TT^ I

T = "7=> C =: 2/isin-Ô = vaA^,

P = Mg, p = mg; et, par conséquent (A),

n ap

Pour que Taxe n'épouve aucune percussion , on dirigera la balle sur le centre d'oscillation. Si, de plus, la balle vient se fixer dans le plan passant par Taxe et par le centre de gravité, la durée des oscillations ne sera pas altérée par l'addition du nouveau corps, seulement le centre de gravité sera légèrement abaissé.

On peut encore déterminer la vitesse initiale d'un projectile, en suspendant l'arme à feu en forme de pendule dans une position horizontale, et observant les oscillations produites par la réaction de la décharge. Cette méthode est souvent préférée, ou combinée avec la première. Les formules restent les mêmes, si ce n'est que les quantités M, Âr, A, P se rapportent alors au pendule diminué de la charge.

sSo MtCAHIQCE &ATIOH1IELLE.

Le pendule balistique a été inventé en 1 74^ » P^i" Robins [Ne\v principles of Gunnery). Les expériences les plus célèbres pour déterminer avec cet appareil la vitesse des projectiles de guerre, furent exécutées de 1783 à 1791, à Woolwicb, sous la direction de Hutton. D'après ces expériences , la vitesse initiale d'un boulet de a4 livres est ordinairement comprise entre 5oo et 700 mètres par seconde; celle d'une balle lancée par un fusil d'infanterie est de 4oo ou 5oo mètres, et celle d'une bombe est d'environ 3oo mètres.

2. Un corps de musse M tourne autour d'un axe fixe avec la "vitesse angulaire tù; un autre corps y de niasse m, d'élasticité e, et animé de la ^vitesse %^, vient à le heurter perpendiculairement sur une Jace plane gui passe par Paxe de rotation. Il s^agit de déterminer la force du choc y le changement produit dans les vitesses y et de tix>uver le point ou doit frapper le corps m pour quil lui soit communiqué la plus grande vitesse possible.

Soient

Al le rayon de gyration du corps M autour de l'axe de rotation ;

a la distance du point de choc à cet axe \

B la force du choc ;

iù' la vitesse angulaire du corps M inunédiatement après le choc;

i^' la vitesse du centre de gravité du corps m au même instant.

Les vitesses seront toutes comptées positives dans le sens du mouvement qui anime au commencement du choc le point du corps M qui reçoit la percussion.

La quantité de mouvement communiquée et la force du choc doivent se faire équilibre sur chacun des deux corps 5 en tenant compte de la liaison qui oblige le corps

DY»ÀMIQl}£. 25 1

M à rester uni avec Taxe fixe. De là résultent les deux

équations

/»{p' — Pj== B,

Nous obtenons une troisième équation , en exprimant que les points en contact ont la même vitesse à l'instant où les corps cessent de se comprimer. Si les corps avaient une élasticité nulle, cette équation serait

par suite, nous aurions

B = /wM/'

-♦-Mit»

Mais, puisque les corps ont une élasticité e, le choc comprend une seconde période , pendant laquelle la quantité de mouvement communiquée à chaque corps est égale au produit du nombre e par la quantité de mouvement communiquée suivant la même direction dans la première période. Donc la percussion totale est plus grande qu'au cas d'une élasticité nulle dans le rapport de i + e à I , et nous avons ,

Ces équations font connaître immédiatement la force du choc et les vitesses communiquées, exprimées en fonctions de quantités connues qui ne dépendent que des circonstances initiales.

La dérivée de f^' — v relative à a s'annule pour

:i52 MÉCÀJNIQUE RATIONNELLE.

La valeur de a qui rëpoud au signe supérieur du radical rend négative la dérivée seconde. Elle est donc la distance à Taxe du point où doit frapper le corps m pour que, toutes choses égales , la vitesse communiquée, soit au corps m^ soit au corps M , acquière indépendamment du signe la plus grande valeur possible. Cette distance croit avec le rapport des vitesses -? et avec le rapport des masses — Si le corps m est en repos avant le

choc, la distance dont il s'agit est inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse m , le corps M restant le même.

