TT TT
r^ . , cos© r^ COS^Œ
%/o yï — c^sm^y Jo y^"— ^'sin*<p
d'où
rc
c/o y I — c'sm'y
et aussi
c/o y I — c'sm'y
F (c) et E [c] représentant les intégrales elliptiques complètes de première et de seconde espèce, lesquelles ont des valeurs tout aussi bien connues que celles des sinus et II. 2o
3o6 MÉCANIQUE RATIONIVELLE.
des cosinus. Les intégrales U et V sont donc déterminées ;
La détermination des coeflScientsp, q^ s conduit à des calculs un peu longs. C'est pourquoi il ne sera pas sans utilité de montrer comment ces calculs, qui se présentent souvent dans les réductions aux intégrales elliptiques, peuvent se ramener à d'autres calculs bien connus, dont les résultats se trouï^ent dans tous les Traités élémentaires de Géométrie analytique.
Les valeurs de sînu et de cosm qui résultent des équations (2) sont de la forme
!a ces ç + a' sin cp -h et" 7COS(p4-7 smy-hv"
!,,-„, Pcos?4>p-siny+r \ ycos^ -i-y'sinep + 7"
Les conditions
cos' u -h siii' u = ces' (p 4- sin' y = i exigent quôn ait les relations
a» 4-p' ^y^ =H, ««'-h pp' — 77'=:o,
a'» -t- p'^ — ^'» = H , aV + p'p"— 7'7'' = o ,
-a'''-^p"' + 7''^=H, a"a-hp''p-7''7 = o,
OÙ H désigne une quantité qui , dans le cas actuel, est égale à s^ (q — /?)'. On pourra dorénavant supposer H égal à Funité, pourvu que Ton entende par a, /3, y, ..., les quotients de ces quantités par s (q — p).
Alors les quantités
STATIQUE. So'f
P, P', pV-i,
satisferont à toutes les relations des neuf cosinus qui lient deux systèmes d'axes rectangulaires.
Or, si l'on substitue dans l'expression
(5) (Azv/=:T-ûa-)V(B^v^:=^~^r)'4-C«(zv/^)',
les valeurs
puis que l'on fasse
jr'=:cos«p, j'=sin^, z'^ — i = i>
on obtient le numérateur de la fraction sous laquelle se présente p* quand on substitue les valeurs (3) dans l'expression (i).
D'après cela, on aura les valeurs des coefficients^ , 9,5, G, G', G'^, en déterminant les cosinus «, (3, — y\ — i, etc., par la condition que les axes des x'^y^ 2' coïncident avec les axes principaux de la surface du second degré que l'on obtient en égalant l'expression (5) à une constante Q, savoir :
— nBb^—i yz — iXa sj — i 20? = Q.
Ainsi on est ramené à un calcul connu, à l'aide de symboles imaginaires qui disparaîtront d'eux-mêmes dans les résultats.
3o8 MÉCAI^lQUE RATIONNELLE.
Écrivant que réqualion transformée, qu'il s'agit d'obtenir,
(6) Gx"-f-G>'»+G''(2V^y = Q>
devient identique à l'équation primitive, lorsqu'on y remplace x' ^ y\ z' par leurs valeurs en x^y^ 2, on obtient les relations
Gp'-+-G'p'»-f-G"p'"=^>%
— Gp7 — G'p'7'— G"p''7"= — B^,
- G7a — G'7'a'— G'7"a''= - Aa, Gap -f- G'a'P'H- G"a"p''=: o.
