V-hV' = const. = A, ou bien V = A— V

Si Von construit sur cette surface une couche dont la densité soit

dn dn'

cette couche aura relativement aux points extérieurs un potentiel égal à V, et relativement aux points intérieurs un potentiel égal à A — V. Par suite, elle exercera sur les points extérieurs la même action que la partie du corps qui lui est intérieure, et sur les points intérieurs une action égale et contraire à celle de la partie du corps qui lui est extérieure.

STATIQUE. 33 i

8. Ajoutons encore quelques propositions moins importantes , mais qui donneront une idée plus complète des relations de forme et de position qui existent entre un corps et ses couches de niveau.

Une couche de nweau a même centre de gra^^ité que la partie du corps qui lui est intérieure.

Les axes principaux d^ inertie relatifs à un même point ont les mêmes directions dans la couche de nii^eau et dans la partie du corps qui lui est intérieure.

Si Ton compare la différence de deux moments d'inertie principaux de la couche, et la différence des deux moments d* inertie principaux relatifs aux mêmes axes pour la partie du corps qui est inténeure à cette couche, on troui^e que ces différences sont entre elles comme la masse de la couche est à la masse de la partie du corps qui lui est intérieure^ en sorte que les trois différences des moments d'inertie principaux autour des mêmes axes sont constantes pour toutes les couches entièrement extérieures au corps.

Considérons la partie du corps qui est intérieure à une surface de niveau choisie à volonté.

Soient

m sa masse ^

V son potentiel par rapport à un point très-éloigné ^

r la distance de ce point à la molécule dm 5

X, y, z les coordonnées de la molécule dm par rapport

à des axes rectangulaires , placés comme Ton voudra à

une distance finie du corp» ^

u la distance de la même molécule à l'origine -,

A la distance très-grande de l'origine au point attiré;

a, i, c les cosinus des angles que le rayon A fait avec

les axes.

On a

r^ = A^ — a,A{ax -h àf -4-«)-f- «S

\ -H 3^c/s 4- 3 cazx + 3 a^x/ /

et, par suite ,

V=-/7iH — -la I j:<//ii -h b I y dm \ c \ zdm \

[— i / u'dm -I- - / (fl'x' -+- 6>j» -4- c>z') ///w 1 -H 3 ^c I /«f/w + 3 cfl f 2jr£?/it -h 3 a6 i xydm 1

Nommant Vj , Wi , a:i , yi , Zi , i/i les quantités analogues à V, m, x^ y^z^ a, et relatives à la couche construite sur la surface de niveau considérée, on aura une expression de Vj pareille à celle de V. Or (n** 6) Vj est égal à

— V, quelle que soit la position du point attiré , pourvu

qu'il soit extérieur à la couche; par conséquent on a cette seconde expression du potentiel V ;

Ces deux expressions doivent être égales, quelque petit que soit le facteur - ; donc les coefficients des ménies puis-

sances de - sont égaux, et cela pour tout système de vaùk

leurs attribuées aux cosinus a, i, c.

Si Ton fait deux des cosinus égaux à zéro et l'autre égal à

Funilé, et que l'on égale les termes en — dans les deux expressions, il vient

— / a:dm = — 1 Xxdm,^ — I ydm = — 1 y^ànu ,

/zdm = — 1 z, rf/w, ;

c'est-à-dire que la couche et le corps ont même centre de

gravité.

Si Ton fait a =o, i = i, c = v^i — i% et que l'on égale

les termes en-—:) il vient

- Att'— 32Vw + 3^>* Hj'— z')i//7H-6è/r^^ I yzdm

[-J(«î-3zî)«?m.-h3^»J(r;-z;)^m.l 4-66^1 — 6^ jx.z.dm, J

Cette égalité devant avoir lieu pour toute valeur de i inférieure à Funité, il faut que Ton ait séparément

— \ xzdm=i — l yiZidmi,

La première égalité et les deux égalités semblables montrent que , si les axes coordonnés sont les axes principaux

334 MÉCANIQUE RATIOUfNELLE.

d'inertie de la couche relatifs à Torigine, ces mêmes axes sont aussi les axes principaux d'inertie de la partie du corps qui est intérieure à la couche.

Admettons qu'il en soit ainsi. Alors la seconde égalité exprime que les différences des deux moments d'inertie principaux autour des axes des z et des }', pour la couche et pour la partie du corps qui lui est intérieure, sont dans le rapport des masses correspondantes.

9. Jusqu'ici nous avons toujours parlé d'attraction. Mais les théorèmes subsistent évidemment, quand l'attraction est remplacée par une répulsion proportionnelle à la masse et en raison inverse du carré delà distance. Ils subsistent encore , si le corps agissant est composé de molécules, les unes douées d'un pouvoir attractif, les autres douées d'un pouvoir répulsif 5 pourvu que l'on regarde comme négatives les masses des molécules douées de répulsion. Seulement, il faudra joindre aux théorèmes cette condition , que les surfaces de niveau considérées soient fermées, ou, ce qui revient au même, que ces surfaces n'aient pas de nappes s'étendant à l'iniini. Car le potentiel V ayant alors des éléments positifs et négatifs , cette condition ne se trouvera pas nécessairement satisfaite par toute surface de niveau.