Ce problème trouve son application au jeu de paume. L'ensemble de la raquette et du bras du joueur est alors le corps désigné par M , tandis que la paume est le corps m.

3. Nous avons déjà montré (page i8o, problème \) qu'une sphère homogène , en mouvement sur un plan horizontal, décrit d'abord une parabole , et finit toujours par prendre un mouvement rectiligne quand tout glissement a cessé. Nous avons observé que la vitesse et la direction de ce mouvement rectiligne final ne dépendent en aucune façon du frottement qui s'est exercé dans la première partie du mouvement. U y a plus : si le mouvement de la sphère est produit par une percussion y la vitesse et la direc^ tion du mouvement rectiligne final ne dépendent nullement de la force instantanée de frottement qui se produit pendant le choc entre la sphère et le plan , quel que soit le point de la sphère qui ait reçu la percussion, et quelle que soit la direction de cette force. Cette dernière proposition et les conséquences remar- . quables qui s'ensuivent feront l'objet de cet article.

Pour nous fixer, nous supposerons qu'il s'agisse d'une bille de billard, mise en mouvement par un coup de queue

incliné au tapis et donné sur un point quelconque de la bille.

Nous conserverons la notation du problème cité, en prenant le plan vertical des xz parallèle à la direction du coup de queue. De plus , npus nommerons

B la force du coup de queue 5

a l'inclinaison de cette force sur l'horizon \

h la distance horizontale du centre de la bille au plan vertical du choc, cette distance étant positive quand le plan est à droite du centre par rapport au joueur;

k la plus coiirte distance entre la direction de la force et l'horizontale menée par le centre perpendiculairement au plan vertical du choc, cette distance étant positive quand la direction de la force passe au-dessus de l'horizontale du centre.

Enfin, nous représenterons par F^. et F^ les composantes de la force instantanée de frottement qui se déve-, loppe entre la bille et le tapis , dirigées suivant les axes horizontaux des x et des y.

Écrivant que les quantités de mouvement communiquées font équilibre aux forces instantanées, on obtient les équations

Mko = Bcosa-H F, .

Mpo= Fr,

(A) (^ ^Mp»/?o = — B/isina-+. pF^,

|Mp'^. = BX— pF,.

Il s'agit de calculer, à Taide de ces relations, les valeurs des composantes a et i de la vitesse rectiligne finale suivant les axes des x et des j^ exprimées en fonction des forces B, F.,, et F^.

354 MéCÀinQUB RÀTIOITiffELLE.

Or on a trouvé (page 182) les expressions

et il est aisé de calculer les valeurs des seconds membres en fonction des forces, puisque les équations (A) donnent immédiatement les valeurs de u^, i'©» Po ®^ ^o- On obtient

5 B p cos a -^ k , S B hma a =: ' 9 b =i

Ces valeurs étant indépendantes de F, et de F^ , le théorème est démontré.

Pour que la bille ne dévie pas de la direction du coup , il faut que b soît nul , ce qui exige qu'on ait a = o, ou bien h = o.

Ainsi, la bille ri ira en ligne droite dans la direction de la queue qu autant que cette direction sera horizontale ; ou bien, si elle ne l'est pas, qu'autant que le plan vertical du choc passera par le centre de la bille.

Dans les autres cas , le signe de b indique de quel* côté marchera la bille dans son état final. On voit que la bille se déifie de la direction du choc en se portant du côté où elle a été frappée.

On peut dire quelque chose de plus précis encore sur la direction du mouvement rectiligne. Car, si Ton nomme / la distance du tapis au point où la direction du choc va percer le plan vertical mené par le centre perpendiculairement au plan vertical du choc , on a

h z=[l — p) cosa; d'où

5 B /cosa

''""tm p

et, par suite,

a Icota

Cette dernière relation montre que la direction Jinale de la bille est parallèle à la ligne qui va de son point d'appui au point où la direction du choc perce le tapis. Il en résulte que la bille finit par reculer si la ligne du choc perce le tapis en deçà du point d'appui. GoRioLis, Théorie math, des effets du Jeu de billard y c. VŒ.

