I -rr + 2w cos>--z--f- w*cos>(/i — sinX.a: — cosX.z) — Z=:o
\ dO dt
Avant d'intégrer ces équations , faisons quelques simplifications qui nuiront peu à l'exactitude du résultat. Dans toutes les applications balistiques , les coordonnées x^ y^ z sont de très-petites fractions du rayon terrestre*, en outre, la vitesse de rotation de la terre est une très-petite quanti té, savoir Qc-cl o^ ~ô — ô' quand on prend la
seconde de temps solaire moyen pour unité de temps. Il en résulte que nous pourrons, sans erreur notable, négliger les termes qui renferment en facteur le produit de w* par l'une des coordonnées JC,/, Z> Dans le même degré d'approximation, nous pourrons supposer l'attraction ter-
DYKAMIQtJE. 229
restre constante, en grandeur et en direction, pendant toute la durée du mouvement 5 car on démontre en mécanique céleste que la partie variable dé celte attraction se compose de' termes contenant en facteurs les produits w'a:, c«)*j^, a)*z ou des puissances de <«)* supérieures à la première. Ainsi, la force appliquée sera l'attraction terrestre au point de départ, ou bien la résultante de la pesanteur et d'une force égale et contraire à la force centrifuge au même point. Il s'ensuit
X = w*AsinÀ, Y = o, Z = g^ -4-iwVicosX.
D'après cela , les équations du mouvement deviennent les suivantes (*) :
(J^x . ^ dr
/ X / (^y . .dx dz
(2) { — — — awsinA-r 2w ces A --- = o ,
^ ' ^ d€^ dt dt '
rf» z ^ dy
Il serait facile de les intégrer rigoureusement, puisqu'elles sont linéaires à coefficients constants^ mais il faut négliger les produits a>*jr, w'j", w*z, comme par le passé.
Appelant a, t , c les composantes de la vitesse initiale , on obtient, par une première intégration^
dx
(3) -7 « 4- 2w sinX./ = 0,
(4) -^ ^ — 2wsin>.x — 2«cosX.z = o,
(5) y — C -i- 2W COSX.J — gt = O.
(i) Ces équations ont été données par Poisson {Journal de l'École Voljrtechnique , XXVl® cahier, page 21). Il y ajoute un terme qui représente la résistance de Tair.
23o MÉCÀMIQUB &ÀTIOIIlfBLLB.
Si Ton porte dans la seconde équation (2) les valears de — et de -j- données parles équations (3) et (5) , il vient, au degré d'approximation voulu,
-j~ — 2»(a8inX -f- ccosX) — sùcosX.^/ = o;
d'où
y zr^ht -^ w(<i sin> -h cç.o%X)0 -h ^w cos>.^/'.
Quant aux équations (3) et (5) , on doit y poser y = if, puisque j" n'y figure que multiplié par 00 ; alors elles ont pour intégrales
X z=. at — b> sinX . 6/^ ,
z = cr -H ( - g' — w ces )l . i )/'.
Examinons quelques cas particuliers.
1°. Si le corps tombe sans vitesse initiale y on a
a?=ro, ^ =xû>cosX.g^r», z = -gi\
Les deux premières valeurs montrent que la déviation a lieu vers l'est , et la dernière, que la durée de la chute verticale n'est pas altérée par la rotation de la terre, La trajectoire est une parabole cubique, représentée par r équation
j' == 3i/-wcos>.z'.
2*^. Si le corps est lancé verticalement de bas en haut ai^ec la vitesse i^^, on a
x = o, X = — «PoCosX./'4- xwcosX.g'^,
La dernière valeur montre que le moui^ement vertical est encore celui qui aurait lieu si la terre ne tournait pas.
Ainsi, le mobile s'élève à la hauteur Zx = -^9 pendant le
temps ^ S puis redestend dans le même temps à la hauteur du point de départ^ en sorte que la durée du mouvement est ^ ^ '» Il en résulte, d'après l'expression de j^, que la dévfiatiori finale au bout de la chute est
=-lv1-
ri = — ji/-wcos>.z,*-
Cette déi^iation a lieu vers Vouest; elle est égale nu-mériquement à quatre fois la déviation qui est due à la hauteur z^ quand le corps tombe sans vitesse initiale, 3^. Enfin, stl'on suppose que le corps soit lancé perpendiculairement au méridien avec la vitesse v^, dans une direction inclinée de V angle a sur l'horizontale qui s'avance vers l*est, on a
a=zOj b=:v^cosa, c = — p^sioa.
