CHAPITRE PREMIER

AtTRACTlON.

Dans ce chapitre, nous étudierons spécialement l'attraction qui s'exerce proportionnellement à la masse et en raison inverse du carré de la distance.

La somme des éléments de masse du corps attirant , divisés respectivement par leur distance au point attiré, est ce qu'on nomme, d'après George Green, le potentiel du

I corps attirant par rapport au point attiré.

j Si l'on nomme x^y^ z les coordonnées du point attiré,

V la fonction de ces coordonnées qui représente le potentiel , on a l'équation aux difTérentielles partielles

quand le point attiré est extérieur au corps \ et quand le ; point attiré est intérieur au corps, si l'on nomme p la

I densité du corps dans le voisinage du point attiré, on a

La première équation est de Laplace (Mécanique céleste^ liv. II, § 1 1) ^ la seconde est de Poisson.

SoitfjL TaUraction de Tunilé de masse à l'unité de dis-

282 MÉCiniQlIE RATIONNELLE.

tance. Les composantes de l'attraction suivant les axes des X , des y et des z sont respectivement représentées par les dérivées partielles

d\ dV d\

^5J' ^^' ^Tz'

Il s'ensuit que l'attraction est dirigée suivant la normale à la surface dont Téquation est de la forme

V = const.,

(St qui passe au point attiré.

Les surfaces en nombre infini que Ton obtient en faisant varier la constante dans l'équation précédente, sont dites surfaces de nweau relativement à l'attraction du corps.

Si l'on promène le point attiré sur une même surface de niveau, l'attraction exercée sur ce point sera constam" m^it égale à

dy

^ dn

dn représentant la portion de la normale à la surface au point attiré, qui est comprise entre cette surface et la surface de niveau infiniment voisine intérieure à la première.

Deux corps qui ont les mêmes surfaces de niveau exercent la même action sur un point de l'espace à un facteur constant près.

Deux surfaces de niveau relatives à un même corps ne peuvent avoir un point commun , à moins qu'elles ne se confondent ; car les deux équations simultanées

ne peuvent admettre de solution commune , à moins que Von n'ait A = B, et alors les deux équations représentent

STATIQUE. a83

la même surface. Les surfaces de niveau sont des surfaces fermées •, car, ces surfaces étant évidemment continues , il n'y aurait exception pour Tune d'elles, qu'autant que cette surface s'étendrait à l'infini ; or, pour un point attiré situé à l'infini , le potentiel est nul ; donc l'équation de la surface est V=ro, et, par suite, elle est tout entière rejetée à l'infini. Entre deux surfaces de niveau, celle qui répond à la plus grande valeur du potentiel est intérieure à l'autre. Les premières recherches sur l'attraction des corps eurent pour objet l'action des sphères , des ellipsoïdes et des corps peu différents de la sphère connus sous le nom générique de sphéroïdes. Ces travaux étaient commandés par les besoins dç la mécanique céleste.

ÀTTEÂCTION DES ELLIPSOÏDES ET d'uN AUNEÀU ELLIPTIQUE.

Attraction des ellipsoïdes, — Newton (*) réussit à déterminer l'attraction d'un ellipsoïde de révolution sur un point de l'axe de figure , et démontra les deux propo-^ sitions suivantes : Une couche comprise entre deux ellipsoïdes concentriques y semblables et semblablement placés, n exerce aucune action sur un point intérieur.. Deux ellipsoïdes de réi^olution concentriques, semblables et semblablement placés , exercent sur deux points de leurs surfaces situés sur un même rayon mené du centre^ des attractions dirigées suivant la même dmite et dans le rapport des distances au centre. Ceci ramenait déjà la recherche de l'attraction sur un point intérieur à celle de l'attraction sur un point de la surface. Maclaurin (*)

(*) Principia, lib. I, prop. 91.

(*) De causa physicajluxus et refluxus maris. Prix de l'Acad. de» Se. de Paris, t. IV. — Traita des fluxions, liv. 1, chap. xiv.

