QUESTIONS DIVERSES

1*. Polygone funiculaire. — Soient

Mo Mj M, ... M„«j Mn un polygone funieulaire en équilibre ;

Pi , Pj , . • M Pn-i les forces appliquées aux sommets M» , M5i,...,M„i^

Tj , T, , . . . , T„ les tensions des cordons M© Mi , MiM,,...,M„iM„.

On peut supposer le polygone solidifié/ et l'équilibre ne cessera pas d'avoir lieu. Or l'équilibre d'un corps solide exige que les projections des forces sur une direction quelconque fassent une somme nulle j donc les projections des forces P et des tensions extrêmes Tj , T„ sur une direction quelconque font une somme nulle. Par suite, si l'on trace ^ à partir d'un point arbitraire, des droites

consécutives, parallèles et proportionnelles aux forces Ti, Pi , Pi v-M Pn-i ? T«5 ces droites formeront un polygone fermé.

Ce que nous disons pour le polygone funiculaire entier s^ applique à une portion quelconque de ce polygone. Il en résulte ce théorème :

Des lignes consécutiueSj parallèles et proportionnelles aux forces qui agissent sur les sommets d'un polygone funiculait^ en équilibrey forment un contour polygonal qui jouit de cette propriété, que des droites^ menées par les extrémités du contour parallèlement aux cordons extrêmes, se coupent en un point dont les distances aux sommets du contour polygonal sont parallèles aux cordons du polygone funiculaire, et proportionnelles à leurs tensions (*).

2*. Ponts suspendus. — Appliquons ce théorème au polygone formé par chacune des chaînes d'un pont suspendu. Considérons la portion de la chaîne qui est comprise entre deux sommets Mo, M„, situés à la même hauteur, mais d'ailleurs quelconques -, et faisons abstraction du ]poids de la chaîne. Les forces P sont toutes verticales , par»suite , lé polygone est plan ; ces forces agissent à égales distances^ de plus , elles sont égales entre elles, sinon le tablier tendrait à se courber.

M, Y D'après cela , portons

sur une droite verticale MoA„X des longueurs ég^a/e5 MoAi, AiAt, etc., N^, en même nombre que les N^^^^^s M4 côtés du polygone considéré; des extrémités Mo, A„ de r ensemble

(') Lamé et Clapeyron , Journal des voies de communication; Saint-Pctersbourg, 1827, n" 6.

de ces longueurs, menons deux parallèles aux cotés extrêmes, et joignons V intersection Mi de ces deux lignes aux points de division Ai, A,, etc. Les lignes MoMi, Al Ml , Aj Ml , eîc, seront parallèles aux chaînons successifs, proportionnelles à leurs tensions et aussi proportionnelles à leurs longueurs.

Quand on se propose de construire un' pont suspendu, on ne se donne pas à priori Tangle de Tun des chaînons Mo Ml avec la verticale, -mais plutôt on choisit convenablement la hauteur de l'extrémité Mo au-dessus du chainon horizontal M3 M4. Dans ce cas, pour trouver la direction du chaînon Mo Mi , on observe que ce chaînon et le chaînon horizontal supportent en définitive la moitié d'une portion du tablier dont les extrémités dépassent de quantités égales les projections des sommets Mi , Mj-, d'où il suit que les dîrectiojns Mo Mi , M4 M, doivent se couper sur la verticale du centre de gravité de cette portion du tablier, c'est-à-dire à égale distance des verticales des sommets Mi , Ms. Dès lors , ces verticales étant connues , on a deux points de la direction cherchée Mo M,. Pour tracer le polygone , il ne reste plus qu'à placer bout à bout, à la suite de la ligne Mo Mi , des droites égales et parallèles aux obliques Ai Mi , As Mi , etc.

En effectuant cette construction, on reconnaîtra sans peine que les côtés successifs du polygone, prolongés convenablement, interceptent sur la verticale OX des longueurs qui croissent dans le rapport des nombres naturels 1,2,3, etc., tandis que les distances des sommets à la même droite croissent en progression arithmétique. Ceci est une propriété des cordes de la parabole menées par les extrémités de diamètres équidistants. Il en résulte que les sommets du polygone sont tous situés sur une parabole dont Taxe est vertical.