Dans ce cas, z redevient nul , et le corps retombe sur le sol après un temps dont l'expression est , au degré d'approximation voulu ,
2 Pg sin a / 7 w ^ \
I I H cos A . V9 cos a I •
Les coordonnées du point de chute sont, toujours au même degré d'approximation ,
^, = — Awsin). • — cosasm'a, g^
Vi = ~sin2a -t-^wcosX~sina(3cos'a — sin'a). S 3 fi^^ '
23a MÉCANIQUE RATlOITffELLE.
Les termes qui dépendent de a), dans ces valeurs, mesurent la déviation due à la rotation de la terre. La valeur de Xi montre que le corps dévale vers le sud ou vers le nord, suivant que V angle a est aigu ou obtus. La valeur de y^ montre que la portée est augmentée ou diminuée, suivant que la différence 3 cos* a — sin* a est positive ou négative, c'est-â-dire, suii^ant que V inclinaison de la vitesse initiale sur Vhorizon est inférieure ou supérieure à 60 degrés.
Si le point de départ était situé dans l'hémisphère austral, les formules resteraient les mêmes, mais X serait négatif.
4. Déterminer les petits mouvements apparents du pendule simple à la surface de la terre, en tenant compte du mouvement de la terre ( pendule de M. Foucault).
Comme au problème précédent, nous n'avons à nous occuper que de la rotation de la terre autour de la ligne des pôles, supposée fixe.
Soient /la longueur du pendule, R la tension du fil. Plaçons l'origine des axes mobiles au .point de suspension, et conservons d'ailleurs la notation du problème précédent.
Les équations du mouvement seront encore les équations (i) (page 228), dans lesquelles X, Y, Z représenteront les composantes de l'attraction terrestre et de la tension du fil. A ces équations il faudra joindre la relation
De même que dans le problème précédent, nous négligerons les termes en w^x, w'j^, tù* z -, alors les forces X, Y, Z se réduiront aux valeurs suivantes :
X = w'/*sinX— Rj, Y= — R~, Z = ^-K w'A cosX — R*',
et les équations du mouvement seront d'^x - ^ dy ^ X
/ \ j ^^y , ^ dx ^ dz ^Y
^'^ {'dF" 2«smX — — 2WCOSX — -4-Rj = o,
d^z ^ dr ^ z
+ 2„cosX-+R--^ = o.
Nous allons intégrer ces équations, en supposant Tarnplitude des oscillations très-petite. Nous pourrons négliger les secondes puissances des coordonnées x, y et de leurs dérivées vis-à-vîs de /; alors z se réduira à la longueur même du pendule, /, et nous n'aurons plus à étudier que le mouvement de la projection du point pesant sur le plan horizontal XOY.
Dans cette hypothèse, la troisième équation devient
^ ^y ^ 2 CCS X-p-t-R — g = o.
dt
Tirons d'ici la valeur de la tension pour la reporter dans
dz^ dt
les deux premières équations (i), où le terme en — a dis-
paru, et posons, pour abréger,
— w sin > = r ,
en sorte que r soit la composante de la rotation de la terre suivant la direction de la pesanteur au point de suspension. Il vient
(d'^x dy X
ï d'y dx y
Telles sont les équations qui déterminent le mouvement du pendule en projection horizontale.
a34 MÉCANIQUE HÀTIOjrifELLE.
Nous rapporteroii5 le mouveinent du point à des axes 0| , On qui ont leur origine au point de départ, et qui tournent autour de la verticale Oz en sens contraire de la terre avec la même vitesse, c'est-à-dire avec la vitesse — r. L*aiKe On sera dirigé vers Test quand l'axe OÇ sera dirigé vers le nord, et l'inclinaison initiale de l'axeO^ sur l'axe OX , comptée positive de l'est à l'ouest à partir de OX, sera représentée par e.
Les formules de transformation seront
X = Çcos(rr-+- f)-f- îj sm(r/ -4- g), y=: — Ç sin (r^ -H s) -f- *J cos (rt -h e).
Substituant ces valeurs dans les équations (2), et négligeant r'5, r'y], il vient
Ces équations se réduisent à celles-ci :
On s'en assure en ajoutant les carrés.
Elles ont pour intégrales générales
Ç = A cos /^ 4 /? A -4- B sin i i/C t \ 1
>j = A' cos {k h- 1\ H^B' %miyj\ A ♦
A, B, A', B' désignant des constantes arbitraires.
