X -h \dp -4- \'dq, y -^^dp -h Y-'dq, z + ^dp -\- -* dq
a: -f- V dq, y -f- Y-' dq, z -f- -*' dq.
Or, si l'on nomme (.rj , j, ), (x, , y^)^ (Xs , Ja) , (j^4, r*) les coordonnées des sommets d'un quadrilatère plan, rangés dans l'ordre où ils se présentent quand on suit le contour dans un même sens , la surface du quadrilatère
294 MÉCANIQUE RAT lOIVn ELLE:.
est représentée par la somme
(jf.^a,] — ^ h{x,~ar,) — —
prise en valeur numérique.
Appliquant cette formule générale aux quadrilatères qui sont les projections du quadrilatère ds sur les plans coordonnés , on trouve que les projections sur les plans XOY, YOZ j ZOX sont respectivement
±(V-pV)rf/?rfy, ±(piv'-vpt')rf^£fy, zt{^V'^W)dpdr, par suite, la surface du quadrilatère est
(E) £/^=£f;7rf^[(V~ptV)'-h (p'-vft')'+(vV-.V)>f .
2. Jusqu'ici rien n*est particulier à Fellipsoïde, ni même à la loi de l'attraction «
Actuellement calculons V attraction quun ellipsoïde homogène y terminé par la surface
exerce suwant la loi de la nature sur un point M, do coordonnées a^b^e.
Posant
et
ou a,
^r\ Ai' B' tl' J
Si, entre les coordonnées rectangulaires d'un point de la surface et l^s coordonnées curvilignes p^ g ^ on établit les deux relations
z = C siii/-> sin 7, j = B sin/? cas </, Téquation de la surface donne la troisième relation ,
' X = Al cosp.
D'après ces trois relations cl la formule (E), Texpression de l'élément de surface en coordonnées curvilignes est
ds = ABC '^sinpdpdq.
On prend ici le signe -h; car on embrasse toute la surface de l'ellipsoïde en faisant varier ^^ de o à tt et ^ de o à 2 7r, et entre ces limites sinp reste positif.
Soient /ji l'attraction de l'unité de masse à l'unité de distance, p la densité supposée constante, X l'attraction
exercée suivant l'axe des x, et £ la quantité -7-r — •
* ABC f*p
On a, d'après le théorème III,
Ar
et, d'après le théorème \T,
Déplus, le théorème IV dit que l'intégrale
1296 MÉCANIQUE RATIÛMNELLE.
est égale à o quand le point attiré est extérieur, et égale
à — -^7 quand le point attîré est intérieur. *
A Taide de ces formules on peut arriver à connaître la valeur de Ç, en comparant Fattraction de Tellipsoïde donné avec celle des ellipsoïdes homofocaux. Pour cela, on considère A, B, C comme des valeurs particulières attribuées à des va^riables oL^^^y qui sont assujetties aux relations
a' — p* = const. , a» — y' = const.
Alors la formule (i ) , appliquée à l'un quelconque des ellip* soldes homofocaux , peut s'écrire
Si Ton étend cette formule à un ellipsoïde homofocal infiniment voisin, ce qui se fait par une différentiatiou relative aux variables a, (3, y, et que l'on désigne par la caractéristique d les accroissements correspondants aux accroissements simultanés de ces variables, il vient
Or,
comme l'on a, d'après les expressions de x, y, z en p et 7,
et d'ailleurs ,
on peut écrire
La' P' y' J
Cette formule , combinée avec celle quî précède , donne , en observant que a cos p = t,
Si de cette équation on retranche l'équation (2) multipliée par âoL et appliquée à un ellipsoïde homofocal quel* conque, il vient
L'intégrale qui figure ici n'est autre que l'intégrale (3)^ par conséquent y on a
quand le point attiré est extérieur, et
quand le point attiré est intérieur. Il n'y a pas lieu à considérer ici le cas où le point attiré est situé sur la surface; car, dans ce cas, on ne peut faire varier a sans que le point ne devienne extérieur ou intérieur.
Point extérieur, — L'équation (4) montre que les attractions de deux ellipsoïdes homofocaux sur un même point extérieur sont dirigées suivant la même droite, et sont proportionnelles aux masses des ellipsoïdes. Cette proposition étant vraie quelle que soit la distance du point à la surface, il s'ensuit que la proposition est encore
agS MÉCANIQIE llAïiOMVELLE.
applicable lorsque le point attiré est situé sur la surface ^ pourvu, toutefois, que Tattraction varie d'une manière continue quand le point attiré s'approche de la surface jusqu'au contact. Cette condition est satisfaite dans la
loi de la nature; car l'attraction — de l'élément de masse
qui est infiniment rapproché du point attiré, est un infiniment petit qui disparait à la limite dans l'attraction totale, puisque dm est un infiniment petit du troisième ordre et r* un infiniment petit du second ordre.
D'après cela , pour a^oir V attraction d'un ellipsoïde sur un point extérieur, il faudra d abord déterminer, parmi les ellipsoïdes homofocaux à l 'ellipsoïde donné , celui dont la surface passe au point attiré y puis calculer Vattraction de ce nouvel ellipsoïde sur le point donné, lequel est situé à la surface; et enfin rédidre Vattraction obtenue dans le rapport de la niasse de V ellipsoïde donné à la masse de V ellipsoïde homofocal. La première partie du calcul se réduit à la résolution d'une équation du troisième degré qui donne toujours une solution unique. La seconde partie sera comprise comme cas particulier dans le calcul de l'attraction d'un ellipsoïde sur un point intérieur.