Cette généralisation est nécessaire pour faire servir les propriétés des couches de niveau aux problèmes que nous présente la théorie de l'électricité.

Considérons un corps bon conducteur, plongé dans une substance non conductrice , l'air sec par exemple , et qui a reçu une certaine quantité d'électricité positive ou négative. Cette électricité peut séparer une partie des fluides qui sont à l'état de combinaison dans le corps ^ mais cela ne change pas la quantité totale d'électricité libre, estimée en considérant l'un des fluides comme positif et l'autre comme négatif. Finalement, V électricité libre

doit se distribuer de manière quelle n exerce aucune action sur les points intérieurs au corps ; sinon elle décomposerait encore du fluide combiné. Il s'ensuit que le potentiel V, relatif à l'action du fluide libre sur un point {x^y^ z) intérieur au corps, reste constant quand on fait varier les coordonnées de ce point. Par suite , les

dérivées -^-j? ^-^î -7-^ sont séparément nulles pour les

points intérieurs. Or on sait que, si l'on représente par p la densité du fluide au point (x, j^, z) , on a l'équation

rf'V d^y d^Y ^"^^^rf? = ""^^P'

donc p est nul, c'est-à-dire que lejluide libre se porte tout entier à la surface du corps.

On peut considérer ce fluide comme formant intérieurement à la surface du corps une couche infiniment mince , d'épaisseur constante et de densité variable. L'action du fluide est nulle sur la surface interne de cette coucbe^ car cette surface peut être considérée comme intérieure au corps, en vertu de la loi de continuité. Mais l'action n'est point nulle sur la surface externe ^ elle y est détruite par l'action de Tair qui s'oppose à la sortie du fluide. L'air ne met aucun obstacle au déplacement du fluide sur la surface conductrice du corps 5 c'est-à-dire que son action est normale à cette surface. Il en est de même de l'action du fluide qui lui fait équilibre. Par conséquent, la surface du corps est une surface de nit^eau relative* ment à Inaction du fluide.

Considérons une petite surface fermée, qui se compose d'un canal infiniment étroit, normal à la surface du corps, et des éléments superficiels découpés par ce canal sur les deux surfaces de la couche. Si nous appliquons le théorème du n° 1 à cette petite surface fermée, en ob-

servant que Taction normale est nulle sur la surface interne de la couche et sur les parois du canal , nous trouvons que l'action exercée par le fluide sur Félément de la surface du corps est égale au produit de 4^ par la masse du fluide compris dans l'élément de volume considéré. Ainsi , en tout point de la surface du corps la densité de la couche est proporiionnelle à V action du Jluide sur ce point.

Nous pouvons en conclure que le Jluide électrique forme à la surface du corps une couche de niveau relativement à sa propre action.

Rien n'empêche de supposer que le corps conducteur soit formé de Fensemble de plusieurs masses conductrices, mises en présence dans un milieu non conducteur, chacune de ces masses ayant reçu une quantité donnée d'électricité et agissant par influence sur les autres. Dans ce cas , la couche formée par le fluide sur chacune des masses sera une couche de niveau relativement à l'action du fluide répandu sur toutes les masses ; le potentiel relatif à l'action de tout le fluide restera constant sur tous les points de la surface de chaque masse, mais sa valeur pourra changer d'une masse à une autre.

10. Il ny a quun seul état d^ équilibre possible pour le Jluide électrique réparti sur un système de corps conducteurs A , B , . . . , C , mis en présence les uns des autres dans un milieu isolant, cJmcun de ces corps ayant reçu une quantité donnée d'électricité positive ou négative.

En effet, supposons qu'il y ait deux états d'équilibre 5 et soient a^ b^ . . .^ c^ et a\ b\ . . . , c' les fonctions des coordonnées qui, dans ces deux états, représentent en chaque point le produit de Tépaisseur de la couclie par ly densité du fluide , la fonction a se rapportant à la surface A, la fonction i à la surface B, etc. Les fonctions

a — a^ =^ a, b — i'=j3,..., c — c' = y répondront nécessairement à un troisième étal d'équilibre \ car lesnouvelles couches , qui sont , pour ainsi dire , la différence de deux couches de niveau , seront évidemment elles-mêmes des couches de niveau. Mais , dans ce nouvel état , la quantité totale de fluide libre sera nulle pour chacun des corps. Or nous allons montrer qu'un tel état d'équilibre est impossible.