On peut arriver plus simplement à ce dernier résultat. II. 24

370 MÉCANK^LE RATIONNELLE.

En effet, M, désignant par l'un quelconque des sommets du polygone, supposons que le contour M© Mi... M, soit solidifié. L'équilibre ne sera point troublé. Nous pourrons concevoir que les forces verticales appliquées aux sommets soient partagées chacune en deux parties égales, appliquées aux extrémités des deux chaînons adjacents. Alors, chacun des chaînons se trouvant sollicité à ses extrémités par deux forces égales et parallèles, nous pourrons encore imaginer que ces deux forces soient distribuées également sur toute la longueur du chaînon. Dans cet éiat, chaque élément de la chaîne solidifiée supportera un poids égal à la moitié du poids de la partie du tablier qui est comprise entre les projections verticales de ses deux extrémités \ en outre, l'extrémité Mo sera sollicitée par deux forces, la tension du chaînon suivant et la demi-tension de la tige verticale fixée au sommet M©. L'équilibre continuera de subsister; en particulier, la somme de» moments des forces autour de Textrémité M,- sera nulle.

Ainsi, nommant a: et y les coordonnées de l'extrémité M/ par rapport aux deux axes MoX et Mo Y, X et Y les composantes des forces qui agissent à l'extrémité M© , et ap le poids du tablier par unité de longueur, nous aurons

-py^ ■+" X.J — Yx = o.

Or, quand ou passe du sommet M, à un autre sommet , les quantités p^ X et Y restent constantes , x et / seules varient. A ce point de vue, l'équation précédente représente une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe des x. Donc tous les sommets du polygone sont situés sur Une parabole qui a son axe vertical.

Le poids p étant connu , il suffira de connaître deux sommets du polygone pour en conclure les valeurs de X

et de Y^ alors Téquaiion de la courbe sera entièrement déterminée.

3. Problème des moindres distances. — Le choix des centres d'administration ou d'approvisionnement, Téta* blissement des usines , le tracé des routes destinées à relier les grandes lignes présentent un problème qui , pris dans toute sa généralité et réduit à des termes géométriques, peut s'énoncer ainsi: Déterminer les positions d^un certain nombre de points, de telle sorte que leurs distances mutuelles et leurs distanq^s à des points don*nés, multipliées respectivement par des coefficients con nus, donnent des produits dont la somme soit la plus petite possible. Ces points peuv^ent d'* ailleurs être assujettis à d'autres conditions géométriques^

Dans les applications, les coefficients qui afi'ecteront les distances seront proportionnels à la fréquence des communications, aux poids à transporter-, ils seront inversement proportionnels à la vitesse, à la facilité du transport. Les conditions géométriques se réduiront le plus souvent à placer les points cherchés sur des cours d'eau ^ sur des routes déjà construites, en un mot, sur des lignes données.

Soient p^ q^ r, etc., les distances , et X, |ui, v, etc., les coefficients respectifs. La condition du minimum exige que Ton ait

A «^ -H pifl^^ -f- V rfr -+. . . . = o ,

pour tous les accroissements infiniment petits des dis* tances qui sont compatibles avec les conditions imposées; Or cette équation est précisément celle à laquelle on serait conduit, si l'on appliquait le principe des vitesses virtuelles à la recherche des positions d'équilibre ^ en suppo* sant que chacun des points cherchés fût attiré vers Ion

autres points par des forces conslanles proportionnelles aux coefficients qui multiplient leurs dislances. Les positions cherchées sont donc des positions d'équilibre 5 de plus, elles sont des positions d'équilibre stable, sinon la somme ip -h y-ç -\- vr. . . serait un maximum, au lieu d'être un minimum. Cette observatiou n'avance en rien la solution analytique souvent impraticable, mais elle conduit immédiatement à une solution pratique fort ingénieuse.

