RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

On admet comme fait d'expérience qu'un prisme komogène, soumis à une traction ou pression longitudinale, uniformément répartie sur sa base, s'allonge ou se raccourcit d'une quantité proportionnelle à l'effort exercé, tant que l'on ne produit pas de déformation permanente, et que la variation de longueur est très- petite par rapport à la longueur elle-même. Cet allongement est de plus proportionnel à la longueur du prisme , et inversement proportionnel à l'aire de la base. Le rapport dépend de la nature du corps.

Si l'on nomme P la force de traction, e l'allongement, / la longueur du prisme, o) l'aire de la base et E une constante qui dépend de la nature du corps, on a

Cette formule s'applique également au cas d^une pression et d'un raccourcissement. La constante E mesure l'allongement de l'unité de longueur, sous l'influence d'une traction égale à l'unité, appliquée sur l'unité de section. Elle se nomme le coefficient d'élasticité du corps.

Un exemple simple nous montrera comment ce seul principe suffit à déterminer les conditions de plus grande II. a3

354 MÉCANIQtJE RATIONNELLE.

Stabilité , pour un assemblage de pièces qui supportfsnt des efforts tous dirigés dans le sens de la longueur.

1. Soit un assemblage triangulaire ABC, /otmé de deux pièces de charpente également inclinées AB. AC et d^une pièce horizontale BC 4/ui relie les deux premières. On propose de déterminer la disposition de VasserrAlage et fépaisseur relatii^e des pièces quij sous un même "volume, rendent un minimum laflexi&n verticale produite sur le sommet A par un poids P.

On suppose les pièces de même nature, et assemblées de telle manière que les efforts qu'elles supportent soient tous dirigés dans le sens de leur longueur.

Soient

/ la longueur de la pièce horizontale ;

h la longueur commune des pièces inclinées ;

co la section commune de ces deux pièces ;

h la hauteur du triangle;

a a Tangle en A .

On a

cette relation, étant diffërentiée, fait connaître la variation de la hauteur en fonction des variations des côté»,

Dans cette relation et dans les calculs qui vont suivre , nous compterons positives les variations à h on e, db et

à - quand les longueurs A, i et - seront diminuées.

STATK^UE. 355

Chacune des pièces inclinées est pressée par une force

éfi'aleà ? et la pièce horizontale est tirée par une

^ 2 cos a * *^

force égale à — : d'ailleurs b = — : — j à = — : — • On

^ 2cosa xsina 2sma

a donc, d'après la formule (A), en supposant d'abord

que la pièce horizontale ait même section que les pièces

inclinées ,

à , l asina E P / E/P i

h 2Sina /cosa ta 2cosa 2Sina 4^ sina cos'oc

2 2 / 2sina E Psina / E/P siii^a

2 /cosa (ù 2 cosa 2 46) snacos'a

Substituant ces valeurs dans l'équation (1)9 on obtient une valeur de la flexion verticale , qui peut s'écrire ainsi

E/Pr i 1

~ 4<^R^i^^(' — sina) J

Cette flexion est un minimum lorsque sina = -? c'està-dire , lorsque le triangle est équilatéral. Alors

Si Ton veut que le volume des pièces soit un minimum pour une résistance donnée , il faut que leurs sections soient proportionnelles aux efforts qu'elles supportent. Dans ce cas, la section de la pièce horizontale sera b) sina,

et Ton aura

E/P I 4- sin^g 4** sinacps'a

Soit n le plus grand effort que chaque pièce puisse supporter sur l'unité de section , sans que la limite d'élasticité soit dépassée.

La plus grande valeur que puisse recevoir le poids P,

356 3fÉC%5IQ1.E K4TIOB>ELLE.

mns qn'il y ait défonnalîon permaneDte^ s^-a donnée par

rëqoation

2WCOSZ

et la plus grande valeur de la flexion Terticale ser»

__ E/n I -4- sin-a 2 sifi z COS 3t

Le minimum de celle valeur répond à tanga = -p ; c'csl-

à-dire que la plus grande flexion dont Tassemblage soit ^2^ susceptible sans altération permanente , est un minimiun, lorsque la hautmr du triangle est ^ale à la demi-diagonale du carré construit sur le côté /• Celle plus grande flexion minimum a pour valeur i^EAII, h représentant la hauteur du triangle ; le poids qui la produit est

Lamé , Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité y leçon vu .

2. Généralisons le principe qui nous a servi jusqu'ici de point de départ. Disons que , dans tout corps solide soumis à un effort extérieur qui le déforme l^èrement sans produire d'altération permanente, le déplacement relatif des molécules fait naitre entre chaque couple de molécules très- voisines ime force proportionnelle au déplacement relatif 9 répulsive si les molécules ont été'rapprochées, attractive si elles ont été écartées.