Si l'on suppose le pendule abandonné sans vitesse initiale, après qu'on Ta écarté de la verticale dans la direction
DYifÀMiQUE. a35
de Taxe O^, et que l'on nomme a la valeur initiale de \ , on a, pour l'époque i = o,
ïî = o,
drt dt
par suite, les intégrales deviennent
Z^ courbe décrite sur le plan horizontal entraîné ai^ec lès axes mobiles est une ellipse, représentée par Véquation
Cette ellipse est extrêmement allongée, puisque le rapport des axes, — r i/ - ou bien 6) sin A i/ - > est de même ordre de grandeur gue la vitesse de rotation de la terre. Le point pesant emploie le temps 2 7i i/- pour décrire
V ellipse entière^ il la parcourt dans le sens de la rotation de la terre estimée autour de la verticale, et son anomalie excentrique croît d!un moui^ement uniforme. Pendant ce temps V ellipse se déplace elle-même, en tour^ nant en sens contraire, ai^ec une vitesse égale et opposée à la vitesse angulaire de la terre estimée autour de la verticale.
J. BÎNET, Comptes rendus dcVAcad. des Se. de Paris, t. XXXII, i85i, i*'sem., p. 197.
5. Un solide homogène de rés^olution tourne autour de son axe défigure^ son centre de gras^ité est fixe à la
236 MÉCANIQUE KÀTIOMIELLE.
surf ce de la terre; son axe défigure est astreint à ne pas sortir d*un plan déterminé qui est aussi fixe sur la terre, mais il a la liberté de tourner dans ce plan directeur. Déterminer les moui^ements que Taxe du corps exécute , lorsque le centre de granité et le plan directeur sont ent* portés dans le mouvement de la terre.
Ce système est réalisé par le gyroscope de M. Foucault dans l'une des dispositions de l'appareil.
Nous avons uniquement en vue de déterminer le mouvement apparent du corps autour de son centre de gravité, lequel est fixé à la surface de la terre. Or on sait que ce mouvement n'est point altéré par une translation quelconque du centre de gravité. Nous pourrons donc faire complètement aBstraction de la translation du centre de gravité, considérer ce point comme sîtué au centre delà terre, et regarder le centre de la terre comme fixe.
Pour déterminer le mouvement apparent du corps autour d'axes menés par son centre de gravité et entraînés dans la rotation de la terre, nous pourrons appliquer les équations générales du mouvement absolu d'un corps solide retenu par un point fixe (page i6i), en considérant le corps comme sollicité par les forces d'entraînement, changées de sens, par les forces centrifuges composées, et ayant égard à la liaison qui assujettit l'axe de figure à rester dans le plan directeur.
Or les forces d'entraînement se réduisent au couple qui serait capable de maintenir le corps, supposé libre, dans une rotation égale à celle de la terre. Nous sommes donc conduits à cette question incidente :
Déterminer le couple accélérateur nécessaire pour maintenir un solide de résolution dans une rotation uniforme autour d'un axe fixe, qui passe au centre de- granité, et fait un angle constant 6 ayec Vaxe de révolution.
Reprenons les équations générales de la rotation des corps (page i6i), dans lesquelles nous ferons B = A, et nous supposerons constantes les quantités 6, o), ret, par suite, p^ ■+- 9*. Ces équations deviennent
A^-h(A-C)r/.z=M, at
ozzrN; sin 6 sm (p -^ = /? ,
Ajoutant les carrés des deux premières équations (a), il vient
sin' 6-7^ = /?' -I- 9^ =r const. ;
et cette relation , combinée avec la troisième équation (a),
donne
— ? = r — cet 0 . yjp^ H- ^' = const. dt
Par conséquent, 7^ et ^ sont des constantes.
Différentio'ns maintenant les deux premières équations (a). Nous obtenons
^ = q^=zqr--COi^,qslp^VT\ ^z=,^p^=z —pr -H cote./? \Ip^TT\
^38 MÉCANIQUE KATIONNELLE.
Reportant ces valeurs dans les équations (i), il vient
L M y JU+W K
- = — - = C r — A cet 0 . V/>» -h g* = •
K représente ici le moment du couple accélérateur capable d'entretenir un mouvement semblable à celui d'un cône droit, décrit autour de Taxe de révolution du solide considéré, qui roulerait sans glisser sur la surface d'un autre cène droit, de même sommet, et dont l'axe ferait, avec celui du premier cône, un angle égal à 6 (*).
Supposons que le cône fixe se réduise à une droite, ce qui est le cas de notre problème. Alors il vient, par la composition des rotations,
r=r(i.>co$9, sIp^-^ 9* = «sinG, et , par conséquent , le couple des forces d'entraînement a pour moment la quantité
K = (C — - A) »» sin 9 ces 0.
Cette valeur est du même ordre de grandeur que a)^ Or w, qui représente ici la vitesse de rotation de la terre, est une très-petite fraction. Nous négligerons son carré. A ce degré d'approximation, les forces d'entraînement disparaissent , et , par suite, la somme des forces vives est constante dans le mouvement apparent.