Supposons d'abord qu'il n'y ait qu'un seul point à déterminer. Dans un pbn vertical , on fixera des anneaux de manière que leurs dislances mutuelles soient proportionnelles à celles des points donnés ^ par chacun de ces anneaux on fera passer un fil léger portant à l'une de ses extrémités un poids proportionnel au coefficient du point représenté par l'anneau , et l'on réunira toutes les extrémités libres de ces fils sur un même anneau mince , lequel sera libre si le point cherché n'est assujetti à aucune liaison , et , dans le cas contraire , s'engagera sur une tige rigide courbée de manière à représenter la ligne sur laquelle le point cherche doit être situé. Le système abandonné à lui-même se mettra d'abord en i||ouvement, mais les frottements l'amèneront bientôt à un état d'équilibre stable. Alors l'anneau mobile occupera la position du point demandé.

C'est ainsi, par exemple, que l'on déterminera la position la plus avantageuse à l'établissement d'une station de chemin de fer, destinée à desservir une localité dont les communications n'ont point la même importance dans les deux directions de la voie.

Si l'on a un second point à déterminer conjointement avec le premier, on doublera le système précédent, en changeant les poids et les positions des anneaux fixes, s'il y a lieu 5 puis on attachera au nouvel anneau mobile

un fil passant dans le premier anneau mobile et perlant un poids proportionnel au coefficient qui doit multiplier la distance des deux points cherdliés. Les positions finales des deux anneaux mobiles seront les positions demandées. On agirait de même pour un plus grand nombre de points.

Il est à remarquer qu'en variant convenablement les circonstances initiales du mouvement, on pourra obtenir toutes les solutions dont le problème est susceptible.

Lamé et Clapeyron , Journal des voies de communication, Saint-Pétersbourg, 1827, n° 10.

4*. Vis d'Archimèdç. — La vis d'Archimède est for-

mée d'un tube contourné en hélice sur un cylindre mobile autour de son axe. On conçoit que, si l'on incline l'axe sur Tborizon d'un angle qui ne soit pas trop considérable,

^74 MÉCANIQUE ilATlONriELLE.

puis que Ton fasse tourner l'appareil, une peiiie bille placée dans l'intérieur du tube pourra monter jusqu'à l'extrémité supérieure par l'effet même de son poids, car celui-ci la retient constamment dans l'espèce de poche formée par la partie inférieure de chaque spire. Pour cela , il faut que chaque spire de l'hélice ait au moins une tangente horizontale, et que la rotation du cylindre ait lieu en sens inverse de celle qu'aurait le centre de la bille en montant dans le tube supposé fixe.

On comprend qu'une telle machine puisse être appliquée à élever l'eau d'un réservoir, dans lequel plongerait l'extrémité inférieure du tube, jusque dans une auge placée vers l'extrémité supérieure» C'est au point de vue de cette application que nous étudierons l'appareil.

Nous supposerons le tube réduit à une hélice.

Soient Al ABBj le cylindre en projection verticale , OO, Faxe, APLTFG.^. l'hélice. Toutes les tangentes à l'hélice sont également inclinées sur Taxe; par conséquent, si d'un point C pris sur l'axe OOi nous menons des parallèles h ces tangentes , ces parallèles seront situées sur la surface d'un cène de révolution autour de l'axe CO.

Prenons le point C de manière que le cône passe par le contour AB de la base du cylindre, ce qui revient à prendre la distance OC égale au pastle l'hélice divisé par 2 71. Soit 0 l'angle OCA. Par le point C menons une horizontale CD , et soit I l'angle OCD , lequel est égal à l'inclinaison du cylindre sur l'horizon. Pour que l'hélice ait une tangente horizontale, il faut que i soit plus petit que ô\ au reste, cela résultera de la construction par laquelle nous allons déterminer les tangentes horizontales.

Projetons l'appareil sur un plan perpendiculaire à l'axe. Soient C la projection de l'axe et A'D'B' le cercle qui est la projection du cylindre. Par le point D menonfk

sur la figure une parallèle à Taxe OOi , «t soient D', D', les points où cette parallèle rencontre le cercle. Les rayons C D', CD', sont les projections des deux génératrices horizontales du cône C^ les projections des tangentes horizontales à Thélicé sont parallèles à ces rayons et tangentes au cercle ) on détermine aisément leurs points de contact E', F'. Par ces points E', F', menons, sur la ligure des parallèles à Taxe OOi. Ces droites rencontreront l'hélice en des points E , Ej , . . . , F , . . . , qui sont les projections verticales des points où la tangente à la courbe est horizontale.

