi -I- /• cos v = o ,
da/ dy dz'
—r- cosX H — ;- cosii -h —r cos v = o ,
dt ^ dt ^ de '
cosU -+- cos' fit -+- cos'v = I ; d'où Ton tire
cos 1 cos a cos y
^ dy^ d^ ^"" dy dx'
'^'dt ^ dt ' ^'dt ^ dî ^~di'~^'di
/ , ( da^ dr' dz'Y
Oi>P SlUi
On a pris le radical négativement, parce que le mouvement de la demi-droite qui représente la rotation w, vers la demi-droite qui représente la vitesse relative , est nécessairement rétrograde pour un observateur coucbé sur la droite qui représente la force centrifuge composée.
D'après ces valeurs, si l'on nomme X', Y', Z' les composantes suivant les axes mobiles des forces accélératrices réellement appliquées au point considéré, et m la masse de ce point , l'équation générale du mouvement relatif du
222 MÉGANIQUE RATIONNELLE.
système sera la suivante :
On reconnaît aisément , sous une notation différente, l'équation à laquelle nous sommes arrivés par le théorème de Lagrange.
Admettons que les liaisons ne dépendent que des coordonnées relatives aux axes mobiles; alors nous pourrons appliquer le principe des forces vii^es au mouvement relatif. Les forces centrifuges composées disparaîtront, puisqu'elles sont perpendiculaires à la vitesse relative, et nous aurons la formule
( • """^ / ^^{^^^' ^^edy -^Z'edz').
1 . Un point pesant est assujetti à se moui^oir sur une courbe qui tourne autour (tun axe ^vertical ai^ec une vitesse constante et connue. Déterminer la courbe par la condition que le point se meus^e suix^ant une loi donnée.
Prenons l'axe des z dirigé suivant l'axe de rotation, en sens contraire de la pesanteur; nommons z^ a:, /les coordonnées du mobile par rapport à cet axe et à deux axes horizontaux rectangulaires, entraînés dans le mouvement de rotation; et soient co la vitesse angulaire, f{z^ slx^-^y^) l'expression donnée de la vitesse du mobile sur la courbe au point {x^y^ z).
La force d'entrainemefit , changée de sens , est égale à la force centrifuge qui naît du mouvement circulaire de la courbe 5 par suite, la formule (B) nous donne
[ /(«, v'^M^OP ■=— ^tg'z + w;(x'-h^') + const.
Cette équation représente une surface de révolution 5 et la courbe cherchée est assujettie à cette seule condition d'être située sur cette surface.
La surface est du second degré, quand la fonction y est de Tune des formes A ^ -f- C, B sjx^ 4-/', où A , B , C représentent des constantes; elle est engendrée par une courbe du second degré , quand la fonction f est de la forme A^ + B v^a:*-hj' •+• C.
Supposons que le mobile soit soustrait à T action de la pesanteur, et que la vitesse soit exprimée en fonction de Tare parcouru s , par Téquation
p'= w'j'-H CODSt.
Dans ce cas , si nous représentons par r la distance du mobile à l'axe de rotation , et par a la valeur de r à l'origine des arcs , la formule (B) nous donne la relation
Toutes les courbes qui vérifient cette relation satisfont à la question proposée. En particulier, si la courbe est plane, elle n'est autre que la chaînette
l'origine des distances z étant à la même hauteur que l'origine des arcs.
2. Étant données les forces , dùigées vers un centre fixe et fonction de la distance à ce centre, par V action
224 MÉCANIQUE HÀTIOMNELLE.
desquelles un point matériel se meut dans une orbite, quelles sont les forces à ajouter y pour que le point matériel continue à décrira la même orbite y dans le cas où celle-ci viendrait à tourner autour d'un axe perpendiculaire à son plan et mené par le centre des forces y auec une vitesse angulaire qui soit dans un rapport donné y n, ayec la vitesse angulaire du point matériel circulant dans V orbite?
Nous allons déterminer les forces qu'il faut ajouter aux forces qui sollicitent le mobile lorsqu'il décrit l'orbite révolvante, pour que le mouvement relatif à des axes entraînés dans la rotation de l'orbite puisse être déterminé à la manière d'un mouvement absolu , en regardant les axes comme fixes. Ces forces additionnelles, changées de sens, seront les forces cherchées.
Soient r la distance du mobile au centre des forces, et 6 l'angle décrit par le rayon vecteur dans le mouvement relatif aux axes mobiles. Supposons, pour nous fixer, que la rotation de l'orbite soit de même sens que le mouvement du point sur la courbe. Les formules obtenues dans cette hypothèse conviendront au cas contraire quand on y supposera n négatif.