Si Ton élimine entre ces équations les inconnues G^ et C, en se servant des relations (4) où Ton a fait H=:i, il vient
(G — fl')a+Art7 = o,
Pour que ces équations soient compatibles, a, jS et 7 n'étant point nuls , il faut que le dénominateur commun des valeurs de a, j3, y, que Ton en déduirait par les formules ordinaires de résolution , si les seconds membres étaient différents de zéro, soit identiquement nul. C'està-dire que Ton doit avoir
(G — û^)(G— ^')(G-hA'-hB»-f-C') -4- B'^' (G — fl') -h A» a' (G — h-") = o,
ou, ce qui est la même équation ,
STATIQUE. 3o9
Si Ton avait élimine de la même manière G'^ et G, ou serait arrivé à une équation pareille 5 et si l'on avait éliminéG et G', on serait arrivé à une équation qui ne diffère de l'équation précédente que par le changement de G en , — G''; donc les trois racines de l'équation (8) sont G, G'
et — G''. L'une de ces racines est négative 5 les deux autres sont positives, et, si l'on suppose a ]> 6, elles sont j comprises entre o et i*, b^ et a*. La racine négative est
I la valeur de — G"*, car, si elle était la valeur de G ou de
G', la distance p serait imaginaire pour 9=5=0 ou pour
TT
(P = -• Ces racines étant déterminées, on aura les valeurs
de p^ q^ s^ par trois des équations (7).
L'hyper boloïde réel que représente l'équation (6) pourrait être de révolution •, alors un des cosinus serait indéterminé, il en serait de même pour l'une des quantités /;, ^, s. C'est que, dans ce cas, il n'y aurait pas lieu de ramener nos intégrales aux transcendantes elliptiques \ elles ne contiendraient sous le signe / que des fonctions rationnelles de sinw et de cosm, en sorte qu'on pourrait effectuer les intégrations.
En effet, ce cas est celui où Téquation (8) aurait deux
racines égales; or on voit, par un calcul semblable a
celui de la page 5o (prob. 5), que, si l'équation (8) a
deux racines égales, leur valeur commune est è', et
l'on a
C'est-à-dire que le point attiré se trouve sur une hyperbole, située dans un plan perpendiculaire à celui de l'ellipse formée par l'anneau, et dont les sommets et les foyers sont respectivement les foyers et les sommets de l'ellip&e. Ou sait qu'une telle hyperbole est le lieu des points de l'espace dont la distance à l'un quelconque des points de
3lO MÉGAMIQVE RATIONNELLE.
Tellipse s'exprime rationnellement en fonction des coordonnées de ce dernier point.
Le problème que nous venons de résoudre est susceptible de fournir une nouvelle méthode pour le calcul des inégalités séculaires des planètes. Car ces inégalités, dont les périodes embrassent plusieurs centaines de siècles, sont indépendantes de la longitude des planètes perturbatrices, et, par conséquent, elles seraient les mêmes si Ja masse de chaque planète perturbatrice était répartie sur son orbite, en raison inverse de la vitesse. C'est en vue de cette application que Gauss a résolu pour la première fois la question qui nous occupe ici [Comment , Gottingens,^ t. IV ). M. Clausen en a donné depuis une solution pKis simple {Journal de M. Crelle, t. VI, p. 290; i83o).
THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR l'aTTRACTION.
A Tépoque de Laplace, tout ce que Ton savait sur l'attraction d'un corps de figure quelconque se bornait presque à quelques méthodes générales pour aborder le problème à Laide des séries. Cependant Coulomb avait déjà découvert que les fluides électriques s'attirent ou se repoussent en raison inverse du carré de la distance. Ce résultat inattendu ouvrait une vaste carrière aux applications de la théorie générale, et semblait inviter les géomètres longtemps arrêtés par la difficulté prétendue du sujet.
Un géomètre anglais, George Green (^), parvint en
(') ilrt Essaj on ihe ÀpplicaLion o/ maihematical analysis to the théories 0/ Electricity and Maffnetism: Notliïiffham, 1818. —On a entrepris la reproduction de ce Mémoire dans le Journal de M. Crelle, t, XXXIX. p. 7^ ; t XUV, p. ^ST).
STATIQUE. Su
1828 à quelques théorèmes généraux d'un haut intérêt; mais son Mémoire resta presque inconnu sur le continent. Dix ans plus tard, Gauss (*) et M. Chasles (•) retrouvèrent séparément les théorèmes de Green par des méthodes différentes, et ajoutèrent plusieurs autres propositions remarquables. Nous démontrerons ces théorèmes, d'abord par la méthode de M. Chasles, puis par la méthode de Green.
Dans tous les théorèmes qui suivent, nous prendrons pour unité de force l'attraction de Tunitéde masse s'exerçant à l'unité de distance, sur l'unité de masse quand il s'agira d'un corps , sur l'unité de surface quand il s'agira d'une surface, sur le point considéré quand il s'agira d'un point.
