TT

D'après cette dernière formule , la masse de l'élément de Tanneau qui répond à l'accroissemeut du de l'anomalie excentrique , aura une expression de la forme

du(i — é?cosa)Xconst.

Gomme, par hypothèse, la masse entière de l'anneau doit être égale à la masse de la planète , la constante sera le quotient de la masse de la planète par le nombre 27:.

Soient m la masse delà planète-,

x = A^j=:li^ 2 = Cles coordonnées du point attiré ;

fjt l'attraction que l'unité de masse , située à l'unité de distance , exercerait sur ce point •,

X , Y, Z les composantes de l'attraction suivant les axes;

p la distance du point attiré au point (a:, jr) de l'anneau.

Si l'on observe que les coordonnées a: = acosi/, y=::asinu représentent un point quelconque de l'ellipse, on. trouve

(i) p' = (A — rtc6s«)'4-(B — ^sin«)'-t-C%

^^ Jo

^^ (i — e cos II) (\ — «cos«) ,

1 i— i i. gfii

^^(1 — é?cosM) (B — b sinw)

du,

2 7rJo ^'

3o4 MÉCANIQUE RATIOISNELLE.

Ces intégrales se ramènent aux fonctions elliptiquesi Pour effectuer cette réduction , on pose

/? + ^jtang?.

tang^- = 1 =7+ P ^ ;

i + ftang-î- i-4-ftang-

d'où il suit

/ cosu

L i 1.^ cosff -h {i— pq) s sm^ -h l

sinu

{/? — <7 j») coS(p -f- (/? + <?) ^ siny -hf? H- <? 5'

— — ^^ ^-^cos<p4-(i-h/?y)f sin<|pH ^ i i-^

da-

(q — p)sdff

On substitue ces valeurs dans les intégrales qui précèdent, puis on détermine p^ q^ s par la condition que^ dans le numérateur de p*, les coefficients de cosy , de siny et du produit cosip sin^ soient nuls.

Alors les trois intégrales qu'il s'agit de calculer prennent la forme

^'^ Kcos'«p-t-Lsin'<p-hMsiii(pcos^-+-Ncosf -f-Psin^ rfy^

(G cos^H- G'sin*(j> + G")'

K, L,, M, N, P, G, G', G" étant des constantes. Elles se décomposent en autant d'intégrales particulières qu'il y a de termes au numérateur. Or, parmi ces dernières intégrales , celles qui oiit au numérateur sous le signe /, soit COS9, soitsinip, soit cosy sinip, sont nulles^ puisque leurs éléments sont deux à deux égaux et de signe

STATIQUE. 3o5

contraire. Quant aux intégrales qui ont au numérateur cos'y ou sin*<p, on pourra les prendre entre les limites

o et -1 pourvu que Ton multiplie le résultat par 4- De

plus, la quantité comprise sous le radical du dénominateur peut se mettre sous la forme i — c* sin*(}>, en

remplaçant, s'il est nécessaire, ç par y, ce qui ne

modifie point les limites de l'intégrale. Le problème est donc ramené à calculer les deux intégrales

7r it

u== f ^^^> ^d,, y= r ii^

X (i~c>sin>)' Jo (i — c^sin'

En intégrant par parties, il vient

t/o yi — c'sm'ep Jo yi — c'sin'ç