LOIS DES PETITES OSCILLATIONS

Proposons -nous de déterminer les petites oscillations qu'exécute un système de points matériels assujettis à des liaisons, qui a été légèrement écarté d'une position d'équilibre stable. Nous supposerons, comme d'habitude, les forces indépendantes du temps.

Les équations de liaisons nous permettent de développer (*) les coordonnées des points suivant les puissances ascendantes de nouvelles variables m, i^^ etc., qui s'annulent pour la position d'équilibre, et dont le nombre est précisément celui qui est nécessaire pour fixer la position des points en ayant égard aux liaisons. Substituant ces valeurs dans l'équation générale, si souvent rappelée, qui est fournie par le principe des vitesses virtuelles et le principe de d'Alembert, puis égalant à zéro le coefficient de chacune des variations du^ âi'y etc., nous obtenons des équations différentielles qui représentent rigoureusement le mouvement du système

(*) Ces développements pourront s'effectuer parla formule de Maclaurin, lors même que l'on ne saurait pas résoudre les équations qui lient les coordonnées aux nouvelles variables. En effet, ces équations, étant différentiées plusieurs fois de suite , donneront les expressions générales des dérivées partielles des coordonnées par rapport aux nouvelles variables à l'aide de résolutions successives d'équations du premier degré. Remplaçant dans ces expressions les nouvelles variables par zéro et les coordonnées par les valeurs correspondantes à l'état d'équilibre stable , on aura les coefficients successifs des développements cherchés.

à l'aide des nouvelles variables , dans les limites où les développements effectués restent convergents.

Ces équations sont du second ordre, et ne contiennent pas de terme indépendant des variables m, t^^ etc., car elles doivent être vérifiées pour la position d'équilibre où toutes les variables sont égales à zéro. Les termes du premier degré par rapport à u , ^'^ etc. , et par rapport aux dérivées de ces variables, donnent la loi des petits mouvements. Si Ton néglige tous les autres termes , les équations deviennent linéaires à coefficients constants-, elles sont d'ailleurs sans 'second membre. Leurs intégrales s'obtiennent par la méthode connue ; elles sont de la forme

«= A,sin (v^^-ha,) -+- Ajsin(v/rj^-h aj) -h. . . , if =\i A,, sin ( ^t -h a, ) -h X, A2 sin ( ^r^t-^-oL^) -H.. . . ,

A 1 , As ... , A i , ûTj . . . 9 sont des constantes arbitraires qui, dans chaque cas particulier, se déterminent par les données initiales^ Ti, Tj, etc., sont des constantes, racines d'une même équation algébrique dont le degré est égal au nom^ bre des variables i/, (^, etc. ^ Xi , Xt , etc., sont des coefficients constants qui se déduisent de t\ , Tj, etc.

Soit n le nombre des variables m, p», etc. L'expression de chacune de ces variables en fonction du temps , est généralement une somme de n termes tels , que chacun d'eux, pris isolément, représente une petite oscillation de même nature que celle d'un pendule simple. Toutes ces petites oscillations simples se partagent en n groupes, pour chacun desquels la durée de l'oscillation est la même^ il entre généralement une oscillation de chacun des groupes dans la valeur de chaque variable. Le mouvement du système autour de sa position d'équilibre est donc composé d'oscillations simples et simultanéev<^

a68 ' MÉCANIQUE RATIONNELLE.

dont le nombre est, en général, celui des variables nécessaires pour fixer la position du système. G^est en cela que consiste la loi de la coexistence des petites oscillations découverte par Daniel BernouUi (*).

Il y a plus : supposons que pour de certaines données initiales,

du, , dtf ,

le mouvement soit représenté par les intégrales que pour d'autres données initiales,

U = lh,

du

dç

le mouvement soit représenté par les intégrales

ainsi de suite.

Pour les données initiales qui sont la somme des premières,

a = «,-f-wj+ . . . , p = (;, +p, + , .. , ..., du , , / / ,

le mouvement sera représenté par la somme des premières intégrales ,

car ces dernières expressions vérifient les équalioas différentielles linéaires du mouvement , et se réduisent

(*) lUém de VAcad, de Berlin, 1763, p. l'jZ^'-JSovi Comment. Peirop., t. XIX, 1775, p. 239.

aux valeurs initiales données, lorsqu'on y fait « = o.