On voit par là que, si l'inclinaison i est supérieure h Tangleô, l'hélice n'a aucune tangente horizontale. Si l'inclinaison I est égale à l'angle 0, il n'est qu'une tangente horizontale sur chaque spire. Dans ce cas, l'inclinaison est encore trop grande pour que l'appareil puisse élever de l'eau 5 il ne pourrait pas même élever une petite bille placée dans l'intérieur du tube, car, pour que la bille soit en équilibre, il faudrait la placer au point unique où la tangente est horizontale, et alors le moindre mou* vement la ferait tomber. Admettons enfin que 1 soit inférieur à 0; alors il est sur chaque spire deux points E, F où la tangente est horizontale. Soit E le plus élevé de ces deux points, et EG un horizontale qui rencontre Thélice en G. L'eau pourra rester en équilibre dans la portion du tube représentée par l'arc EFG, et, si l'on fait tourner le cylindre dans le sens convenable, l'eau contenue dans cet arc s'élèvera. On nonune cet arc Varc hjcirophore. A mesure que l'inclinaison diminue, la longueur de l'arc hydrophore augmente, mais aussi la hauteur à laquelle l'eau s'élève dans un tour du cylindre diminue*, c'est pourquoi il convient de donner à l'inclinaison une valeur moyenne que l'expérience déterminera, dans chaque cas , mieux que le calcul .

3jG MÉCAJVIQLK UATIOWKELLE.

Il esl avantageux que le cylindre plonge dans le réservoir inférieur jusqu'à T extrémité de la génératrice EEi , sur laquelle se trouvent les extrémités inférieures des arcs hydrophores; car, dans cette disposition , l'arc hydrophore se trouve exactement rempli lorsque l'extrémité du tube sort de Peau ; il ne serait pas rempli si le cylindre plongeait moins ; on élèverait inutilement un excédant d'eau qui retomberait si le cylindre plongeait davantage. « On doit encore observer que le liquide ne pourrait s'élever si l'extrémité du tube ne sortait pas de l'eau à chaque tour, car la pression de T air extérieur le refoulerait sans cesse au niveau du réservoir; on serait dans le cas des vases communiquants. La pression de l'air extérieur n'est pas sans influence sur la quantité d'eau qui est élevée, même dans la disposition la plus favorable. En effet , le volume d'air qui s'introduit dans le tube pendant une révolution est égal à la portion de tube Ej H; pendant la révolution suivante, cet air doit occuper la portion de tube Ei HG qui est plus grande ; il est donc alors sous une pression inférieure à celle de l'atmosphère. D en résulte qu'une partie du liquide contenu dans Tare hydrophore suivant sera refoulée, à moins que le tube ne soît assez large pour que la colonne liquide. puisse se diviser. On évite cet inconvénient en ménageant dans la paroi du tube de petites ouvertures, qui permettent à l'air extérieur de s'introduire sans que l'eau s'échappe en quantité notable.

Les vis d'Archimède que l'on emploie aujourd'hui ont un tube très large et d'une forme particulière. On peut le concevoir comme engendré par un rectangle A PKI qui tourne autour d'un axe fixe OOi , tracé dans le même plan parallèlement à la base , de manière que chacun des points décrive une hélice. On peut encore se représenter cet appareil comme composé de deux cylindres concentriques,

réunis par un bélicoïde gauche à plan directeur, formant cloison dans l'espace annulaire.

Supposons une série de cylindres construits sur le même axe 00, , et situés entre le noyau Pj PQQi et la surface externe A, ABB,. Ces cylindres couperont la cloison suivant des hélices toutes de même pas, que Ton pourra considérer comme des tubes très-déliés. Si l'on détermine les tangentes horizontales dç ces différentes hélices par la construction donnée plus haut , on reconnaît qu'entre des limites de l'inclinaison assez étendues, les hélices extérieures ont deux tangentes horizontales , tandis que les hélices les plus voisines du noyau ont toutes leurs tangentes inclinées à l'horizon. Entre ces deux séries de courbes , il se trouve une hélice qui possède une tangente horizontale unique , et l'on voit aisément que le cylindre sur lequel elle est située se projette sur le plan perpendiculaire à l'axe suivant un cercle ol c' V langent à la droite Diy D', . La même construction montre que le point de contact T de cette tangente horizontale unique se projette verticalement sur l'axe du cylindre , en sorte que , à ce point T, la tangente horizontale à l'hélicoïde est perpendiculaire sur la génératrice horizontale de la surface.