284 MÉCANIQUE RATIOriKJELLE.

acheva cette partie du problème en déterminant Tattraction d'un ellipsoïde de révolution sur un point de sa surface. Il put encore trouver l'attraction sur un point extérieur lorsque celui-ci est situé dans le plan de l'équaleur. Le même géomètre démontra que deux ellipsoïdes homofocaux, et d'ailleurs quelconques, exercent sur un même point situé sur le prolongement de Vun des axes principaux, des attractions dirigées suivant la même droite et proportionnelles à leurs masses. C'est la proposition connue sous le nom de théorème de Maclaurin. Lagrange (*) étendit ce théorème à tout point extérieur situé dans un plan principal.

Legendre (*) acheva la théorie de l'attraction pour un ellipsoïde de révolution ,• et soupçonna l'extension du théorème de Maclaurin k un point extérieur quelconque, Laplace (') démontra cette extension, et résolut complètement le problèmie de l'attraction d'un ellipsoïde quelconque sur un point situé connue l'on voudra -, mais sa solution est extrêmement compliquée.

Depuis ce temps, plusieurs solutions ont été publiées. Nous citerons les plus remarquables. La solution de M. Ivory (*) ramène à la recherche de l'attraction sur un point intérieur, celle de l'attraction sur un point extérieur, qui était réputée jusqu'alors beaucoup plus difficile. La solution de Gauss (^) est très-remarquable par sa simplicité. Parmi les diverses solutions publiées par M. Chasles (®), il en est une fort simple fondée sur la géométrie. EnCn

(') Nouv. Mém. de VAcad. de Berlin^ ^11^-

(') Savants étrangers {Xcad. des Se.), t. X, 1785.

(") Mémoires de VAcad. des Se, de Paris, 1782. — Mécanique ciêleste, liv. III, chap. I.

{*) Philosophical Transactions, 1809.

(*) Commentationes Soc, reg. Se. Gotlingensis recentiores, t. Il, i8j3.

(") Comptes rendus de l'Acad, des Se. de Pwts, t. VI, i838, i«*" sen)., p. 902. — Journal de M. Liouville^ t. V, 1840, p. 4^5.

M. Dîrichlet (*) ramène à des intégrales simples les intégrales triples qui mesurent Tattraction, en se servant d'un arlilice d'analyse fort ingénieux, qui consiste à multiplier ]a quantité comprise sous les signes y par un facteur qui est égal à Puni té entre les limites des intégrales , et qui se réduit à zéro en dehors de ces limites.

Nous rapporterons brièvement la méthode de Gauss, parce qu'elle est peu connue, et consiste presque tout entière dans des théorèmes généraux susceptibles d'un grand nombre d'applications.

1, Théorèmes préliminaires , — Ces théorèmes, fondements de la méthode, ont pour but de ramener les intégrales triples à des intégrales doubles. On y considère un corps terminé par une surface absolument quelconque, qui peut se composer de plusieurs parties isolées.

Soient

OX, OY, OZ des axes rectangulaires 5

ds l'élément de surface au point P dont les coordonnées sont x^ j^ Z]

da la valeur numérique de la projection de l'élément ds sur le plan ZOY ;

PN la normale extérieure au point P, c'est-à-dire la normale qui se dirige hors du corps 5

(NX) l'angle que la direction PN fait avec l'axe des x positifs ;

M un point matériel attiré par le corps ;

r la distance du point M à un point du corps , prise eu valeur numérique.

Théorème I. — Vintégrale /cos(NX) ds étendue à toute la surface du corps est nulle.

(*) Académie de Berlin, iSSg. — ComjHes rendus de VAc ad. des Sc.de Paru, t. VIII, 1839, i"sem., p. i56.

a86 MÉCANIQUE HÀTIdNNBLLE.

En effet, rélément de celte intégrale, cos (NX) ds^ est égal à — i/a ou à -H da^ suivant qu'on entre dans le corps ou qu'on en sort par l'élément de surface ds , quand on suit dans le sens de l'axe des x une parallèle à cet axe menée par l'élément da. Mais , en suivant toute la longueur de cette droite , on entre dans le corps et Ton en sort un même nombre de fois ; donc les éléments de Tinté* grale qui ont la même projection da se détruisent deux à deux. Par suite, l'intégrale est nulle.