Cette loi générale , d'après laquelle les petits mousse" ments se superposent sans se nuire , donne l'explication d'un grand nombre de phénomènes relatifs aux ondulations des liquides, à l'acoustique, à la lumière, etc.

Tous ces résultats supposent que l'on se borne à la première approximation. Si l'on veut une détermination plus exacte du mouvement , on reviendra aux équations rigoureuses, on substituera, dans les termes du second degré par rapport à m, v^ etc., et par rapport à leurs dérivées, les expressions de ces quantités en fonction du temps obtenues à la première approximation -, «puis , négligeant tous les termes d'un degré supérieur au second, on aura de nouvelles équations qui ne diflféreront des premières que par l'addition d'un second membre , fonction connue du temps. On en déduira d'autres valeurs de li, sf^ etc., plus approchées que les premières \ et l'on pourra continuer ainsi, par la méthode des approximations successives, aussi loin qu'on le jugera convenable.

\ . Une balance or.^ dinaire , dont le fléau KM reste dans un même plan vertical^ supporte deux poids égaux P, P^ suspendus à des fils de même longueur kV, A'P dont on néglige la masse. On imprime à cet appareil un petit mouvement absolument quelconque qui dérange légèrement V équilibre , et Von propose de déterminer les oscillations du fléau et des deux poids.

Soient

a la longueur de chacun des bras du fléau , considéré comme une droite ;

b la hauteur de Taxe de suspension O au-dessus du fléau ;

/ la longueur de chacun des fils ;

m la masse de chacun des poids ;

c la distance de l'axe de suspension au centre de gravité de toute la partie mobile, les poids exceptés ;

M la masse de cette partie mobile ;

h son rayon de gy ration autour de Taxe de suspension ;

Q Tinclinaison du fléau sur l'horizontale;

^ l'angle que le fil AP fait avec le plan vertical du fléau ;

(f l'angle que le même fil fait avec un second plan vertical perpendiculaire au premier \

^' et <p' les angles analogues pour le fil A'P;

T et T' les tensions des fils AP et A' P'.

L'origine des coordonnées sera le point de suspension O5 l'axe OZ sera dirigé dans le sens delà pesanteur, et l'axe OX dans le plan vertical du fléau du côté du point P; a^5 ft ^ seront les coordonnées du point P; x\y' ^ z' celles du point P. Nous compterons positives les déviations î{/, (p, i|;', y', quand elles tendront à augmenter les coordonnées x, y^ oc\y' \ nous prendrons l'angle B positif quand l'extrémité A sera soulevée.

Les équations du mouvement des points P et P', considérés comme des points libres, seront les suivantes:

d^x T . d'jc' V . ,

— -— = sin <p, -— -- = sin © ,

dt"" m ^ dt^ m ^'

d'y T . , rfy r . ,,

dr- m ' ' dt' m ^

DYNAMIQUE. ayi

^=^— ~COSycos>I;,

M^'— = — Mg'csin e — T cosnI/[a cos((p — ô) — ^ sin ((p — 0)] 4- T' cosf [acos((p'— 0) -4- ^sin(<p' — 0j].

Tîrant les valeurs de T et de T' des équations en z et ^', les reportant dans les autres équations, il vient

d^x tang(p/ d^z\ IF'^TôT^y'^'dF)'^^'

dt^ "^"^y [f'^'dF)'^ ^' d^y tang>I// ^'2j\

-' tang^^' / «r^z'X

dt^ ^

«cos(<p — ô) — ^sinf® — Ô) / e/^z\

cosç \ ^ rff»/

iicosU' — 0)-+-^àin((p' — e) / e/V\

H L il L img — m --— )=:o.

costp' \ ^ dt^ )

Ce sont là les équations qui représentent le mouvement , eu égard aux liaisons.

Il faut actuellement exprimer les coordonnées en foncti(Mi des variables 0, ç, ç', ip, ^'^ qui s'annulent dans la position d'équilibre , et dont le nombre est précisément celui qui est nécessaire pour déterminer la position du système ; puis substituer ces expressions dans les équa-

272 MÉCiLNIQUE RATIONNELLE.

lions précédentes, en négligeant les termes du second degré.

