Un cylindre homogène , dont l'axe est fixé dans
(*) Journal de VÉcole Polytechnique, XXIV" cahier, p. gS. (") Mécanique analytique, 1I« partie, sect. m, § 87. (') M. Delaunay a fait le premier cette distinction entre le maximum et le minimum {Journal de M. Liou ville, t. V, p. 255; 18^0 ).
une position horizontale , tourne as^ec une vitesse donnée cù, en enroulant un fil inextensible et sans masse qui porte un point matériel de poids P. Ce point est d^ abord soutenu au-dessous du cylindre à une distance de F axe égale. à i, en sorte que le cylindre n'éprouve aucune résistance tant que la longueur du fil qui n*est point enroulé est supérieure à cette distance. On demande de déterminer celte distance b , de manière que la vitesse du système soit épuisée à Tins tant précis ou le point matériel vient toucher la surface du cylindre, et d'assigner, dans ce cas , la durée de l'ascension du point.
Soient a le rayon du cylindre, m sa masse et k son rayon de gyration autour de l'axe.
On trouve
et la durée de Tascension est
flP
6. Un cylindre homogène dépourvu d'élasticité roule sans glisser sur un plan incliné, lorsqu'il rencontre un second plan parallèle à son axe et sur lequel tout glissement est impossible. Déterminer la limite inférieure de l'angle dièdre des deux plans au delà de laquelle Pascension du cylindre sur le second plan ne peut avoir lieu^ et, dans le cas oii cette limite n'est pas atteinte, trouver la viiesjse avec laquelle le cylindre commence à monter.
La limite cherchée est -r»
Si Ton nomme a l'angle des deux plans , u la vitesse de l'axe du cylindre immédiatement avant la rencontre du
202 MÉCANIQUE RÀTIOIfNELLE.
second plan, et i^ la vitesse de cet axe immédiatement après la rencontre , on trouve
I — 2 CCS a p= u.
7. Un corps glisse sur un plan incliné a^ec une vitesse connue, lorsqu'il rencontre sur le plan une petite saillie qui met obstacle au glissement. Déterminer la force du choc et le mouvement communiqué, en supposant que la direction du choc soit située dans un plan perpendiculaire au plan incliné , dii^isant le corps en deux parties symétriques.
Il suffit de considérer le système en projection sur le plan de symétrie , car les vitesses communiquées seront parallèles à ce plan.
Soient m la masse du corps , a la longueur de' la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité sur le plan, b la distance du pied de cette perpendiculaire à la saillie lors de la rencontre, k le rayon de gyration du corps autour de son centre de gravité, e l'élasticité, u la vitesse immédiatement avant le choc , R et S les composantes de la force du choc suivant une perpendiculaire et une parallèle au plan incliné , i/ et (^ les composantes delà vitesse du centre de gravité à la fin du choc suivant les mêmes directions, o) la vitesse de rotation du corps à la fin du choc autour de son centre de gravité.
On trouve
mu(i -Hc)
ab"
[i-{-e)ab a''-e(b^-{'Â'') {i-{-e)a a^^b^-i-^' 8. Une tige dépourvue d'élasticité, qui se meut p a-
DYNAMIQUE. a63
rallèlement à elle-même sur un plan horizontal parfaitement uni, vient heurter contre un axe fixe perpendiculaire au plan. Déterminer la force du choc et la position de la tige à un instant quelconque après la percussion y en négligeant les frottements.
Soient m la masse de la tige , k son rayon de gyration autour du centre de gravité , u la vitesse avant le choc , c la distance du centre de gravité au point de la tige qui reçoit le choc et B la force du choc. Rapportons le centre de gravité à deux axes coordonnés OX , OY dont l'origine soit au pied de l'axe fixe , le premier étant dirigé vers le centre de gravité à Tinsjant du choc , et le second du côté où la tige tend a avancer. Désignons par a l'angle que la direction du mouvement avant le choc fait avec Taxe OY , cet angle étant positif du côté de OX, et nommons Q l'angle dont la tige a tourné dans le sens de rotation qui amène OX vers OY.
L'origine du temps étant à l'instant du choc , il vient mk^uco%0L
c'« ces a ^ cacosa
9. Deux billes B ^f C reposent sur un plan horizontal et sont en contact. Trousser la direction dans laquelle une troisième bille A, qui se meut sur le même plan y doit venir frapper la bille B , pour que celle-ci parte dans une direction donnée. Les trois billes sont égales y peuy^ent ay^oir une élasticité quelconque, et se choquent sans frottement.
Soient A, B, C les centres des trois billes à l'ÎDstant
a64 MiCÀJNIQltE RÀTIONNEX.LE.
du choc, CL r angle donné GRD, et 6 l'angle cherclië des
deux directionsBÂ, CB.
On trouve
tangO = - tanga.
10. Trois billes égales h. , A', A'', de masse m, d'élasticité e, et qui sont exemptes de Jrottement , sont assujetties à se moui^oir sur un même plan horizontal. Les deux dernières sont immobiles et se touchent^ la première vient les frapper toutes deux au même instant^ avec une vitesse donnée, égale à u. Détenniner la force du choc et les vitesses communiquées.
Soient v la vitesse de la bille A immédiatement après le choc, i^ la vitesse commune des deux billes A', A'' au même instant, et B la force du cboc qui a lieu entre la bille A et Tune quelconque des deux autres.
On trouve
I sli
Maglau&in , Traité des Fluxions y 1. I , eh. 12 , § 5i5.
1 1 . Démontrer que la force vive perdue dans les chocs simultanés de plusieurs corps doués dune même élasticité e, est égale au produit de par la force vive due
aux vitesses perdues ( * ) .
On démontrera ce théorème , de la même manière que
(') Voir t. I,p. 2i5, prob. 5.
DYJNÀMIQUE. 265
le théorème de Gamot dont il est la généralisation , en exprimant, par Téquation des virtuelles, qu'il y a équilibre entre les percussions et les quantités de mouvement communiquées , à Tinstant où les corps cessent dé se comprimer et commencent à reprendre leur forme première. Pour effectuer ce calcul , il suffira d'observer que les composantes des vitesses perdues par une même molécule pendant les deux périodes du choc , sont entre elles dans le rapport de i à ^.
Duhamel, Journal de l'École Polytechnique, XXIV* cahier, p. I ; i832.
266 MÉCÀNiQUE RATIONNELLE.