Cette généralisation , jointe à quelques hypothèses assez plausibles, nous permettra de déterminer Informe et les conditions de stabilité d'un solide prismatique soumis à des

STATK^UE. 337

efforts quelconclues j en supposant que les dimeasions transversales du solide soient petites comparativement à sa longueur. L'accord des résultais de lexpéiience avec ceux de l'analyse justifiera les hypothèses. Nous nous bornerons à considérer le cas d'efforts parallèles entre eux , perpendiculaires à Taxe du corps, et produisant une flexion peu considérable.

Soit OA UQ prisme horizontal dans sa position naturelle, qui est sollicité par des forces verticales P, situées dans le plan qui ^divise le corps suivant sa longueur en deux moitiés symétriques. Ce plan sera celui de la (î|;ure.

Par l'effet de ces forces le prisme fléchit légèrement. Nous supposerons que les molécules, qui se trouvaient primitivement dans une section »«' perpendiculaire aux arêtes du prisme , soient encore situées après leur déplacement dans un plan normal aux courbes que forment alors ces arêtes. Dans cette supposition, le^lan nn\ qui contient les molécules considères, n'a pu que tourner d'un angle infiniment petit autour d'une* droite horizontale G, qui est restée fixe relativement à une deuxième section normale mni\ très -voisine de la première.

Soient dO l'angle infiniment petit de rotation, ds la distance constante de la droite G à la section mn/ ^ dcô Félément de la section nn\ z la distance de cet élément à la droite G, et E le coefficient d'élasticité du corps.

La force élastique développée sur l'élément rfw est normale à cet élément. Pour estimer son intensité, il nous suffit de considérer le prisme élémentaire qui a cet élément pour base et se termine à la section mm!, La longueur naturelle de ce prisme est ds^ son allongement est zr/^^ par conséquent, l'effort qu'il supporte sur sa base est

E ds

358 MÉGAMQVE RATION JNE2LE.

Les forces élastiques qui s'exerceat sur les différents éléments de la section nn\ font équilibra aux forces extérieures P qui agissent sur la portion de prisme nn K. Projetant ces forces sur la normale à là section nn*^ puis prenant leurs moments autour de la droite G, nous obtiendrons deux équations d'équilibre qui seront suffisantes pour résoudre les questions que nous avons en vue.

Les forces P sont verticales , et la normale sur laquelle nous les projetons est sensiblement horizontale, comme les arêtes elles-mêmes •, les forces élastiques sont parallèles à l'axe de projection -, nous avons donc , à très-peu près, l'équation

où Tintégrale s'étend à tous les éléments de la section nn\ Ceci nous montre que la droite G passe par le centre de gravité de la section. Il s'ensuit que la fibre qui passe par le centre de gravité de chacune des sections normales n'éprouve aucune dilatation , aucune contraction, quelle qiie soit l'orientation du prisme autour de celte ligne. Cette propriété l'a fait nommer Ugne des fibres ini^ariables.

Soit \^ Vp la somme des moments des forces extérieures autour de la droite G, comptés positifs quand la rotation dQ qu'ils tendent à produire est positive. L'équation des moments sera la suivante :

La quantité E— I z^dtù est ce qu'on appelle le moment

d! élasticité du prisme dans la section nn\ pour l'état de flexion résultant des forces P.

Si nous appelons p le rayon de courbure correspondant

au point G sur la courbe formée par la ligue des fibres invariables, et îl le moment d'inertie de la section nn' autour de Tborizontale G, l'équation précédente pourra s'écrire

(■) If = 2'^-

Cette équation nous montre . en particulier, que, dans le cas où les forces extérieures P se réduisent à un couple, la courbe formée par le prisme est un arc de circonférence^ car, le second membre de l'équation étant constant pour toute section , il faut que le rayon de courbure soit aussi constant. Dans tous les cas , elle nous fera connaître la courbe OGA formée par l'axe du prisme.

En effet, rapportant cette courbe à deux axes rectangulaires OX, OT, le premier horizontal , le second vertical , nous avons rigoureusement

comme, par hypothèse, — est très-petit, nous pouvons poser, avec une approximation suffisante ,

Alors l'équation (i) devient

et c'est là l'équation différentielle de la courbe.

L'équation (i) peut encore servir à déterminer la limite que les efforts extérieurs ne sauraient dépasser, sans que le corps subisse une déformation permanente ;

36u MécANIQl}£ RATIONNELLE.

mais, pour cet usage, il eonvient de metti:e réquation sous une' autre forme.