1. Si ton considère r attraction d'un corps sur les éléments superjîcials d'une surf ace fermée et d'ailleurs quelconque, la somme des attractions exercées suis^ant la normale intérieure à la surface est égale au produit de ^t: par la masse de la partie du corps qui est située dans r intérieur de la surface.
Soient ds l'élément de la surface, r sa distance à l'élément de masse dm du corps attirant, et (NM) l'angle que la normale extérieure fait avec le rayon qui joint l'élément ds à la molécule attirante dm. L'action de cette molécule, estimée suivant la normale intérieure,
1,. ^ , , /*cos(NM) ,
sera représentée par 1 intégrale — dm I — ^-^ — - ds ^
étendue à toute la surface. Or (p. 287, théorème IV) l'in-
(*) Resultate aus den Beobachtunfren des magnetischen Vereins im Jahre 1839; Leipzig, i8/|0. — Journal de M. Liouville, t. Vil , p. 2^3.
{ ') Cowp les rendus de l'Acnd. drsSr, de Paris, i83f), i*""^ sem,, p. J09. — Additions h In Connaissance des Temps pour r8/}?>
3ia MÉCANIQUE RATIONNELLE.
/\ , , /•cos(MN), „ . 1 ^ y
tegrale I ^-^ — ^rfj est nulle ou égale a — 47^ 9 suivant
que la molécule dm est extérieure ou intérieure à la surface. De là suit évidemment le théorème annoncé.
2. Imaginons un canal infiniment étroit , dont les parois latérales soient normales à toutes les surfaces de niveau du corps attirant \ et nommons éléments correspondants les éléments des surfaces de niveau découpés par ce canal. Nous aurons ce théorème :
La différence des attractions du corps sur deux- é/ements correspondants est égale au produit de ^tz par la masse de la portion du corps qui est renfermée dans le canal entre les deux éléments correspondants. En particulier, les attractions sont égales sur les éléments correspondants extérieurs au corps.
Pour le démontrer, il suffit d'appliquer le théorème précédent à la surface fermée qui se compose des parois du canal et des deux éléments correspondants. Car les attractions sur ces éléments leur sont normales , et la composante normale de l'attraction sur un élément de la paroi du tube est nulle (p. 282).
3. Nous appellerons couche de nis^eau relative à l'attraction du corps, une couche matérielle infiniment mince, d'épaisseur constante, appliquée intérieurement suv une surface de niveau, et dont la densité en chaque point est proportionnelle à l'attraction du corps sur ce point. Nous nommerons éléments de masse correspond' dants les éléments découpés sur les couches de niveau par un même canal infiniment étroit , normal à toutes les surfaces de niveau.
Deux éléments de masse correspondants , situés sur deux couches extérieures au corps, sont entre eux comme les masses des couches auxquelles ils appartiennent.
STATIQUE. 3l3
En effet , soient
m^^ m^ les masses des deux couches;
r/m,, drrî^ les deux éléments de masse correspondants;
ds ^ ds' les éléments superficiels correspondants qui leur servent de bases;
V, V^ les potentiels du corps relatifs aux deux surfaces de niveau ;
dn^ dn! les éléments des normales intérieures* à ces deux surfaces qui sont compris entre ces surfaces et les surfaces de niveau intérieures infiniment voisines ;
e le rapport constant entre le produit de l'épaisseur par la densité et l'attraction sur chaque élément de la couche /Tîi ;
î! le rapport analogue pour la couche m', .
Les attractions du corps suj* les éléments ds^ ds' sont respectivement
Par suite , on a
. d\ , , , ,dS' .,
dm, = t -r- as , dm, = s -p-r ds , dn dn'
Or, si les surfaces de niveau sont extérieures au corps , on a, d'après le théorème précédent,
dW d\'
-ds = -^ds',
et aussi
car les deux surfaces de niveau se composent d'im même nombre d'éléments deux à deux correspondants. Il s'en-
3l4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
suit
dm\ m\ e'
Si une partie du corps attirant était renfermée dans le canal entre les deux surfaces de niveau , nommant dm^ la masse de cette partie du corps , et mj la masse de toute la portion du corps comprise entre les deux surfaces de niveau, on aurait (n° 2) , en supposant que la couche /Wi soit extérieure à la couche nl^ ,
dn dn'
rdV ^ rdY'^ ,
et, par suite,
dm , AW , e
dm\-^- ^irt'dm^ 772', -f- 4^^'^» ^'
4. On voit par ce qui précède que les surfaces de niveau jouissent de propriétés différentes suivant qu'elles sont extérieures ou intérieures au corps. Occupons -nous d'abord des surfaces de niveau et des couches entièrement extérieures au corps.
