FORCES INSTANTANÉES

On nomme forces instantanées ou percussions , des forces qui peuvent produire un eiïel considérable en agissant pendant un temps inappréciable.

Lorsqu'on cherche à déterminer le mouvement d'un système de points soumis à des forces instantanées, on peut, pendant l'instant de leur action, négliger l'action des forces continues qui sollicitent le système , parce que l'effet de ces dernières forces est incomparablement moindre que celui des premières pendant ce court instant. On peut encore supposer que le système reste immobile pendant l'action des forces instantanées; car, en réalité, il ne se déplace que de quantités inappréciables. En un mot, on peut traiter la durée de l'action comme un infininient petit dans tous les calculs relatifs aux forces instantanées, et les calculs seront d'autant plus exacts que la durée de l'action sera plus petite.

D'après cela, soient

m la masse d'un point du système;

X , Y, Z les composantes parallèles aux axes des forces instantanées qui lui sont appliquées, considérées comme des forces continues ;

(-7- I sa vitesse avant l'action de ces forces: dtjo

— sa vitesse après l'action de ces forces •,

^0 l'époque à laquelle l'action commence; B la duri'e très-courte de l'action;

^46 MÉCAMIQIJE RATlONIfELLE.

dx^ âjr^ âz les projections d'un déplacement virtuel compatible avec les liaisons .

Si l'on applique le principe de d'Alembert et celui des vitesses virtuelles au mouvement communiqué par les forces instantanées, on arrive, par une simple intégration , k Téquation générale

Zdz Us

dans laquelle le signe ^ indique une somme relative à

tous les points du système.

Cette équation est semblable à celle qui représente le mouvement d'un système de points matériels sollicités par des forces continues, si ce n'est que les forces effectives sont remplacées par les quantités de mouvement communiquées. Les vitesses communiquées se comportent donc, dans l'effet des forces instantanées , comme les accélérations dans l'effet des forces continues. En particulier, lorsqu'une force instantanée agit sur un corps solide , la quantité de mouvement produite est celle qui serait communiquée si toute la masse du corps était réunie au centre de gravité et que la force fut appliquée sur ce point.

C'est à cause de cette analogie que l'on prend pour mesure d'une force instantanée la quantité de mouvement qu'elle produirait en agissant sur un corps libre.

Quand on étudie le mouvement de deux corps solides qui viennent à se choquer, on peut déterminer, pour chaque

corps , le mouvement communiqué au centre de gravité, et les vitesses de rotation produites autour des axes principaux d'inertie relatifs à ce point. L'équation générale qui résulte du principe de d'Alembert combiné avec celui des vitesses virtuelles suffit pour cette détermination, quand la force du choc est connue 5 car, jointe aux équations de liaisons, elle donne six équations distinctes pour chaque corps, et le mouvement d'un corps solide dépend en effet de six variables : trois vitesses de translation et trois vitesses de rotation. Si Ton veut déterminer la force du choc en fonction des vitesses qui animent les corps immédiatement avant leur rencontre, il faut se procurer une nouvelle équation, en exprimant qu'à la fin de la première période du choc, c'est-à-dire à l'instant ou les corps cessent de se comprimer et commencent à reprendre leur forme première, la vitesse du point de contact, estimée suivant la normale commune aux deux surfaces , est la même, soit qu'on regarde ce point comme appartenant à l'un des corps ^ soit qu'on le considère comme appartenant à l'autre.

1*. Déterminer la vitesse d'un projectile à Vaide du pendule balistique.

Le pendule balistique se compose d'une forte pièce de bois, suspendue par. des. tiges de fer à un axe horizontal autour duquel elle peut osciller librement. Le pendule étant en équilibre, on dirige horizontalement une balle sur la pièce de bois 5 la balle entre dans la pièce, s'y fixe et communique au pendule des oscillations dont l'amplitude est propre à faire connaître la vitesse de la balle à l'iustant du choc.

Considérons le pendule joint à la balle qui s'y est fixée.

Soient

M la. masse du système formé par les deux corps ^

^48 MÉCANIQUE mATIONMELLE.

k le rayon de gy ration autour de l'axe de suspeàsion ;

&> la vitesse angulaire à la fin du choc *,

b la hauteur dont le centre de gravité s'ëlève pendant la première demi-oscillation ;

m la masse de la balle ^

f/ la vitesse qui Panimait immédiatement avant le choc ;

a la distance de Taxe à la direction de cette vitesse.

La quantité de mouvement que possède la balle immédiatement avant le choc a, par rapport à Taxe de suspension, un moment égal à may. La quantité de mouvement qui anime le système immédiatement après le choc a , par rapport au même axe, un moment égal à MA'w. Ces deux moments doivent être égaux ^ donc

Il en résulte que la force vive du système à la fin du choc est exprimée en fonction de i^ par la relation

Cette force vive s'épuise tout entière pendant la première demi-oscillation ] par suite , elle est égale en valeur numérique au double du travail de la pesanteur pendant le même temps , c'est-à-dire que l'on a

Mit»

= 2Mgb;

d'où

* ^ ma

Cette dernière formule résout la question proposée ;

DYNAMIQUE. ^^g

mais il sera préférable d'exprimer la vitesse de la balle en fonclion de quantités faciles à observer.

Soient T la durée commune des petites oscillations que le pendule exécute quand la balle s'y est fixée *,

9 Tamplitude d'une demi-oscillation supposée trèspetite 5

c la corde de l'arc parcouru par le centre de gravité dans une demi-oscillation ;

P le poids de la balle et du pendule réunis *,

h la distance du centre de gravité de ces deux corps à Taxe de suspension y

p le poids de la balle.

On aura