Soient R la force élastique qui s'exerce sur l'élément </&), rapportée à Tunilé de surface; z^ la distance de la droite G à l'élément d(ù qui en est le plus éloigné, soit au-dessus, soit au-dessous ; R, la valeur de R correspondante à la distance z^.

Nous avons , pour tous éléments d'une mente section ,

K ï dQ R.

— = -;-;-= COnSt. = •

z E ds Zi

Diaprés celte valeur, Téquation (i), relative à une section quelconque, peut s'écrire

Sous cette forme elle montre que, pour éviter une dilatation permanente, il faut que la quantité ~ ^^ Pp, relative

aux divers éléments du prisme qui éprouvent une traction , soit inférieure ou tout au plus égale à la plus grande traction R, qu'un prisme de même nature peut éprouver sur l'unité de surface , dans le sens de sa longueur, sans contracter de dilatation permanente. Il suffit évidemment que la condition soit satisfaite pour les éléments de chaque secticm les plus éloignés de la ligne des fibres invariables du côté de la convexité j car, sur ces éléments extrêmes, la quantité — ^J^p est plus grande que

sur les éléments intermédiaires.

De même, pour éviter une compression permanente, il

faut que la quantité — ^ Pp, relative aux éléments de

chaque section les plus éloignés de la ligne des fibres in-

STATIQUE. 36l

variables du côté de la concavité, soii inférieure ou tout au plus égale à la plus grande pression R^ qu'un prisme de même matière peut éprouver sur Tunité de surface, dans le sens de sa longueur, sans contracter de compression permanente.

Les limites R^, R^ ont été déterminées par l'expérience pour les substances les plus communément en usage.

Les mêmes équations (jr), (2), (3) peuvent s'appliquer à un solide de section variable, poiirvu que la variation se fasse par degrés insensibles, et que la longueur du corps soit considérable vis-à-vis des dimensions transversales. Or, les forces P étant données de position, on pourra faire varier la section du corps avec, la distance à l'extrémité,

de manière que la quantité -^ ^^p ait la même valeur

pour chacune de ces sections , quelle que soit la grandeur des forces P. Si le corps ainsi construit est tel qu'on puisse lui appliquer l'équation (3), alors il présentera égale chance à la rupture sur toutes ses sections , c'est-à-dire qu'il sera un solide d'égale résistance relativement à des forces agissant comme les forces P.

3. appliquons cette théorie au cas d'un prisme qui est soutenu à ses extrémités par deux appuis de nii^eau, et qui porte un poids V à son point milieu, outre une charge xs également répartie sur toute sa longueur.

Soient A, A' les points d'appui, A Torigine des axes, C le milieu du prisme et 2a la distance des appuis.

Cherchons d'abord la courbe formée par la partie de

Taxe du prisme qui est comprise entre les points A et C.

Dans l'équation géfaéralc (2), on peut prendre pour les

36a MÉCANIQUE RATIONNELLE.

forces P, soit les forces extérieures qui agissent à droite du point considéré (x, y)^ soit celles qui agissent à gauche. Prenons les forces qui agissent du côté de l'origine.

Les réactions des appuis peuvent être supposées verticales, et leur valeur commune est • Nous avons

donc Téquation ^

E i/o?» aaJo

Si nous intégrons en observant que ~- est nul pour x = a, et que y est nul pour a:= o, il vient

Telle est l'équation de la courbe AC. L'autre moitié A'C est évidemment symétrique.

Soit f lai Jlèche ou l'ordonnée maximum, laquelle répond à a: = a.

L'équation précédente donne

Il en résulte ces deux théorèmes : Lorsqu'un prisme est posé horizontalement sur deux appuis et cliargé en son milieu, la flèche est proportionnelle au poids qu'il supporte et au cube de la distance des points d'ap* pui.

Si la charge est uniformément répartie sur la longueur du solide, la flèche est celle que produirait un poids égal

STATIQCE. 363

aux ^dela charge et qui agirait au milieu de la longueur.

Cherchons la forme des solides iT^ale résistance dans les mêmes conditions.

La formule (3) devient ici , en supprimant les indices et considérant les valeurs numériques des deux membres,

a P-i-cT o , z ^ \a

Convenons que la section transversale du solide sera un rectangle dont la base horizontale aura partout même longueur b. Alors, z désignant la demi-hauteur de ce rectangle , nous aurons

d'où

2 rn , P-f-or

Quand on suppose R constant et z variable, cette équation représente la courbe qui limite la face latérale du solide d'égale résistance, supposé exempt de toute flexion dans son état naturel. Cette courbe est généralement une ellipse de grande excentricité. Elle se réduit à une para^ bole quand toute la charge agit au milieu.