Si, pour abréger, nous nommons point extérieur ou intérieur à la couche, un point extérieur ou intérieur à la surface de niveau sur laquelle cette couche est construite, nous avons d'abord ce théorème :
Les attractions exercées par deu± couches extérieures au corps sur un même point extérieur à chacune d'elles ont la même direction ^ et ont des intensités proportionnelles aux masses des deux couches.
Une couche extérieure an corps n'exerce aucune action sur un point situé dans l'intérieur de cette couche.
Conservons la notation prérédenle^ de plus, nommons m la masse du corps, V, le potentiel de la couche m i par rap-
STATIQUE. 3l5
port à un point M extérieur ou intérieur, r la distance du point M à l'un quelconque des éléments de la couche \ et marquons par la caractéristique (J les variations qu'éprouvent les quantités considérées, quand on passe d'une couche à une autre couche infiniment voisine, intérieure à la première.
On a , par définition ,
Puisque — ^ reste constant dans l'intérieur d'un même canal (n*^ 3), il s'ensuit
\mj J m, r"
Or, si l'on représente par (NM) l'angle que la normale extérieure à la surface de niveau fait avec le rayon qui joint l'élément de cette surface au point M , on a la relation
^/•=(îrt cos(NM); d'ailleurs
dntx =: e-T— as, 6n
Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, il vient
ces ( NM ) ds
L'intégrale qui figure ici est nulle si le point M est extérieur h la surface; elle est égale à — 4^ si le point M est intérieur (p. 287, théorème IV). Donc, dans le ca3 d'un
point extérieur, le rapport — 11c varie pas d'une couche
3l6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
à une autre, ce qu on peut énoncer ainsi : Le potentiel d'une couche extérieure relatif' à un point extérieur est à la masse de la couche dans un rapport constant , quelle que soit la couche.
Pour en conclure la première partie du théorème annoncé , il suffit d'observer que les composantes de T attraction de chacune des deux couches suivant trois axes rectangulaires, sont les dérivées parlielles du potentiel par rapport aux coordonnées du point attiré.
Dans le cas d'un point intérieur, la formule (A) devient
Or (u«* 1 et 3)
Par suite,
rtix m
Cette dernière égalité exprime que le potentiel d'une couche extérieure relatif à un point situé dans son intérieur est à la masse de cette couche ^ comme le potentiel du corps relatif à un point quelconque de la couche est à la masse du corps.
Ainsi, le potentiel d'une couche extérieure relatif à un point intérieur à cette couche est constant^ quel que soit ce point. Il en résulte que l'attraction de la couche sur le point est nulle , ce qui est la seconde partie du théorème.
Corollaire I. — Les couches extérieures au corps ont toutes les mêmes surfaces de niveau extérieures. Car, d'après la proportionnalité qui existe entre les masses des couches et leurs potentiels sur un même poin t extérieur,
si le potentiel d'une couche est constant sur toute Tétendue d'une surface extérieure à cette couche, le potentiel d'une autre couche intérieure à celte surface est aussi constant sur toute l'étendue de la surface.
