N,cos ( v/'^,!- i/f )^-+-«v-H7P

2j6 MéciNIQDE RATIONNELLE.

en posant

Celle intégrale parliculière, ajoutée à Tîntégrale gént'rale (6) de l'équation sans second membre , forme l'intégrale générale de réquaiion (8) , et représente le mouvement troublé quand on détermine les constantes d'après les valeurs initiales.

EuLER, iVbw comment, Jcad. Petrop., t. XIX, 1775, p. -285-

2. Deux points pesants V^ P, de masses m, m', sont fixés à des hauteurs différentes sur un même fil flexible, inextensible et sans niasse, qui s'attache à un point fixe O. Les deux poids sont d'abord légèrement écartés de la verticale, sans que les deux parties du fil cessent d'être tendues et situées dans un même plan vertical j puis on abandonne le système sans vitesse. Trouver quels doi\^ent être les écarts primitifs, pour que chacun des deux poids P, P' oscille comme un pendule simple.

Soient OP = /, PP' == n, 9 et ç les petits angles que ces parties du fil font d'un même côté sur la verticale, Bf, et Ço les valeurs initiales de ces angles.

On trouve que les petits mouvements des deux poids sont représentés par les formules

0 — A,cos\/r, r-l- Aacosy'rj^, (j.r="X, Aicosy^r, t ■+-'k,A2Cos^rit,

dans lesquelles 7*1, r, désignent les racines de Téquatiou (1) [mlr— [m H- ni') g]{nr ^ g) -- ^ m'lr=z o ,

ïi et A, les valeurs correspondantes de la fraction

g — nr tt A,, A, des constantes déterminées par les relations

A,-hAj = 0o» X|A, -f-XjAa^: fo-

Pour que chacun des poids oscille comme un pendule simple, il faut que Fune des quantités Ai , Aj soit nulle. D^ns ce cas ,

et, par suite (i) ,

Telle est Téquation qui détermine le rapport des écarts primitifs 609 fo- die ^ toujours une racine positive inférieure à l'unité, et une racine négative dont la valeur numérique est inférieure au rapport -* La racine positive

répond au cas où les deux poids sont en même temps d'un même côté de la verticale , la racine négative répond au cas conti^aire. Dans ces deux cas, les oscillations des deux poids ont la même durée, mais n^ont pas la même amplitude.

Daniel Berkoulu, ibid., p. 260. — Euleb, ibid., p. 285.

3. On suppose une tige homogène, suspendue par son extrémité à un fil inextensible et sans masse gui s'attache

2^6 MéCAHIQlJE RATIONITELLE.

à un point fixe, L* équilibre a été légèrement troublé, sans que le système ait cessé et être contenu dans un même plan vertical. Il s'agit de déterminer les petites oscilla-tions que la tige exécute.

Soient 2a la longueur de la tige, / la longueur du fil, 6 et f les petits angles que le fil et la tige font avec la ver-^ ticale, ces angles étant comptés positifs d'un même côté.

Si l'on représente par r, et r, les deux racines positives de Féquation

3r» — (4fl + 3/) r 4- «/== o, les petites oscillations seront données par les formules^

Le système reprendra périodiquement la même posi-t tion y si Ti et r^ sont entre eux comme les carrés de deux nombres entiers,

Daniei* BxENOULLiy Noiff Comment, Petrop. , 1773 , p. 247* EuLER, ihid.y p. 268.

4. Deux points matériels^ de même masse, sont fixés sur un fil élastique tendu entre deux points fi^.es, et diiHsent la longueur du fil en trois parties qui sont égales dans V état d'équilibre. Déterminer les petites oscillations que les points matériels exécutent , lorsque V équilibre a été légèrement troublé sans que le fil ait cessé d'être rectiligne^ On admet que la tension de chaque partie du fil croît ai^ecla longueur, d'une quantité proportion^ nelle à l'allongement^

Soient 3 a la longueur totale du fil , a + or , a -f- />

DYNiiMIQlJE. 279

rt -h « les longueurs des parties consécutives, et T H >

lia

T -i > T H leurs tensions.

fia fia

Si ron observe que la somme x -^ y -f- z est nulle, on

arrive facilement aux équations

df lia

lie

Leurs intégrales font connaître les distances des deux points à la même extrémité du fil , savoir :

dt^ ' lia

A , B, a , (3 sont des constantes qui , dans chaque cas par* ticulier, se déterminent par les circonstances initiales.

Chacune des deux masses oscille comme un pendule simple si , après les avoir également écartées de leurs positions d'équilibre, on les abandonne au même intant sans vitesse initiale. Dans ce cas, la durée d'une oscillation est ïT Vfxa Qu TT i/i^ î suivant que les écarts

primitifs sont de même sens ou de sens contraire.

On étendra sans difficulté les formules précédentes à un plus grand nombre de points matériels , placés à des distances égales sur un (il élastique.