Point intérieur. — Il faut se servir de l'équation (5), y substituer à (3, y leurs valeurs en a, A,^B, C, tirées des relations
puis , posant — = z/, on devra intégrer à partir d'une valeur de u pour laquelle Ç soit nul , jusqu'à la valeur m = i qui répond à l'ellipsoïde considéré. Or l'équation (i), dans laquelle on remplace A par a, montre que Ç est nul lorsque a est infini ; car alors tous les éléments de Tintégrale sont nuls. Les limites seront donc m = o et ri = i j
et l'on aura finalement, pour un point intérieur,
Cette valeur étant exacte, quelque rapproché de la surface que soit le point attiré, elle conviendra lorsque ce point sera situé sur la surface. On en déduira facilement les théorèmes de Newton étendus à un elh'psoïde quelconque.
L'intégrale, qui entre dans la formule (6) ne peut s'obtenir sous forme finie que dans le seul cas où l'ellipsoïde est de révolution.
Supposons que Vellipsoïde soit de réi^olution autour de l'axe des x.
Il faut poser B = C ; alors , désignant par u une quantité égale à Tunité quand le point attiré est intérieur ou situé sur la surface, et égale à la racine positive de Téquation
quand le point attiré est extérieur, on arrive aux formules suivantes :
1**. B' > A* ; Vellipsoïde est aplati, gj A
Posant X* = 7- — I ; en sorte que - X soit l'excentri-
cité de l'ellipse méridienne, on a, d'après la formule (6) et les formules analogues relatives aux deux autres axes coordonnés ,
A\i — arc tangXu
il) { ^ ^y
* arc tang>u —
3oO MÉGÂMIQUE RATIONNELLE.
2° B* <^ A* 5 YeUipsoïde est allongé.
Les formules (7) subsistent encore, pourvu que ron y regarde X comme une quantité imaginaire, égale aupro-
duit de l'excentricité i/ 1 — — par le symbole \J — i.
Pour mettre ces formules sous forme réelle, il suffit de
poser ■■■ ■ =9; alors 9 représente l'excentricité de l'el-
lipse méridienne, et l'on a
— Ou + - log -
X = — 47rfxp«(l-G'^ ,
0v 1 14- Ou
Y Z , , I — ô'u»"" 2 ^^ iT^^
L'attraction perpendiculaire à Taxe de révolution se déduit de la valeur de Y, en ren^plaçant b par la distance de l'axe au point attiré, \/è*+c'.
3. Démontrer qu'un ellipsoïde homogène y de résolution, et faiblement aplati, exerce sur un point de sa sur/ace une attraction qui varie a^ec la position de ce point proportionnellement au sinus can^ de la latitude. On néglige la quatrième puissance de Vexcentiicité,
Conservons la notation de la question précédente.
Il nous faut poser dans les formules (7) v = i , et développer suivant les puissances ascendantes de X en nous arrêtant à la troisième puissance.
Nous avons
arc tang> = ^ — 0 -+- ^ — • • • >
STATIQUE. 3ai
et de même
d'où résulte la valeur approchée de T attraction totale ,
ou bien, posant a*-f-fc*-l-c* =r',
Ceci posé^ désignons par / la latitude du point attiré^ c est-à-dire l'angle aigu que la normale à la surface en ce point fait avec le plau de Téquateur. Nous avons, toujours au même degré d'approximation ,
cos/= 5^£li^L===v'^'4-c'[r'-f.X»/ï'(2-hX»)r"ï
"Vkv,
sin/=- -+-HXS
K et H désignant des quantités indépendantes de X. Ayant égard à ces valeurs, l'expression de G peut s'écrire
ce qui démontre le théorème.
3oa MÉCANIQUE RATIONNELLE*
Corollaire. — Quand on pose
il vient
sin'/,= i,
G=|«r.pe.
On déduit de là cette conséquence remarquable : Un ellipsoïde homogène , de réx^olution , et faiblement aplati, exerce sur un point matériel situé à sa surface
sur le parallèle où le sinus de la latitude est --—') une
attraction égale à celle que produirait une sphère de même matière, de même centre^ et qui passerait au point attiré. Mais il ne faut pas oublier que l'on néglige ici la quatrième puissance de l'excentricité.
De plus y on s'assurera facilement que la sphère dont il s'agit a même "volume que V ellipsoïde, toujours au même degré d'approximation.
On applique fréquemment ces résultats à la terre.
4. On suppose la masse d'une planète répartie sur chaque point de son orbite , en raison inv^erse de sa vi* tesse à ce point. Calculer l'attraction que l'anneau elliptique ainsi formé exerce sur un point extérieur quelconque, mais assez éloigné pour qu'on puisse regarder Panneau comme une ligne matérielle sans épaisseur, quoique de densité variable.
Soient
Féquation de l'orbite, e rexcentricilé, u Tanomalie excentrique de la planète , T la durée de la révolution et t le temps compté à partir du passage au périhélie.
STATIQUE. 3o3
On aura
i = u — f sin // , T
et , en différentiant ,
T dt= — (i — e cosa) du,