Corollaire II. — La propriété d'une couche extérieure 5 d'après laquelle son potentiel relatif à un point intérieur reste constant quand ce point se déplace , subsisté, quelque rapproché que soit ce point de la surface de niveau sur laquelle cette couche est construite. Elle subsiste encore à la limite quand le point se déplace sur la surface de niveau elle-même; car le potentiel varie d*une manière continue quand le point attiré arrive sur la surface du corps attirant. En effet, le potentiel est de même ordre de grandeur que la masse de la couche, tant que le point attiré est à une distance finie ; il sera , si l'on veut, un infiniment petit de premier ordre , puisque la couche est infiniment mince e Quand le point attiré s'approche d'une manière continue jusqu'à pénétrer dans la
couche, l'élément — du potentiel, qui répond à l'élément de la couche infiniment voisin du point attiré , est un infiniment petit du second ordre , puisque dm est du troisième ordre et r du premier \ donc cet élément n'a aucune influence sur la valeur du potentiel, et, par conséquent , il n'y a aucune raison pour que le potentiel varie brusquement (*). Il s'ensuit que toute surface de niveau extérieure au corps est aussi surface d^ niveau relativement à la couche construite sur cette surface.
Comme d'ailleurs les couches extérieures ont toutes les mêmes surfaces de niveau extérieures, nous pouvons en
(' ) Il n'en est point de même pour l'attraction d'une couche infiniment mince. Le même raisonnement montre que cette attraction peut varier brusquement quand le point attire pértètre dans la couche.
3l8 MÉCANIQUE KATIOIN WELLE.
conclure cfue toute couche extérieure a pour surfaces (le nis^eau extérieures , les surfaces de niv^eau du corps y en sorte que V attraction du corps et V attraction d'une couche extérieure sur un même point extérieur à la couche ont même direction.
Mais il y a plus : les intensités de ces attractions sont entre elles comme la masse du corps est à la masse de la couche. En effet, considérons la couche construite sur la surface de niveau qui passe au point attiré ; et soient m\ la masse de cette couche, V^ son potentiel relatif au point. D'après la loi de continuité que nous avons établie relativement au potentiel, le point attiré peut être regardé, soit comme intérieur à la couche n/, , soit comme extérieur, et, par conséquent, nous avons les deux relations
doù
ce qui démontre la proposition.
CoROLLAïKE III. — Nous avons vu que les potentiels de deux couches extérieures au corps sur un même point extérieur à chacune d'elles, sont entre eux comme les masses des deux couches. D'après la loi de continuité, ceci subsiste lors même que le point attiré est sur la surface de la couche qui enveloppe F autre. Mais, dans ce cas, le potentiel de cette dernière couche sur le point considéré est le même que le potentiel sur un point intérieur, le même par conséquent que le potentiel sur un point de la seconde couche. On a donc ce théorème : Le potentiel d'une couche extérieure au corps relatif à un point situé sur la surface d'une autre couche exté-
STATIQUE. 3l9
rieure^ est au potentiel de cette seconde couche relatif à un point de la surface de la première , comme la masse de cette première couche est à la masse de la seconde.
5. Considérons maintenant des surfaces de niveau quelconques extérieures, intérieures au corps, ou bien en partie extérieures et en partie intérieures.
Pour simplifier les résultats, nous admettrons que le rapporte, entre le produit de l'épaisseur par la densité et l'attraction, ait la même valeur sur toutes les couches. II en résultera (n° 1) que la massie d'une couche quelconque sera le produit de la constante ^i:£ par la masse de la partie du corps qui est intérieure à la surface de niveau sur laquelle cette couche est construite.
Ceci posé, démontrons la proposition suivante :
L'attraction exercée sur un point quelconque par la partie du corps qui est comprise entre deux surfaces de niweau , multipliée par le rapport constant de la masse d!une couche à la masse de la partie du corps qui est intérieure à cette couche, est égale à la résultante des attractions des couches constiniites sur les deux surfaces de ni\^eaUy V attraction de la couche intérieure à Vautre étant prise en signe contraire.
Conservant la notation précédente, le potentiel d'une couche sur un point extérieur ou intérieur M est représenté par l'intégrale
Lorsqu'on passe de la couche considérée à une couche infiniment voisine, intérieure à la première, ce potentiel varie de la quantité
320 MÉCANIQLE RATIOMVEXLE.
Or, si Ton nomme rf/w, rélémenl de masse delà partie du ( orps qui est comprise entre les deux surfaces de niveau iiiiiniment voisines dans Tintérieur du canal dont la base est ds^ on a , d'après le n^ 2 ,
Par suite,
JVj désignant le potentiel relatif à Faction que la partie du corps comprise entre les deux surfaces de niveau infiniment voisines exerce sur le point M.