Puisque les hélices les plus voisines du noyau n'ont aucun arc hydrophore, l'eau renfermée dans l'intérieur de l'appareil ne peut jamais couvrir ces hélices, et, par conséquent, ne peut jamais toucher le noyau. Ainsi, l'air atmosphérique circule librement dans la partie centrale du grand tube. De là il suit que l'eau monte sans être jamais refoulée par Tair extérieur, lors même que l'extrémité inférieure du tube reste constamment plongée dans le liquide. En outre , l'eau peut s'élever dans chacune des spires jusqu'à la génératrice horizontale de l'hélicoïde; car, dans cet état, l'eau touche l'hélice qui n'a qu'une

378 MÉCANIQUE RATIOJMKELLE.

tangente horizontale, seulement au point do contact de cette tangente , et elle ne couvre pas les hélices plus voisines du noyau.

D'après ce que nous avons dit, il est aisé de voir que la surface de Teau renfermée dans une spire est limitée par un arc d'ellipse , une portion du petit axe de Tellipse égale à AD , et une seconde courbe qui tombe à angle droit sur cette droite.

M. Catalan (*) a prouvé que Thélicoïde gauche à plan directeur est la seule surface réglée dont Jes deux rayons de courbures principaux soient, en chaque points égaux entre eux et de directions opposées.

Nous proposerons, comme exercice, de démontrer

que, r désignant le rayon intérieur du cylindre et a une

quantité qui satisfait à Téquation

sin c

= tang? tango,

le volume V de Teau qui est renfermée dans chaque poche de la Y) s construite comme nous Pavons supposé en dernier lieu , est représenté par la formule

h[- ^a' tango + ^-^— - H- gtang'mng'9 j^ —J (')•

La valeur de l'angle iqui rend un maximum le produit Vsinz est Finclinaison la plus avantageuse à donner au cylindre.

La vis d'Archimède est une machine fort ancienne. On trouve sa description dans le traité de Vitruve : de Architeclura, 1 . X, c. 1 1 . Daniel Bernoullî en a donné une théorie assez complète dans son Hydrodynamique , sect. IX.

( ' ) Journal de M. Lioùville , t. Vil , p. 2o3 ; 1842. t") Navier, Cours de l'École des Ponts cl Chaussées,

Le caractère de la fluidité parfaite est Tabsence de cohésion et de frottement entre les molécules du corps, bien qu'il y ait continuité dans la masse. La nature ne nous offre aucun corps parfaitement fluide ; en sorte qu'il y a toujours erreur à négliger le frottement des molécules les unes contre les autres. Cette erreur peut être considérable quand il s'agit de déterminer le mouvement d'un fluide 5 mais elle est insensible dans les questions rela-^ tives à l'équilibre des fluides en repos. Aussi on n'en tient pas compte dans l'hydrostatique r

Les fluides , considérés au point de vue de leur élasti^ cité, se partagent naturellement en deux classes. Les uns éprouvent par l'effet de la pression une diminution de volume comparable à celle que subissent les corps de la nature désignés sous le nom de solides; ils sont àils Jluîdes incompressibles f parce qu'on néglige leur compressîbilité dans toutes les questions qui n'exigent pas une grande rigueur. Les autres éprouvent par l'effet de la pression une diminution de volume beaucoup plus considérable 5. ils sont nommés fluides élastiques. Les liquides appartiennent à la première classe , les gaz et les vapeurs ap-^ partiennent à la seconde.

Les premiers principes de l'équilibre des liquides et des corps flottants sont exposés dans les deux Livres d'Arcbimède : Des coîj>s portés sur un fluide. Le texte grec de cet ouvrage ne nous est point parvenu; mais nous en

38o MÉCANIQUE RATIONNELLE.

avons plusieurs versions, dont la plus ancienne a été composée sur un manuscrit grec aujourd'hui perdu. Elle est due à Tarlalea , et fut publiée à Venise, en i555, sous le titre : De insidentibus aquœ,