Si l'on efTectue de suite les développements des coordonnées , et que Ton néglige les termes d'un degré supérieur au premier, il vient

x-=. h sinO -hflcosG -f- /sinç cos^ = ^ô-f- «4- /y,

zzr^h cos 0 — <i sin 0 -h / cos y cosip = ft — a 0 -h /•

Les valeurs de a/,j^, i'se déduisent de celles-ci en remplaçant y, if par y', t|;' et cliangeant le signe de «.

Telles sont les expressions qu'il faut substituer dans les équations précédemment obtenues , en même temps qu'on développera suivant les puissances des variables 0, y, ip, q/, ^j en négligeant toujours les secondes puissances, ainsi que les produits des variables par leurs dérivées.

Effectuant ces calculs , et posant

M^»-f-2/wtf» Vie

mg '^ m

on trouve pour les équations des petits mouvements ,

Les équations (3) et (4) s'intègrent séparément. Leurs intégrales sont

^ = Csin^y/^ï + vj, f = C'siii^y/^f4-7')-

Le système des trois autres équations n'est point altéré quand on échange entre elles les variables (f et (f\ Il s'ensuit que ces équations admettent la solution 9 = ç'. Toutefois, il est une solution plus générale. Pour qu'elle n'échappe pas au calcul, on remplacera les équations (i) et (2) par leur somme et leur différence •, en sorte qu'on aura à intégrer les trois équations

L^équation eu © — ç' s'intègre séparément. Elle donne

. — (p' = 2Bsin(i/|r-4-py

Quant aux deux autres équations, si Ton y substitue les valeurs

ô = Asinj(|^rf H-a),

«j)4- •p'==2X Asin(v^/-4-a),

on reconnaît qu elles sont satisfaites ^ quand /* est l'une quelconque des racines de l'équation du second degré

et que, pour chacune de ces racines, la valeur correspondante de X satisfait à la relation

L'équation qui donne r a ses deux racines positives , car

les valeurs r = o, = ^î =00 , substituées dans le premier

IL iS

^74 MécANiQLE AATIONMELLE.

membre, donnent des résultats alternativement positifs et négatifs.

Soient r,, r, ces racines , et Ai, i, les valeurs correspondantes de X.

lie» intégrales générales seront

' Ô = A,sin(0^,r-fa,)-hA,sin(v^r,f-|-aJ, ç = t±l4. ^.IIJL ==X, A.sin(^,^+ a.)

(^j J -hîi,A,sin(v/r,fH-a,)-hBsîn(l^^/^-pJT

.^l±Ll lIlI^::3>,A,sin(v^nr-ha.)

+ X, A, sin (v^r, f -h a, ) — B sin ( i^| ^ -H P ) '

Il ne reste plus qu'à déterminer les dix constantes arbitraires Al, A,, B, C, C, aj, a,, j3, y, / par la condition que , ponr f = o , les cinq variables et leurs cinq dérivées se réduisent aux valeurs initiales données. Ce calcul se fera sans difficulté ; alors les valeurs (6) et ( 7 ) seront la solution complète du problème. On pourra vérifier aisément la loi de la superposition des petits mouvements. Il n'existe ici que trois espèces d'oscillations dont les périodes soient différentes , bien qu'il y ait cinq variables. Celte exception à la règle générale provient de la symétrie de Tappareil. De plus , la valeur de cbacune des variables ne renferme pas toutes les espèces d'oscillations. Ceci aura lieu toutes les fois que* les équations du mouvement se partageront en plusieurs groupes séparément intégrables.

Afin de donner un exemple des approximations successives, déterminons la partie principale des pertur-

l>iations que les oscillations du fléau produisent sur les oscillations du poids P dans le plan perpendiculaire au fléau.

U nous faut revenir à Téquation rigoureuse

d'^y tang^l^ / d^z\ ___ "dF "^ cos<p \^ dFj ~ *

lUercher parmi les termes d'un degré supérieur au premier , et qui dépendent de 6^ celui qui est du degré moindre, y remplacer les variables par les valeurs déjà trouvées, puis ajouter ce terme à Téquation (3).

Le terme en question est + aip — ; par conséquent-,

Téquation qu il s'agit d'intégrer est la suivante :

cos|

Elle a pour int^rale particulière

4- N. cos ( v^. 4- i/^ W 4- «. -+- 7 -4- M3C0S l \lr, — i/^ jr 4- a, — 7