Ceci posé, nommons toujours w la vitesse de rotation de la terre autour de l'axe qui se dirige vers le pôle boréal, et considérons comme positives les rotations qui s'effectuent de droite à gauche.
Soient OX , OY, OZ les axes entraînés dans la rotation de la terre. L'axe des x sera la projection sur le plan
(') M. Poinsot est arrivé au même résultat d'une manière différente, dans la Théorie des cônes circulaires roulants {Journal de M. Lionville, t. XVIII, p. 4iî i853).
directeur d'une parallèle à la partie de Taxe terrestre qui se dirige vers le pôle boréal ; l'axe des y sera situé dans le plan directeur et dirigé vers Test; l'axe des z sera la perpendiculaire au plan directeur, pour laquelle la rotation de OX vers OY est positive : cette perpendiculaire est celle qui, lorsque le système est à la surface de la terre, se trouve par rapport au plan directeur du côté du centre de la terre. Soient encore OXi , OYt , OZi des axes coordonnés liés invariablement au corps , dirigés suivant les axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité 5 OZi sera dirigé suivant l'axe de révolution 5 OYi , OX, seront disposés de manière que la rotation de OXt vers OY, soit directe pour un observateur couché sur l'axe OZ,.
Nommons
(a, i, c) , (a', b\ c') et [a"^ b"^ c") les cosinus des angles que forment respectivement les axes OX, OY et 0ZavecOX,,OYi,OZ,;
/?, q^r les composantes de la vitesse de rotation apparente autour des axes OXj , OYj , OZi 5
Pi^ Çi^ ^i les composantes de la vitesse de rotation de la terre autour des mêmes axes -,
ON celle des deux directions opposées de la trace du plan Xj OYi sur le plan XOY, pour laquelle la rotation qui amène OZ sur OZ, , en lui faisant décrire un angle de 90 degrés, est positive 5
ç et ^{/ les angles que la trace ON fait avec les axes OX, et OX, ces angles étant comptés positifs de droite à gauche, le premier à partir de la trace, le second à partir deOX;
C le moment d'inertie du corps autour de son axe de figure^
A le moment d'inertie du corps autour des deux axes OX,,OY,;
24o MÉCAiriQUE RATIO^i SELLE.
/ Tangle que la direction du pôle boréal fait avec i axe OZ.
L'équation des forces vives sera
A (/?» -h ^») -h Cr» = const.
Si nous nommons N la somme des moments des forces centrifuges composées autour de l'axe de révolution, nous aurons, d'après les formules d'Euler (page i6i),
dt
Ces deux équations suffiront pour déterminer le mouvement, quand p, ^ et N seront exprimés en fonction de r et de (|i 5 car, d'après les relations (2) , où Ton doit
faire 0 = -5 on a ff=frdt\ et d'ailleurs il est évident
que les deux variables (p et ^ suffisent pour fixer la position du corps.
Les relations (2) donnent, en faisant d = -9
TT
en sorte que l'équation des forces vives devient
(3) A^ -f-Cr' = const.
or
Il reste à calculer la somme de moments désignée parN. Ne considérant d'abord qu'une seule molécule (a:, , jj, Zi), on trouve, pour expression du moment de la force centrifuge composée qui la sollicite,
/ dz^ dxA ( dfx dz,\
DYNAMIQUE. â4l
OU, si l'on remplace -^9 -—-% — ' parleurs valeurs,
— 2>-, [r, (rx, — /> z, ) — 7, (/?7-, — 7 j:, )].
Pour obtenir la somme N, il faut multiplier l'expression précédente par Télém^it de masse, et Intégrer entre les limites du corps. Cette intégrale se réduit au binôme
^(P7t-'qPi) = C -^(^.sin^p— /?,cos<p).
Or, si Ton nomme p% (f ^ t^ les composantes de la vitesse de rotation de la terre suivant les axes OX , OY, OZ , on a
/?'= 00 sin X 9 7'= o, /= &> cos> ,
/?, = ap'-^ a!q-\- a'*r^ = w (sin> cos<p cos>(; -h cosX siny), q^z^bp^-h b^q*'^' b'^r^ = w ( — %m\ siof cosAp H- cos> cosy) ;
par conséquent^
dr d^
N ou C -r= — C » sin> cosnl^ -~? dt ' dt
(4) /• -H w sinX sîn>|/ = const.
Telle est l'équation qui déterminera le mouvement , conjointement avec celle des forces vives.
