POUSSÉE DES TERRES
Imaginons un plan mené dans rinlërieur d'un massif de terre en équilibre. Les forces qui agissent sur l'une des faces de celte section et maintiennent l'équilibre, sont la pression normale, la force tangentielle nommée frottement statique, et une seconde force tangentielle nommée cohésion^ qui , d'après Coulomb, est proportionnelle à la surface de contact et indépendante de la pression , lorsque l'équilibre est sur le point d être rompu (* ).
"" " ««^55i« *• ^^ massif, dont la siir^
face supérieure est un plan horizontal BX , se termine latéralement par un talus BA, de hauteur donnée. On demande de déterminer le plus
petit angle [que le talus puisse faire rn^ec la verticale
sans qu il Y ail éboulement.
Soient
AC = h la hauteur du massif^ a l'angle BAC que le talus fait avec la verticale \ p le poids d'un volume de terre égal à Tunilé^ ^ le coefficient de frottement statique 5 V la force de cohésion pour l'unité de surface , lorsque le glissement est sur le point de naître.
(*) Mén. de l'Acad. des Se. de Paris; 17/3.
On admet dans cette théorie que la rupture tend à se faire suivant un plan. Nous allons d'abord déterminer le plan sur lequel la rupture est le plus à craindre , en supposant l'angle a assez grand pour qu'il y ait équilibre, mais d'ailleurs quelconque 5 puis nous déterminerons l'angle ce par la condition que la rupture soit sur le poiot de s'opérer dans le plan trouvé.
En vertu de la symétrie, le plan de rupture doit être perpendiculaire au plan de la figure. Admettons d'abord qu'il coupe le talus à la base.
Soient AX ce plan , (3 l'angle qu'il fait avec la verticale, et P le poids du prisme ABX. Nous supposerons que l'épaisseur de ce prisme dans le sens perpendiculaire au plan de la figure soit égale à l'unité-, le calcul n'en sera pas moins général .
Les forces qui agissent sur le prisme ABX dans la direction XA, lorsque le glissement est sur le point de naître, ont une somme représentée par la formule
Pcosp — pPsinp — vÂX",
ou bien , en remplaçant P et AX par leurs valeurs ,
^/?A^(tangp — tanga){cosp - fxsinp) - ^.
La condition d'équilibre est que cette somme soit nulle ou négative. Plus cette somme s'approche de o , plus on doit craindre une rupture sur le plan AX.
Or, quand h augmente, la partie positive de cette somme augmente plus rapidement que la partie négative, car la première partie contient /^* en facteur, tandis que la seconde contient seulement h à l'un de ses termes; donc , toutes choses égales , la rupture sur le plan AX est d'autant plus à craindre que la hauteur verticale du prisme qu'il sépare est plus grande. Ainsi, c'est avec
raison que nous avons placé l'intersection du plan et du talus aussi bas que possible.
Pour déterminer l'angle (3, posons
tangp = j:, ^ = '»»
et
{x — tanga)(i — ^ix) — a{i -+- x^) =zf[x).
La condition d'équilibre sera
et l'angle cherché ^ sera celui pour lequel le premier membre de cette inégalité devient un maximum. Sa tangente, X ^ vérifiera Téquation dérivée
{i-^x')f'{x)^xf{x)z=.o.
Ceci posé, on pourra tirer la valeur de x de cette dernière équation, la reporter dans la relation précédente où le second membre sera pris égal à o 5 alors on aura une équation propre à déterminer l'angle a qui fait l'objet du problème. Mais on arrivera plus simplement au même résultat en éliminant x entre les équations
/(.r)=:o et f[x)=zo.
On trouve ainsi une équation qui , résolue par rapport à tanga , donne la valeur 1 2
taDga= - -h - [«- sla («-+-fx) (i-t-f*')], r r
ou
Cet angle a dépend de la hauteur h»
A mesure que la hauteur augmente, tanga s'approche
de la limite -/qui conviendrait à toute hauteur, si la co-
hésion était nulle, comme cela a lieu sensiblement dans les terres fraîchement remuées.
La plus grande hauteur K sur laquelle le massif puisse se soutenir à pic, est celle qui rend nulle la valeur (i) de tanga. On trouve
Les formules (i) et (2) peuvent servir à déterminer les coeflScients fx et v pour un terrain donné. Deux expériences faites, l'une dans le cas de la formule (i) , l'autre dans le cas de la formule (2), suflSsent théoriquement à cette détermination.
Navier , Leçons de Mécanique à l'École des Ponts et Chaussées ; 2«édit., sect. II, art. i.
2. Un massif terminé par un plan horizontale^ peut se soutenir à pic sur une hauteur BD = h\ On demande de déterminer le profil courbe DA que le terrain doit av^ir au-dessous du point D , pour être à la limite de stabilité en tout point de ce profiL
Soient pris BD pour axe des z , le prolongement de XB pour axe des y. Nommons z, j^ les coordonnées d'un point quelconque A de la courbe cherchée ; par ce point menons une droite AE tellement inclinée, que le triangle AEX soit équivalent à la figure ADBX. Soient m la distance du point E à la verticale du point  , et a Fangle de AE sur la verticale. Conservons pour le reste la notation du problème précédent.
Le terrain terminé au talus fictif AE doit être à la limite de stabilité. Si donc on observe quer/ = ztanga et que z
est la hauteur du talus, on aura , d'après le problème précédent ,
D'ailleurs l'égalité des surfaces AEX^ ADBX donne
Différentiant ces deux équations et éliminant yj, rfyj, ou trouve l'équation différentielle de la courbe cherchée,
L'intégrale s'obtient immédiatement,
la constante étant telle ciuey s^annule pour z=h',
dy Si , dans l'expression de — > on remplace z par la valeur de h' qui a été donnée au problème précédent , on trouve que la courbe AD coupe la verticale BD au point D sous un angle dont la tangente est