Théorème II. — Le volume du corps est représenté

par V intégrale fxcos (NX) ds étendue à toute la surface.

Eji effet , d'après ce que l'on a dit au théorème précé*

dent sur la double valeur du produit cos (NX) ds^ les éléments de l'intégrale actuellement considérée qui sont situés dans le petit cylindre élevé sur la base da parallè^ lement à l'axe des x , font une somme précisément égale au volume de la portion du corps qui est renfermée dans ce petit cylindre.

Théorème III. — Si Von suppose le corps homogène^ que Von représente par f[r) l'attraction de V unité de masse à la distance r, et que Von fasse ff{r) rfr= F(r), r attraction du corps sur le point M, estimée suivant la direction des x positifs y sera représentée par VintégraU

f¥ (r) cos (NX) ds étendue à toute la surface*

Considérons un élément de volume renfermé dans le petit cylindre de base da^ entre deux plans perpendiculaires à l'axe des x et très- voisins l'un de l'autre. Représentons par (MX) l'angle que fait la direction de Taxe des X positifs avec la droite qui joint l'élément de volume au point M. L'attraction de l'élément de volume

estimée suivant Taxe des x sera

— J<j/(r)cos(Mk)dfa:.

Or cos (MX) dx est la projection de T accroissement dx sur la droite qui joint rélémenl de volume au point M; c'est donc Taccroissement correspondant dr changé de signe. Il s^ensuit que l'attraction élémentaire est d(jf{r) dr. Pour obtenir l'attraction de toute la partie du corps qui est renfermée dans le petit cylindre de base da , il faut former l'intégrale indéfinie daF (r) , donner successivement à r les valeurs correspondantes aux éléments de surface ds découpés parle petit cylindre, affecter les résultats du signe — ou du signe-}- suivant qu'on entre dans le corps ou qu'on en sort en traversant l'élément ds dans la direction des x positifs, puis faire la somme des termes obtenus. Mais, d'après ce qu'on a dit plus haut , ceci revient à faire la

somme des éléments F (r) cos (NX) ds qui appartiennent au cylindre considéré ; si donc on étend cette somme à toute la surface, on aura Tattraction totale.

Les trois théorèmes suivants se rapportent plus spécialement aux coordonnées polaires. Nous conserverons la même notation, si ce n'est que da représentera l'élément de surface découpé sur une sphère décrite de M comme centre avec un rayon égal à l'unité, par un petit cône dont le sommet est en M et dont les arêtes s'appuient sur le contour de l'élément de surface ds. De plus, nous représenterons par (NM) l'angle que la normale extérieure PN à l'élément ds fait avec la direction PM.

Théorème IV. — Lintégrale j ^ ^\ ^ ) ^ étendue à toute la surface du corps est nulley égale à — ^n ou

q88 mécanique rationnelle.

égale à — 2 7r, suwant que le point M est extérieur au ' corps y intérieur au corps ou situé sur la surface.

En efTel, décrivons une sphère de M comme centre avec un rayon égal à la distance r du point M à Télément ds. La surface découpée sur cette sphère par le petit cône dont on a parlé sera

r'^dny ou bien ±cos(NM)fi^^,

le signe + se rapportant au cas où le rayon mené du point M à Télément ds entre dans le corps en traversant cet élément, et le signe — se rapportant au cas où le rayon sort du corps. On a donc

. __ cos(NM)rf^

les signes étant réglés par la même loi.

Or, si le point M est extérieur au corps , chaque rayon entrera dans le corps et en sortira un même nombre de

fois 5 donc, dans ce cas, T intégrale I — ^ , — étendue

à toute la surface sera nulle.