Remplaçons l'angle ^ par l'angle m = ip ? que Faxe
de révolution OZj fait avec la projection de l'axe terrestre sur le plan directeur , et nommons p^ v , ^ les valeurs
initiales de r, u, —• Les équations (3) et (4) pourront
s'écrire,
r — p 4- wsinX (coS'i* — cosu) = o.
24^ MÉCANIQUE AÀTIONNELLE.
La dernière montre que la vitesse de rotation apparente du corps autour de son axe de figure , et la composante suivant le même axe de la vitesse de rotation de la terre , font une somme qui reste constante pendant toute la durée du mouvement.
On tire de ces équations , en éliminant r et négligeant le terme en w*, lequel est indépendant de p ,
du* C
6'= 2-06) sinX (cosu — cosu).
Cette équation est celle d'un pendule simple, de longueur
égale à Puni té , dont l'extrémité serait fixée au centre de
gravité du corps , et qui serait sollicité par une force ^ale
à -pwsinX, dirigée dans le plan directeur suivant la
projection de la droite qui va au pôle boréal. L'angle u représente T angle que la direction du pendule fait avec celle de la force ^ et la force elle-même est positive ou négative suivant que p est positif ou négatif. Le demi-axe de résolution du corps^ OZi , oscillera donc dé la même manière que ce pendule.
Plaçons le plan directeur dans une position horizontale; la position moyenne autour de laquelle oscillera l'axe de révolution sera la méridienne du lieu. Cette position et la direction connue de la verticale nous détermineront le plan méridien. Plaçons alors le plan directeur dans le méridien, La position moyenne de taxe de révolution , dans ses oscillations successives , coïncidera avec la ligne des pôles; le demi-axe sur lequel un observateur doit être placé pour voir la rotation s'effectuer de droite à gauche dans le plan équatorial X^ O Yj, sera dirigé vers le pôle boréal. En effet, la position moyenne du pendule répond à un état d'équilibre stable j par conséquent, la somme des forces vives est un maïi-
mum dans cette position. Or on voit que le maximum des forces vives répond à « = 0 oum = 7t, suivant que p est positif ou négatif.
Conservons le plan directeur en coïncidence avec le plan méridien, et faisons en sorte que les oscillations de Taxe soient très-petites. La durée de ces oscillations sera
• = Vc
cette durée nous fera connaître la vitesse de rotation delà terre, car on tire de la formule précédente,
"^ ~ G pT»'
Tous ces résultats Intéressants se vérifient à Taide du gyroscope de M. Foucault.
On peut encore faire plusieurs autres remarques qui ne sont point sans intérêt. Ainsi , F axe du corps se dirige suivant la ligne des pôles ^ toutes les fois que le plan directeur est parallèle à cette ligne.
Si Von compare les carrés des nombres de petites oS" dilations accomplies pendant un même tempSy dans le plan horizontal et dans le plan méridien^ pour une même ^vitesse initiale de rotation , leur rapport donne le cosinus de la latitude du lieu de V observation.
Lorsque le plan est parallèle à Véquateur terrestre, Vaxe du corps tourne d^ un moui^ement uni/orme dans le plan directeur, comme si la terre ne tournait pas.
Cette question et plusieurs autres du même genre sont discutées en détail dans un Mémoire de M. Quet, inséré au tome XVin du /ottr/îa/ de M. Liouville, page ai35 i853.
6. Déterminer le mouv^ement du régulateur à force centrifuge de Tf^att (*), en admettant que la masse ^ ■■ i ■ ■ ■ '" '
(') Vou p. gj.
l44 MÉCAMQtE RATIONNELLE.
des tiges soit négligeable vis^-à-vis de celle des boules. Si Ton nomme / la longueur de chaque tige, <d la vitesse angulaire du plan verlical des tiges, a Tinclinaison des liges sur la verticale , et «o la valeur initiale de a , ou trouve l'équation
dtz=z
V^(cosa — cosa.) [t. g — /w"^ (cosjc H- cosao)]
7. Un système pesant, suspendu à r extrémité d*un fil qui lui permet de tourner librement autour de la verticale^ se troui^e à la surface de la terre dans un état de repos apparent^ des ressorts intérieurs viennent à agir sur ce système, et changent le moment d* inertie autour de la verticale du point de suspension , sans altérer la masse. Montrer que par l'effet de ce changement le système prendra une rotation apparente autour de la verticale , et déterminer la vitesse de cette rotation.
Si l'on nomme X la latitude du lieu, A le moment d'inertie autour de la verticale dans l'état primitif, A' la nouvelle valeur de ce moment d'inertie, (o la vitesse de rotation de la terre et («)' la vitesse de rotation apparente du système dans le sens de la rotation de la terre autour de la verticale , on trouve
