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358 MéCAHIQUS EÀTIOBNELLE.

les déplacements effectifs afdi, b^dt^ c^dt^ nous obtenons , en divisant par dt ,

ou , ce qui est identiquement la même équation ,

Or cette dernière formule exprime précisément le théorème qu'il s'agissait de démontrer (*).

C0EOIJ.À1&E I. — Supposons qu'à l'époque t« + S, on ajoute encore de nouvelles liaisons

qui laissent subsister les premières. Désignons par & le temps très-court qui s'écoule avant que ces nouvelles liaisons soient satisfaites, et par ^i, ii, c^ les composantes de la vitesse du point m à l'époque U-\-Q + 9, Nous aurons de même

= 2i»[(a.-a,)»-H(é,*,)'+(e.-c.)'], et, par suite,

( ' ) Cette démonstration nous a été indiquée par M. Sturm.

DYNAMIQUE. 25g

Mais nous aurious pu intégrer Téquation du mou* vement (A) par une seule opération entre les limites '05 to-hd-h^^ et prendre ensuite pour déplacements virtuels les déplacements effectifs dans l'état final, savoir a^dt^ bfdt, Ctdt\ par ce calcul nous aurions obtenu l'équation

D'après cela, nous pouvons énoncer la proposition suivante :

Des points matériels en mouvement et soumis à des liaisons indépendantes du temps ayant certaines vitesses acquises à un instant donné j si Von conçoit quà cet instant on ajoute successii^ement aux liaisons données un y deux y trois ^. , . systèmes de nouç^elles liaisons indépendantes du temps, et que l'on considère la série des vitesses que prendra chaque point dans les états successifs du système^ r excès de la somme des forces visses de ce système dans son état primitif sur la somme des forces vitres qu'il possédera élans son dernier état pour lequel le nombre des liaisons est le plus grand , sera égale, soit à la somme des forces vives correspondantes aux vitesses perdues dans le passage immédiat du premier état au dernier, soit encore à la somme des forces vivres correspondantes aux vitesses perdues , en supposant que le système passe successivement de son premier état au second j puis du second au troisième ^ et ainsi de suite jusqu'au dernier.

CoKOLLAiRE II. — Le théorème qui nous occupe comprend, comme cas particulier, le théorème de Camot sur la perte de force vive produite par le choc des

a6o MÉCANIQUE RÀTIOBNELLE.

corps dépourvus d'élasticité ; car ce choc peut être considéré comme résultant de Tintroduction de nouvelles liaisons, par lesqueUes les corps sont assujettis à se toucher deui[ à deux en des points déterminés.

Il comprend encore ce théorème de Coriolis (*) : La somme des forces ^fwes d'un système de points matériels à une époque quelconque de son moui^ement est égale à la somme de forces vivres que prendraient ces points^ si, étant animés de leurs- vitesses actuelles , ils venaient à former à cet instant un système de figure im^ariable assujetti aux mêmes liaisons quauparavanty. plus la somme des forces villes qu auraient ces points en vertu des seules vàesses relatii^es par lesquelles ils s'écartent des positions qiiils occuperaient dans le système solidifié.

Citons aussi, comme conséquence immédiate de la théorie qui nous occupe, ce théorème de Lagrange (*) : La force vii^e initiale communiquée par des percussions à un corps solide^ mobile autour d'un point fixe, est plus grande ou plus petite que la force vive qui serait communiquée au corps par les mêmes percussions y s'il était assujetti à tourner autour d'un axe différent de l'axe spontané. La théorie actuelle va plus loin^ elle nous montre que, dans la rotation autour de Taxe spontané, la force vive est toujours un maximum et jamais un minimum (').

Sturm , Comptes rendus de l'Jcad. des Sciences de Paris , t. Xni, i84i, ^* sem., p. io46.