Soit un massif ABCDEF. . ., soutenu par un

346 MÉGANIQUE RATIONNELLE.

mur ABj et dont le profil est un polygone quelconque^ mais constant sur toute la longueur. On suppose, dans ce massifs un prisme ABCDEX prêt à glisser sur le plan fixe AX en faisant reculer le mur. Il s'agit de déterminer le plan AX par la condition de rendre un maximum la résultante des forces que le prisme séparé exerce sur le mur de revêtement. On néglige la cohésion des terres soit entre elles , soit avec la paroi du mur,

Le plan AX déterminé par cette condition est nommé d'après Coulomb plan de rupture^ parce qu'on admet que la rupture commencera sur ce plan, si la réaction du mur vient à n'être plus suffisante pour maintenir l'équilibre.

Soient p le poids des terres sous Funilé de volume 5

tang(p et tang(p' les coeflBcients de frottement des terres sur elles-mêmes et sur la paroi du mur -,

a l'angle que la paroi du mur fait sur le plan horizontal AH du côté du massif j

P le poids du prisme 5

R et S les résultantes des réactions du mur et du plan de rupture sur le prisme 5

j3 l'angle que le plan de rupture fait sur le plan horizontal AH du côté du massif.

Les forces P, R, S, transportées en un riième point,

doivent se faire équilibre*, on a donc

R sin(P,S) - __.

sin(R,S)

Si Ton observe (t. I, p. Sg) que R et S font les angles (f' et 9 avec les normales au mur et au plan de rupture, on reconnaît aisément que Tangle (P, S) est égal à

7r— j3-f-9 et rangle(K,S) à tt — (a— (3)— 9 — 9'. Par suite,

sin(a— p-h<p-+-«p')

Il nous faut exprimer le poids P à Taide d'un élément géométrique qui fixe la position du plan AX5 alors la question sera réduite à déterminer le maximum d'une fonction d'une seule variable.

Pour ce calcul, il suffira évidemment de considérer une longueur du prisme égal à Tunité^ en outre, il faudra supposer que l'on connaisse le côté du profil poly-. gonal qui est coupé par le plan de rupture.

Soient EF ce côté 5

0) son inclinaison à Thorizon, qui sera positive si la droite EF s'élève en s' éloignant du mur du côté du massif;

h la dislance du point A au côté EF;

AI une droite tellement inclinée, que le triangle formé par cette droite , le côté EF et la droite AX, soit équivalent au polygone ABCDEX (cette droite AI est connue) 5

X l'angle que la droite AI fait avec Thorizontale AH du côté du massif.

Première solution, — On prend pour inconnue la quantité tang([3 — (p).

L'expression de Taire du triangle AIX, en fonction de

348 MÉCAMQUE RATIONNELLE.

la hauteur el des trois angles, donne d'abord

p^ A' siD(\-^p)

^ 2 sin(X — w)5in(p— w)

Si Ton substitue cette valeur dans Téquation (i) , que l'on remplace ensuite sin (X — (3) , sîn (j3 — co) , sin (a — i3-h94-/) par les expressions équivalentes

sinfX — (j>)cos(p — <p)— sin([i — (j>) cos(> — <p), sin(p — (p)cos(y — w)-hsin((p — &))cos(p — (p), sin ( a -H <p' ) ces ( p — y ) — sin ( p — ip ) ces ( a -f- (p' ) ,

et que l'on pose , pour abréger,

h} cos(> — 9»)

^ 2 sin{X — w)cos((j> — w)cos(aH-(p') "^ ' tang(> — <p)=:fl, tang(ç — a)) = 6, tang(a4-<j>') =c, tang(p— ç)=x, il vient

La valeur de x qui rend cette pression un maximum vérifie Téquation

.,. dK [a-:^b)x{x-^c)^c{x — a){x-\'b)

(3) -- ou A ' — -. ', rr-^-i -'=0.

^ ' dx {x -^ bY[x —cf

On en tire