Si Ton voulait que le solide d'égale résistance soit de réi^olution^ on trouverait pour l'équation de la courbe méridienne

4. Il est aisé de passer du cas précédent au cas d'un prisme AC, encastré ^Jiorizontalement à son extrémité C , et portant un poids P à son extrémité A , outre une charge xs également répartie sur sa longueur a.

Pour cela, il suDSt de remplacer dans les équations

364 MÉCAWIQtE RAT10i\»ELLE.

obtenues

par P, et - par — ni ;

alors on aura les équations qui répondent au cas actuel, les axes ayant relativement au prisme la position de la figure précédente, maïs la pesanteur agissant de bas en haut.

L'équation de la courbe (4) devient par ces substitutions

a m fx' \ F/a' , \ -. r = — 7ï— ( -7- — ^ ^ 1 ( T — ^ ^ I •

La flexion fy ou la distance de l'extrémité libre à la tangente à la courbe menée par l'autre extrémité, est dçnnée par la formule

Ainsi, lorsqu'un prisme encastré horizontalement par Fune de ces extrémités est sollicité à Vautre par un effort perpendiculaire à sa longueur, la flexion qu'il prend est proportionnelle à l'effort exercé et au cube de son bras de lei^ier.

Si la charge^ est uniformément répartie sur la Iongueur du solide, la flexion est celle que produirait un

poids égal aux ^ de cette charge et qui agirait à r extrémité.

La formule (6), qui fait connaitre la forme du solide d^ égale résistance dans une hypothèse particulière, devient ici

3 la

Elle représente une kyberbole, qui se réduit à une parabole quand toute la charge agit à l'extrémité, et se

réduit à deux droites concourantes quand toute la charge est uniformément repartie sur la longueur.

^ 5. Considérons en-

core un prisme dont ~ les eœtrémités sont encastrées horizontalement en deux points denii^eaUf et qui porte un poids Pà son point milieu^ outre une charge es également répartie sur foute sa longueur.

Conservons la notation du cas précédent. Nous pouvons supposer que la pièce est jnaintenue horizontale en A' par un appui supérieur B', placé un peu au delà . Soient â la distance A'B', Q et Q' les réactions verticales inconnues qui sont exercées par les apputs A' et B'.

Considérant les forces extérieurs qui agissent du côté de l'extrémité A', nous aurons, d'après la formule (2), pour tout point (x^y) de la partie AC,

^ ^y or ,

E dt* 4«^ ^

Intégrons deux fois , en déterminant les constantes arbitraires par la condition que ^ety soient nuls avec x.

Il vient

£1 dy m [ , x^\

Y. dx ^ay 3 y

-HP /«x— — J — Q / 2ajc — — j -hQ'( 2flj:-l-^^— — J >

a zj f ,•, 2 flj^ x^\

^fax' x^\ ^/ , ^'\ ^, / *, Sx^ x^\

366 MÉGANIQUE RATIOlîNELLE.

Nous formerons de la même manière les équations relatives à la seconde branche CA^ si ce n'est que les constantes arbitraires seront déterminées par la condition

que pour ^^^^fTi^^X aient la même valeur dans les deux branches.

Il vient ,

Ces deux dernières équations doivent être satisfaites

quand on y fait a: = 2«, ^=?o,^=o. Ceci donne

deux relations du premier degré en Q et Q', desquelles on peut tirer les valeurs de ces forces pour les reporter ensuite dans les équations premières. L'équation de la courbe décrite par chaque branche est alors entièrement connue.

Dans le cas où la charge agit tout entière au milieu de la pièce, c'est-à-dire, lorsque cy = o , les valeurs de Q et de Q' sont

Il en résulte l'équation de 1^ courbe AC,

et la valeur de la flèche ,

La comparaison de celte valeur avec la valeur (5) nous fournit ce théorème : Lorsqu^un solide est encastré ho-' rizontalement par ses deux extrémités et chargé en son milieu j la flexion est encore proportionnelle à r effort exercé et nu cube de la distance des^ appuis, mais elle est quatre fois moindre que si le corps était posé libre^ ment sur deux appuis.

Tous ces résultats ont été démontrés à peu près ie la même manière par Navier, dans le Résumé des leçons données à l'École des Ponts et Chaussées sur l'application de la mécanique à l'établissement des constructions et des machines, sect. i, art. 3, et sect. iv, art. i de la deuxième édition ; i833.