Soient a:, j^, z les coordonnées d'un point extérieur aux corps du système, et V le potentiel relatif à l'action de tout le fluide sur ce point. On a

d^W d^ d'Y dx^ dy'^ dz^

Multipliant par V dxdydz^ et intégrant en étendant l'intégration à tous les points de l'espace extérieurs aux corps , il vient

ou bien , à l'aide d'une intégration par parties ,

Dans celte équation , les trois intégrales doubles s'étendent, d'une part aux points situés à l'infini, d'autre part aux points situés à la surface des corps A, B, ...,C. Mais les parties de ces intégrales qui embrassent les points situés à l'infini sont nulles, car pour ces points le potentiel V est nul. Montrons que les mêmes intégrales II. aa

338 MÉCANIQUE HATIOIîMELLE.

font encore une somme nulle quand on les étend à la surface de l'un quelconque des corps.

Considérons le corps A. Soient ds l'élément de sa surface , dont les projections sur les plans coordonnés sont dydz, dzdx^ dxdy^ ei)i ^ [i^ v les angles que la normale à cet élément fait avec les axes.

Observant que le potentiel V est constant sur tous les éléments de cette surface , nous pourrons écrire la somme dont il s'agit

La quantité comprise sous le signe 1 exprime raclion

normale du fluide sur l'élément ds, par conséquent elle est égale k ^T:a.ds, et l'intégrale se réduit à

47rV joids.

Sous cette forme on voit de suite que cette intégrale est nulle, puisque l o^ds exprime la quantité totale d'électricité répandue sur le corps A.

Nous avons donc finalement, pour Tensemble de tous les points extérieurs aux corps,

Cette intégrale, dont tous les éléments sont de même signe , ne peut s'annuler qu'autant que ses éléments sont tous nuls 5 et ces éléments eux-mêmes ne peuvent êlre nuls, qu'autant que le potentiel V, relatif à l'action du fluide sur un point extérieur, ne varie pas avec les coordonnées de ce point. Mais, dans ce cas, l'action du fluide sur le point est nulle. Ainsi nous sommes conduits à celte

conséquence, que le fluide n'exerce aucune action sur un point extérieur aux corps A , B , . . . , C , quelque rapproché que soit ce point de la surface de ces corps. D'après la loi de continuité, il doit en être de même pour un point situé sur la surface. Nous savons d'ailleurs que l'action du fluide sur la surface des corps conducteurs est

47ra, 47rp,..., 4 ttv ; donc

c'est-à-dire que les deux états d'équilibre supposés sont identiques.

Ce théorème et la démonstration que nous en donnons ici sont de M. Liouville ( Additions à la Connaissance des Temps ^our i845).

De tout ce qui précède , il résulte que le problème de la distribution de l'électricité à la surface d'un système de corps conducteurs est entièrement résolu, quand on en connaît une solution particulière. Par exemple, sachant qu'une couche homogène, infiniment mince, comprise entre deux ellipsoïdes concentriques, semblables et semblablement placés , n'exerce aucune action sur les points intérieurs, et exerce une action normale sur les points de sa surface externe, on en conclut de suite que, si l'on donne de l'électricité à un ellipsoïde conducteur, isolé et libre de toute influence, la couche formée par le fluide à la surface du corps aura sa densité proportionnelle en chaque point à la distance de rellipsoïde semblable infiniment rapproché. Si l'ellipsoïde est très-allongé, la densité du fluide à l'extrémité du grand axe sera beaucoup plus grande que partout ailleurs; et, comme la répulsion du fluide sur lui-même est proportionnelle en chaque point à la densité de la couche, il pourra se faire que cette répul-

34o MÉCANIQUE RATIONNELLE.

sîon à rextrémité du grand axe surpasse la résistance que l'air ambiant oppose au passage du fluide. Alors Télectricite s'écoulera par le sommet, ce qui est d'accord avec le phénomène connu des physiciens sous le nom de pouvoir des pbintes.

H. Soient V le potentiel d^un système de masses M, , Mt ^ . . . , concentrées dans les points Pj , P, , . , . ;

i^ le potentiel d'un système de masses m^y /Wj, . . . , concentrées dans les points pi, p^,. . .^

Vi , V, , . . . les valeurs de V en ces derniers points ^

j', , 1^, , . . . les valeurs de j' dans les points Pj, Pj, . . . ,

Démontrer quon a V équation

Mif, 4-M, t'jH- . . . = /ii,V,-H WaVjH-.. . . Gauss, Mémoire cité, § 19.

12. Soient \ le potentiel d'uncorps sur l'élément ds d'une surface sphérique qui ne renferme aucune partie du corps dans son intérieur, \o la valeur du potentiel au centre de la sphère ^ et r le rayon de la sphère,

Cyds

Démontrer quon a l'équation V© = ^4 — -^ y ou, en

d'autres termes^ que le potentiel sur le centre est la moyenne entre les valeurs du potentiel sur tous les éléments de la surface,

Gaxjss , Mémoire cité , § 20.

STATIQLE. 3*4 ï