D'autre part, la relation déjà citée,
Sr= ^/îcos(NM), donne
J Bn r^ J r»
La variation d\ étant la même sur tous les éléments ds de la surface de niveau, on peut faire sortir ce facteur hors du signe d'intégration, et il vient (page 287, théorème IV)
(E) j--cis^o,
ou bien
4ïir..=-4..v,
suivant que le point M est extérieur ou intérieur aux deux surfaces de niveau infiniment voisines.
Supposons d'abord que le point attiré soit extérieur à la première couche.
La substitution des valeurs (D) et (E) dans Téquatiou (C) donne
Intégrant à partir de la couche considérée, jusqu'à une couche intérieure quelconque dont le potentiel sera représenté par V, , il vient l'équation
v,-r.=4trcv,,
où Vj représente le potentiel relatif à l'action exercée sur le point par la portion du corps qui est comprise entre les surfaces de niveau sue lesquelles sont construites les deux couches.
Maintenant, pour démontrer le théorème , dans le cas où le point attiré est extérieur aux deux couches, il suffit de différentier Téquation précédente par rapport aux coordonnées du point attiré.
Supposons en second lieu que le point attiré soit intérieur à la première couche.
Dans ce cas, l'équation (C) devient
^V,=: — 47rfid"V,4-47r6^V.
Intégrant depuis la couche considérée, jusqu'à une couche intérieure quelconque , mais dont la surface externe soit extérieure au point attiré, il vient l'équation
V, — V, = 47re V, H- 47r£ (V ~ V),
dans laquelle V et V représentent les valeurs du pote miel relatif à l'action du corps sur les deux surfaces de niveau qui portent les deux couches.
Cette équation exprime une propriété remarquable du potentiel de deux couches quelconques sur un point intérieur à chacune d'elles. Il est aisé de voir qu'elle s'étend
3aa MÉCANIQUE IlATIOlfIfELLE.
au cas où le point attiré serait compris dans l'intervalle des deux couches, pourvu que Ton entende par Y' le potentiel du corps sur la surface de niveau qui passe au point attiré.
Si Ton différentie cette équation par rapport aux coordonnées du point attiré, il ne reste aucune trace du terme V — V, et le résultat exprime le théorème que nous voulons démontrer, dans le cas où le point attiré est intérieur aux deux couches.
Enfin , le théorème subsiste encore quand le point attiré est compris dans F intervalle des deux couches données. Pour s'en assurer, il suflSt d'appliquer successivement le théorème à chacune des deux couches comparée à xme troisième couche construite sur la surface qui passe au point attiré.
6. Une couche quelconque et la partie du corps qui lui est intérieure exercent sur un même point extérieur à la couche , des attractions qui ont la même direction, et dont les intensités sont dans le rapport de la masse de la couche à la masse de la partie du corps qui lui est intérieure. — Une couche quelconque et la partie du corps qui lui est extérieure exercent sur un même point intérieur à la couche y des attractions dirigées en sens contraire, et dont les intensités sont dans le rapport de la masse de la couche à la masse de la partie du corps qui lui est intérieure»
En effet, dans le théorème précédent, prenons pour la couche intérieure à l'autre , celle qui est construite sur la surface de niveau enveloppée par toutes les autres, cette surface pouvant se réduire à une ligne ou à un point. L'attraction de cette couche sera nulle ; car la surface de niveau intérieure à toutes les autres répond à un maxi-
mum du potentiel, et, par suite, la dérivée — est nulle
STATIQUE. 3a3
sur cette surface. D'ailleurs la partie du corps comprise entre les deux couches sera toute la partie du corps intérieure à la première. Donc l'action de la première couche et l'action de la partie du corps intérieure à cette couche, sur un même point extérieur, ont la même direction , et leurs intensités sont dans le rapport des masses.
Dans le même théorème , prenons pour la couche extérieure à l'autre , une couche entièrement extérieure au corps ; cette couche n'exercera aucune action sur un point intérieur (n° 4). Donc l'action de l'autre couche et celle de la partie du corps extérieure a cette couche , sur un même point intérieur, ont des direc lions opposées , et leurs intensités sont dans le rapport de la masse de la couche à celle de la portion du corps qui lui est intérieure.