Si le point M est intérieur au corps, chaque rayon sortira une fois de plus qu'il n'entrera 5 donc, dans ce cas, l'intégrale étendue à toute la surface du corps se réduira à l'intégrale — f da étendue à toute la surface de la sphère sur laquelle sont situés les éléments rfd, c'est-àdire que sa valeur sera — 4^^-

Si le point M est situé sur la surface, ce point peut être considéré comme extérieur relativement à la partie du corps qui est située du côté de la normale extérieure au point M par rapport au plan tangent^ il peut être considéré comme intérieur relativement à l'autre partie du corps. Par suite, l'intégrale aura pour valeur la surface

de la demi<-5phère sur laquelle sont situés le^ éléments ' rfa, prise négativement^ ou — 27r.

Corollaire. — Si Ton représente par G une fonction

rationnelle de cos (MX) , cos (MY) , cos (MZ), l'intégrale

I L — l — étendue à toute la surface est nulle toutes

les fois que le point M est extérieur au corps \ car la fonction G conserve la même valeur tout le long d'un même rayon.

Théorème V. — Le volume du corps est représenté

parVîntégrale — x/rcos (NM) c&r étendue à toute la

surface.

Ce théorèfiie Se démontre de la même manière que le théorème II , en observant que le volume du petit c6ne terminé à Télément ds est

^r.r'trfa ou dz ^ r cos(NM)r/^ ^

le signe étant choisi comme dans le théorème précédente

Théorème VI. -^ Si Von suppose le corps homogène^ que Von représente par f[r) V attraction de V unité de masse à la distance r, et que Von fasse f r^f[r) dr=z(f^^r)y f attraction du corps sur le point M, estimée suivant la direction des x positifs ^ sera représentée par V intégrale

/•(p(r}cos(NM)cos(MX)É^J '. j x . . 7 r

I î-^— i ^ — -^ ^ — étendue à toute la sur j ace,

pourvu que le point M soit extérieur ou intérieur au corps. Si le point M était situé sur la surface, il faudrait ajoutera V intégrale précédente le ferme tt^ (o) cos Mj,^ M, désignant Vangle que la normale extérieure au point M fait avec Vaxe des x positifs

390 MâCÀMQ(JE RATION jy ELLE.

En effet , raltractîon exercée suivant Taxe des x par l'clément de volume qui est renfermé dans le petit cône dont la base est dsy entre deux sphères de rayons r et r-+ rfr, . est égale à

— r'rf<T./(r)cos(MX)r/r.

Il s'ensuit que l'attraction de tout le cône terminé à la surface ds^ s'il était rempli d'une matière homogène,

serait égale à d(T[(f(o) — (p(r)] cos(MX), ou bien à ±: \JL^-J. n ZJ > i "t L, le signe -h répondant au cas où le rayon mené du point M à travers la surface ds entre dans le corps en traversant cette surface , ei le signe — répondant au cas où ce rayon sort du corps. D'après cela, l'attraction de tout le corps sera représeniée par la somme

/<p(r)cos(NlVI)cos(MX)rf^ f ces ( NM ) ces ( MX) ^5 ^ ,(0) j

Or, si le point M est extérieur au corps, les éléments de la seconde intégrale qui sont situés sur un même rayon sont deux à deux égaux et de signe contraire-, par suite, cette intégrale est nulle. •

Si le point M est intérieur, les éléments de la seconde intégrale qui sont situés sur un même rayon se détruisent

encore, sauf l'un d'eux qui est — cos (MX) Ja; en sorle que cette intégrale se réduit à la somme

fcos(QL)da

étendue à toute la surface de la sphère et changée de signe. Mais, le rayon étant normal à la surface de la

Sphère, celte- dernière intégrale est encore nulle, en vertu du théorème I.