4. Si l'on conçoit que les liaisons d'un système de points matériels en mouvement soient changées à un instant donné y ou ^ pour mieux dire , dans un inten^alle de temps très-court y la somme des forces vives acquises auant cet instant swpassera celle qui aura lieu immédiatement après y d'une quantité égale à la somme des forces vives correspondantes aux vitesses perdues dans le passage du premier état du système au second. Démontrer ce théorème.

On entend par vitesse perdue pour chaque point, la vitesse qui , composée avec celle que possède le point après le changement des liaisons , donne pour résultante la vitesse du point avant le changement des liaisons.

On suppose les liaisons exprimées par des équations, entre les coordonnées des différents points, qui ne contiennent pas le temps explicitement.

Observons d'abord qu'il est généralement impossible qu'une nouvelle liaison s'établisse instantanément; mais qu'il faut un certain temps 9 pour que le système parvienne à l'état où il vérifie la liaison nouvellement introduite 9 ce temps pouvant d'ailleurs être imaginé aussi petit qu'on le voudra.

En effet, soit

réqualion qui exprime une nouvelle liaison introduite à Tépoque ^o-

Lorsque cette équation est satisfaite, on a

2/dLdx dLdy d'Ldz\ XdiTt^lyTt^'didt) ■"*^' x^y^z étant les coordonnées d'un point quelconque du

système , et le signe V' indiquant une somme relative à

tous les points. Or, si Ton nomme a, i, c les composantes de la vitesse du point [x^y^ z) suivant les axes, à l'époque ^©j il est clair qu'on n'aura pas, en général ,

^ fdh dh ^ dL \

puisqu'il n'existe aucune relation entre la fonction L et les vitesses a^b ^ c. Donc il faut admettre que la liaison L= o n'est point satisfaite à l'époque fo 5 mais seulement à une époque postérieure f© -f- 6«

On voit encore cela d'une autre manière , en observant que les réactions occasionnées par l'introduction de la liaison nouvelle, ne peuvent changer la vitesse et la direction du mouvement d'une quantité finie pendant un temps nul.

• • Pour représenter analytiquement les phénomènes qui s'accomplissent pendant Tintervalle de temps 6, il faut concevoir que, à partir de l'époque fo? jusqu'à l'époque fo -f- ^ 5 la fonction donnée L , au lieu d'être égale à zéro , soit égale à une fonction de t assujettie à ces conditions de s'annuler aux époques ^0 5 ^0 -f- 9 5 et d'avoir sa dérivée nulle pour l'époque t^-\-Q el numériquement égale à la

w-« ( dYi dh - e/L \ ,,, ,..

somme 2à [di " '^ IP ^ ^ li") ^^^ ^ époque t, (»).

(') Par exemple, s'il s^agit d'un point libre qui tout à coup se trouTC

Cela posé, venons à la démonstration du théorème. Pendant le temps très-court 0, nous pouvons négliger les forces continues qui sollicitent les points du système, vis-à-vis des forces instantanées qui naissent des liaisons nouvelles; nous pouvons aussi négliger les quantités trèspetites dont varient les coordonnées des différents points pendant le même temps, vis-à-vis des variations des vitesses.

Ainsi 9 pendant le temps 9, l'équation du mouvement est

et les déplacements virtuels Sx^ iy^ âz peuvent être considérés comme constants.

Intégrons cette équation entre les limites ^0 ? ^o-i-S» et nommons ai , ii , Ci les composantes de la vitesse du point m à l'époque f© H- &• H vient d'abord

ActueUement, si nous prenons pour déplacements virtuels

Hé à Forigine des coordonnées par une tige rigide et sans masse, mobile autour de Torigine. Alors, en désignant par x^jX^, ff« les coordonnées du point mobile à Fépoque t^ , l'équation de liaison sera

Mais, pendant le temps très-court qui sépare les deux ^»oques f, et t^-i-ô, on aura une équation telle que celle-ci ,

La fonction de t qui figure au second membre représente la petite quantité dont varie le carré de la longueur de la tige , en vertu de Félasticité du corps. Dans la question qui nous occupe, il n'est pas permis de supposer les corps tout à fait incompressibles , sinon on serait forcé d'admettre des percussions infinies, et le calcul n'aurait plus. de sens.