Si l'on admet que la masse d'une couche soit égale à celle de la portion du corps qui lui est intérieure , ce qui revient à supposer dans les formules 4 ''^s = 1 9 on a cei énoncé plus simple :
Une couche (Quelconque exerce sur les points extérieurs la même action que la partie du corps qui lui est intérieure^p et sur les points intérieurs une action égale et contraire à celle de la partie du corps qui lui est extérieure.
Ce dernier théorème ne se trouve pas dans le travail de M. Chasles 5 la démonstration qui précède est de M. J. Bertrand. Au reste, ce théorème est une conséquence immédiate de la théorie de George Green, qui fera le sujet du numéro suivant.
7. La théorie de Green est tout entière fondée sur un lemme de calcul intégral.
Lemme. — On suppose un corps tciminé par une sur-face fermée, qui peut d* ailleurs se composer de plusieurs
3^4 MÉCANIQUE nATIOMIÎELLE.
parties isolées les unes des autres ; on nomme ds Vêlé" ment de la surface externe j dn Vêlement de la normale intérieure à la surface y x, y^ z les coordonnées rec" tangulaires d'un point quelconque du corps, U ei V deux fonctions de x,y, z qui ne deviennent point infinies dans l* intérieur du corps y mais qui sont d'ail'leurs quelconques.
La proposition dont il s'agit consiste en ce que Von a toujours la relation
dans laquelle les intégrales triples s'étendent à tout Je corps considéré , et les autres intégrales à toute la surface du corps.
Soient X, fji, V les angles que la normale intérieure fait avec les axes des x , des y et des z.
On a
d\5 ^ dH ^ ^ d\} ^ dH
-^ ds=: -— COS> e/^ -f- --— COStt rfif -f- — - cosv ds,
dn dx dy dz
OU. bien
d\} ^ .dV^^^idVi^^ .dV^ ^ -^ ds^dz -r- drdz± -— dzdx± -r-dxdy; dn dx dy dz
dans les trois termes successifs qui figurent au second membre, on doit prendre le signe -h, si l'on entre dans le corps quand on traverse l'élément ds en s'avançant successivement dans la direction de Taxe des x, de l'axe des j^, de Taxe des z *, on doit prendre le signe — , si Ion »ort du corps.
Marquons respectivement des indices o et i les valeurs correspondantes aux deux éléments de surface ds , par lesquels on entre dans le corps et Ton en sort, en traversant une partie isolée dans la direction d'un des axes coordonnés ; et indiquons par le signe ^ une somme relative
aux différentes parties isolées que Ton traverse en s'avançant toujours dans la même direction. Le premier membre de Téqualion (i) pourra se représenter par la somme de trois termes de même forme , dont le premier, relatif à la direction de Taxe des x , sera
//|/v'J"-2[v.(Sl-.(S),]H^-
Ce terme peut s'écVire
I rrrdvdu
-im
^^dxdjrdz;
on s'en assure en effectuant par parties l'intégration relative à X. Il en résulte que le premier membre' de l'équation (i) est égal à
Ecrivant cette égalité, et changeant dans les d^ux membres U en V et V en U , on obtient une nouvelle égalité qui exprime que le second membre de l'équation (i) est égal à la même intégrale («i). Par conséquent, l'équation (i) est exacte.
Cette équation doit être modifiée , si Tune des fonctions U et V devient infinie dans l'intérieur du corps ; les modifications à introduire dépendent de la forme de la fonction dans le voisinage du point où elle devient
3^6 Mé6ANIQl)E K&TIONNELLE.
infinie. Examinons, en particulier, comment se modifie cette équation quand la fonction U est infinie pour un point intérieur O, dans le voisinage duquel elle se réduit â -y r désignant la distance à ce point.
Si l'on imagine une sphère décrite du point . O comme centre, avec un rayon infiniment petit que nous désignerons par jO, Téquation (i) s'appliquera au corps entier diminué de la petite sphère, et Téquation cherchée sera la limite vers laquelle converge Téquation ainsi formée quand le rayon de la sphère diminue indéfiniment.
Considérons successivement les quatre intégrales.