Enfin, si le point M est situé sur la surface, la seconde intégrale est nulle, lorsqu'on Fétend à la partie du corps qui est située du cèté de la normale extérieure par rapport au plan tangent au point M. Cette même intégrale étendue à l'autre partie du corps a pour valeur

— /cos{MX)^<7,

la somme s étendant à la surface de la demi^sphère qui est située par rapport au plan tangent d'un méme.c6té que la partie du corps considérée. Or, d'après le théorème I, si l'on nomme //cT l'élément de surface du grand cercle sui'^ van t lequel le plan tangent coupe la sphère , on a la relation

— y ces (MX) drr -hf cosMx d ts = o ^

où la première intégrale est celle qu'il s'agit de calculer, et où la seconde intégrale s*étendàla surface du grand cercle et, par suite, a pour valeur ttcosM,. Ainsi, le ihéo* rème est complètement démontré.

Le terme additionnel 7ry(o) cos(M,) est nul dans la loi de la nature^ car, dans cette loi, <p(r) est égal au produit de r par une constante. Ce terme est infini lorsque l'attraction est inversement proportionnelle au cube ou à une puissance jJus élevée de la distance^ il s'ensuit que, pour une loi d'attraction inversement pro" portionnelle au cube ou à une puissance plus élei^ée de la distance^ tout corps exerce sur un point de sa surface une attraction infinie.

Distinction entre les deux directions de la normale à une surface. — Pour appliquer les théorèmes précédents > il faut savoir distinguer la normale extérieure de la nor* maie intérieure, lorsque l'équation de la surface est donnée en coordonnées rectangulaires.

292 MÉCAMQLE RATIONNELLE.

Sotl \'= o l'oqnation de la surface, et posons

Les cosinus des angles que la normale au point P fait aVec les axes des x, des y el des z sont respectivement

dV dV d\

ll-T^, U-^, U^.

dx djr dz

Le radical de la fonction U doit être pris avec le même signe dans les trois cosinus qui répondent à une même direction, mais on ne voit pas à priori quel est le signe qui convient à la normale extérieure , quel est celui qui convient à la normale intérieure.

Pour lever cette ambiguïté, portons sur la normale extérieure à partir du point P, pris sur la surface, une très-petite longueur PP= di^. Quand nous passerons du point P au point P, les accroissements des coordonnées serant

dx = dv eos ( NX ) , dy = dv co%[Kï ) , dz^ dv ces ( NZ).

Par suite, la fonction V, cjui est nulle au point P, aura ail point P' la valeur

td\ /^ dy y^ d\ y^'\ — cos(NX) H-— cos(NY) + ^cos(NZ) J,

ou bien ,

D'après cette expression , où d{^ est essentiellement positif, on a la règle suivante : Le radical qm entre dans les valeurs des cosinus relatifs à la normale extérieure doit être pris positif ou négatif suivant que la fonction V devient positivée ou négatii^e pour les points extérieurs au corps et situés dans le voisinage du pied de la normale.

SïAXlQDE. 2^3

Expression de Vêlement de suif ace en coordonnées curvilignes. — Les intégrales qui font l'objet des théorèmes précédents étant relatives à des surfaces, il convient, pour les évaluer, de prendre comme lignes coordonnées deux lignes tracées sur la surface même et variables suivant une loi conventionnelle avec deux paramètres peiq. Les valeurs de ces paramètres auxquelles correspondent les lignes qui se coupent en un point déterminé de la surface sont les coordonnées de ce point, puisqu'elles en fixent la position.

L'élément de surface ds sera le petit quadrilatère compris entre les lignes correspondantes aux paramètres p, p + dp^qjÇ -h dq, 11 s'agit d'exprimer la surface de ce petit quadrilatère en fonction de p, y, dp et d<f.

Concevons que x,, y et z soient exprimés en p et q^ à l'aide de l'équation de la surface , et des deux relations établies entre ces cinq variables par la définition même des nouvelles lignes coordonnées. Soient X et 7! les dérivées partielles de x par rapport à ;; et à q^ ft et (a' celles de j', v et v' celles de z.

Les sommets du petit quadrilatère ds , pris dans l'ordre où ils se présentent quand on suit le contour dans un même sens, ayant pour coordonnées , dans le nouveau système,

coordonnées des mêmes sommets seront , dans le système rectangulaire,

X H- ). dpy jK -f- I* dp, z -f- V dp,