X -^ b x(a-h b) x(a -^ b — c) — bc

x[a'-\-b — c) — bc , A(c — a)

Pour obtenir la valeur de la dérivée seconde -^-j qui

répond à la double valeur de x, il suflBt de remplacer dans l'expression (3) le numérateur par sa dérivée, puis

de substituer la double valeur en question ] on trouve ainsi iPH nxia-h b — c) — nbc

La valeur correspondante de R s'obtient de suite, en observant que l'équation (3) peut s'écrire, d'après la formule (2),

L c \x-{-bJ Jj:(j? — c) '

et que, d'ailleurs , on a identiquement 11 vient

j.^Ac{a + b)( b /r(c-a)\' "— (b-hc)' y — c\b{a-^b)J'

R ne pouvant être négatif, il s'ensuit que le facteur Ac (<2 + i ) est positif. Divisant par ce facteur la valeur

jj "R

de la dérivée ——obtenue précédemment, on voit que cette dérivée a le signe de la quantité

Si donc on nomme K la valeur numérique de cette dernière quantité , la formule

Ac(a + 6)

^ A» sin(« + /)

' 2 sin'{a — w + <p-|-<p')^ '

représentera la pression maximum quand on prendra le signe inférieur, et la pression minimum quand on prendra le signe supérieur.

35o MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Les valeurs correspondantes de x soûl

j tang(a4-Y)j^ ' "^tang(<p— o))

et Ton a

K — i A"* (g — X 4- y -t- y' ] sin (y — o^ } V sin (X — ûj) sin (a -h y')

Le minimum ne répond pas au problème actuel ; mais, si l'on change les signes des angles ç et y' dans les formules relatives au minimum, elles donneront la solution du problème correspondant dans le cas de la butée des terres. C'est le cas où le mur tendrait à s'avancer dans l'intérieur du massif en soulevant un prisme de terre.

Observons encore que, dans les deux cas, si l'on s'était trompé sur le choix du coté EF coupé par le prisme , les formules en avertiraient , et l'on aurait à recommencer le calcul en choisissant un autre côté. Au reste, un peu d'attention suffira d'ordinaire pour éviter ces tâtonnements fâcheux.

Comme application , supposons que la surface supérieure du terrain soit un plan horizontal , et que Ton puisse négliger le frottement des terres contre le parement du mur. Alors on aura w = o, X = a, (p' = o, et l'on trouvera facilement la pression maximum

sm' î

Jk = -p-: ,

. 2 sin a . a 4- ç sm' i

ainsi que l'inclinaison du plan de rupture ,

(') M. Saint-Guilhem, auquel nous empruntons cette solution {Journal f}o. M. Liouville, t. IX, p. i; i8/|'(), l'étend au cas où l'on tient compte de

Deuxième solution. — Joignons le point A au côté EF par deux droites AM, AN, situées de part et d'autre de la droite AB, et formant avec elle les angles a — ?, 9 H- y'. Entre les droites MN, AN, menons des droites II', XX' parallèles à AM. L'inconnue sera la position du point X'.

La géométrie nous donne les relations

siD (.a - p H- <? -h (?') "~ XX' '