Puisque dans l'intérieur de la petite sphère on a
., , , , ^U d'V iPV .,
il en resuite que la somme — h -7—- H — rr est identi-
quement nulle dans toute l'étendue de la sphère ^ donc l'intégrale
conserve la même valeur, soit qu'on Tétende au corps entier, soit qu'on Tétende au corps diminué de la sphère. Il en est de même pour l'intégrale
Car cette intégrale , étendtie à la petite sphère , est égaU* au produit du volume de la sphère, ^ Tip', par une valeur
moyenne du produit
laquelle est de même ordre de grandeur que -9 puisque la
d^y dr\ d*y somme -— - H- -rr -h -tt est supposée finie dans Tintérieur dx^ djr^ dz^ ^'^
de la sphère. Ainsi , Tintégrale en question est un infiniment petit de second ordre qui disparait à la limite. On voit encore de la même manière que l'intégrale
/dV \] — dsj étendue à la surface de la petite sphère, disparaît à la limite; car elle est égale au produit d'une valeur moyenne de Ja quantité finie ;T-par l'intégrale infiniment petite j Vds = - 4^p' = 4^p.
/JTT V — ds^ étendue à la surface de
la sphère en tant que cette surface limite le corps
extérieur, sa limite est le produit de la valeur Vo de la fonction V au point O par la limite de l'intégrale
-7- as» Ur on a dn
dn'^ dr^ P' par conséquent,
an p
Hm. rv^<&=— 4»rV, D'après cela, l'équation (i), appliquée au corps entier,
3a8 MÉCAldlQUE RATIOANELLF.
se chaDgc en celle-ci :
fin
Attraction, — Maintenant îl nous est facile de résoudre le problème suivant :
On donne une surface fermée et deux fonctions V, V des coordonnées d'un point quelconque de F espace. Ces fonctions satisfont aux trois conditions saillantes : 1°. Elles "vérifient les équations
d*\ dy^
dx' "^ dy'
dz'
a**. Elles ne deifiennenf jamais infinies. 3°. Elles pren-^ nent une même valeur C sur la surface donnée, cette valeur commune p ouvrant d* ailleurs varier d'un point à un autre ou rester constante. On demande de déter-miner la densité que doit avoir en chaque point une couche infiniment mince et d'épaisseur constante, placée sur la surface donnée , pour que le potentiel de cette couche soit égal à V par rapport aux points extérieurs^ et soit égal à V ' par rapport aux points intérieurs.
Soit dn l'élément de la normale intérieure à la surface donnée qij^i a pour équation
et U le quotient de l'unité par la distance /' à un point quelconque O.
Supposons d'abord que le point O soit intérieur à la surface. -
Appliquons la formule (3) au volume intérieur, en considérant les fonctions U et V. Il vient
Appliquons la formufe (i) à Tespace compris entre la
surface donnée et une sphère décrite dii point O comme
centre avec un rayon infiniment grand , en considérant
les fonctions U et V. Les îlitégrales relatives à la surface
de cette sphère disparaissent à la limite^ car, sur cette
surface, la fonction U et le potentiel V sont des infini-
. , . , , ,, . . dV dY
.ment petits de premier ordre, les dérivées — > — sont
des infiniment petits de second ordre, l'intégrale 1 ds est
un infiniment grand de second ordre, et, par conséquent, les intégrales dont il s'agit sont des infiniment petits de premier ordre. U reste donc, en nommant toujours dn l'élément de la normale intérieure à la surface donnée,
" Ajoutant ces deux dernières équations, il vient
. ds; •
dV^ dV^ I dn dn r ^Tc
dV __ dY
d'où l'on voit que la couche de densité — y ? aura
son potentiel égal à V sur tout point intérieur O.
33o mécahique rationnelle.
Mais, en outre, la même couche aura sur les points extérieurs un potentiel égal à V. Car, si l'on suppose le point O à Textérieur, on obtiendra de la même manière les équations
d'où Ton tire
d\ dV dn dn'
ds.
Le problème est donc résolu.
Corollaire. — Considérons un corps et l'une quelconque de ses surfaces de nweau. Soient V le potentiel de la partie du corps qui est intérieure à la surface y et^' le potentiel de la paitie du corps qui est extérieure à la surface. V équation de la surface de niv^eau sera