La force d'entraînement, changée de sens, se compose d'une force dirigée suivant le prolongement du rayon vecteur, égale à la force centrifuge dans le mouvement circulaii*e des axes supposé uniforme 5 et d'une force perpendiculaire au rayon vecteur, dirigée en sens contraire du mouvement , égale et contraire à celle qui produirait l'accélération du mouvement circulaire. Les valeurs de ces deux composantes sont respectivement
m} -j-t rn—TT' La force centrifuge composée est dirigée suivant la nor-
DYNAMIQUE. aa5
maie extérieure à l'orbite. Son intensité est
dr'^r'dO'
dO
Elle fait avec le prolongement du rayon vecteur un an-
dr gle dont la tangente est -"rr* Par suite , sa composante
suivant le prolongement du rayon vecteur est
^""dF'
et sa composante suivant la perpendiculaire au rayon vecteur dirigée en sens contraire du mouvement est
d^dr
in-- --.
dt dt
Or les deu'i composantes perpendiculaires au rayon vecteur se détruisent; car, d'après le principe des aires, on a
r^ -— = const. = C , dt '
et, en difiérenliant,
drdB d'B
^dtdi"^''dr^ = '''
De plus , la même équation des aires donne
dt^'^r*'
Substituant celte valeur dans l'expression de la somme des composantes dirigées suivant le rayon vecteur, et changeant les signes, on obtient finalement pour la force chercbée une force dirigée vers le centre d'action , égale à
IL i5
aSfeâ MÉCANIQUE RATIONITELLE.
Ainsi, pour que te point matériel continue à décrire r orbite ré^oli^ante^ il faut ajouter aux forces déjà existantes une attraction im^ersement proportionnelle au cube de la distance. Cette attraction se changerait en répulsion, sin était compris entre o et — 2. Elle serait nulle, si n était égale à — 2 ^ c'est qu alors la courbe décrite dans l'espace ne serait pas altérée par la rotation de l'orbite , le sens du mouvement sur la courbe serait seul changé.
Pour avoir l'équation de la courbe décrite dans l'espace quand l'orbite tourne, il suffit de remplacer dans l'équation de l'orbite, 6 par 6.
Si l'on suppose que l'orbite soit une ellipse, on retrouve les formules données au tome I, pagfe 299, en observant que, dans ce passage, la lettre Cse rapporte au mouvement absolu.
Newton , Principia , lib. I , prop. 44-
3, Déterminer le mouvement apparent d'un projectile lancé dans le ^vide à la surface de la terre, en tenant compte du mouvement de la terre.
Nous pouvons considérer le centre de gravité de la terre comme fixe, pourvu que nous appliquions au projectile une force accélératrice, égale à la différence entre la force accélératrice qui maintient la terre dans son orbite et la force accélératrice avec laquelle le soleil sollicite le mobile considéré. Cette différence étant extrêmement petite, nous n'aurons à nous occuper que de la rotation de la terre autour de la ligne des pôles, supposée jtout à fait immobile.
Admettons, pour nous fixer, que le point de départ soit situé dans Thémisphère boréal.
DYNAMIQUE. Il*]
Nommons
1 la latitude du point de départ ;
h la distance de ce point à Taxe de rotation de la terre 5
h la distance du même point à Féquateur;
w la vitesse de rotation de la terre.
L'axe fixe des z coïncidera avec l'axe de rotation de la terre et sera dirigé vers le pôle boréal 5 les axes fixes des j:etdesj^ seront situés dans le plan de l'équateur, le premier se trouvera à Torigine du mouvement dans le plan méridien du point de départ, le second sera dirigé vers l'est.
L'origine des axes mobiles des x', desj^' et des z' sera situé au point de départ ; le premier axe sera l'horizon* taie dirigée vers le nord^ le second sera l'horizontale dirigée vers l'est ; le troisième sera dirigé dans le sens de la pesanteur, et, par suite, fera sur le plan de l'équateur un angle égal à la latitude 1,
Soient encore Xi , j^, , Zi les coordonnées relatives à des axes auxiliaires , invariablement liés à la terre , qui coïncident avec les axes fixes à l'origine du mouvement.
On a d'abord
X =z Xx cos.b>/ — Xx sin.wf, y -= Xx sih . « f -f- j^, cos . 6)/ ,
ZzziZx^
puis
t 0?, = A — x' siiiX — z' cos> , -r
z, = ^ -+- j?' cosX — z^ sin \ ;
et , par conséquent ,
x:= Acos»&)f — ar'sinXcos.wf — y sin.w^ — z^cosX cos.»/, 7 == A sin . w/ — x' sinX sin ,tùt -\- y' cos . w/ — z' cos> sin . w^, 2 = ^ + 0?' cos> — z' sinX.
aaS MÉCANIQUE RATIONNELLE.
A 1 *aîdc de ces formules et des valeurs
on formera facilement les expressions des composantes de la force d'entraînement suivant les axes mobiles, ou
Les vitesses de rotation autour des axes mobiles, considérées comme positives quand la rotation s'effectue de droite à gauche , sont
/7 = «co»X, q z=z o ^ r = — b>sin>.
Substituant ces valeurs dans l'équation générale (A), égalant à zéro les coefficients des variations, et supprimant les accents , il vient
id^x dr
