FLUIDES INCOMPRESSIBLES
Soient p la densité du liquide supposé homogène , z la distance de l'élément de surface ds au-dessous du niveau supérieur du liquide , etpo la pression qui s'exerce au niveau supérieur sur Tunité de surface. La pression sur l'élément ds , rapportée à l'unité de surface , sera
pz=gpz-^p,.
On peut toujours supposer nulle la pression po , en imaginant qu'on ait élevé le niveau du liquide d'une hauteur convenable. La formule devient alors
Elle donne lieu à plusieurs théorèmes d'une grande sim-* plicilé.
La pression totale exercée sur une surface quelconque
est égale à la pression qui serait exercée sur une aire égale j prise dans le plan horizontal qui passe au centre de grai^ité de la surface. La pression exercée sur l'unité de surface de ce plan fictif est la pression moyenne sur la surface donnée.
Considérons une surface plane plongée dans un liquide 5 et soient x^j les coordonnées de Félément ds par rapport à deux axes quelconques tracés sur cette surface. Les coordonnées du centre de pression seront (A)
— f xzds — f yzds
f zds^ f Z(h
Si l'axe des j" coïncide avec la trace du plan considéré sur la surface libre du liquide, z sera proportionnel à jc, et l'on aura
- fx^ds - J yx ds
Jxds fxds
Quand on suppose les axes rectangulaires , ces formules montrent que le centre de pression coïncide auec le centre de percussion de la surface , considérée comme une lame homogène libre de tourner autour de son in^ tersection ai^ec la surface du liquide.
La pression rapportée a l'unité de surface étant constante sur un même plan horizontal , il s'ensuit que les pressions élémentaires exercées sur une surface comprise entre deux plans horizontaux ont toujours une résul^ tante verticale y poun^u que la surface considérée et les deux plans qui la limitent forment une surface fermée. Car, dans ce cas, prenant les axes des x et desj^ dans un plan horizontal, on a (p. 285, théorème I), .
/? cos(NX).fl?f = 0, 1 p co^{^Y) ds z=i o^
384 MÉCANIQUE KATIONJSELLE.
et, par suite, Téquation (D) est identiquement satisfaite.
Si la surface considérée n'est point fermée par les deux plans horizontaux, les pressions qu'elle éprouve ne seront pas toujours réductibles à une résultante unique. Cette réduction sera possible, lorsqu'on pourra compléter la surface fermée à l'aide d'une surface sur laquelle les pressions admettent une résultante, comme serait un plan.
Stevin ( * ) parait être le premier géomètre qui ait entrepris de déterminer la pression totale d'un fluide sur la surface d'un corps immergé. Il démontra le paradoxe hydrostatique, d'après lequel un fluide peut exercer une pression beaucoup plus grande que son propre poids ; il fut aussi le premier à considérer le centre de pression ^ mais l'imperfection de l'analyse ne lui permit pas de déterminer ce point pour d'autres surfaces que celles des polygones.
Herman (') et Cotes (') , pourvus de méthodes plus puissantes , déterminèrent le centre de pression d'un grand nombre de surfaces. Le dernier compara la pression totale à la pression exercée dans le plan horizontal du centre de gravité , et signala l'identité du centre de pression avec le centre de percussion.
1 . Dans quelle position faut-il maintenir une demisphère creuse , fermée par un plan y et exactement remplie d*un liquide, pour que la pression exercée sur la surface entière du vase soit un maximum.
Nommons r le rayon de la sphère , et 6 l'angle que Taxe du vase fait avec la verticale.
(*) Œuvres mathémalitjucs de Simon Stevin, de Bi'uges, publiées par Albert Girawrcl, t. IV; Leyde, i63/j.
(') Phoronomia, p. i4i; 1716.
(') Hjrdrostatieal and Pneumutical Lectures, p. 87 et 4o de la 3* édition. La i^® édition parut en 1737.
L'aire du couvercle est irr', la distance verticale du centre de gravité de cette aire au point le plus élevé du liquide est r sin 0 5 donc gpT^r^ sin 9 est la pression exercée sur le couvercle.
L'aire de la surface courbe est 2 Tir*, la distance verticale de son centre de gravité h la surface supérieure du li-^
quide est
r rsmO H — ces Ô ;
donc la pression exercée sur la surface courbe est
et la pression totale
gpnr^ (3 sinô -H ces 9).
Lorsque cette quantité est un maximum , on a 3cos0 — sinô =r o,
ô = arc tang 3. W. W.
2. Des masses égales de liquides différents sont su^ perposées en couches horizontales dans un vase çylin^ drique dont Vaxe est vertical. Comparer entre elles les pressions que ces différentes masses liquides exercent sur la surface latérale du vase.
Soient piy pty ... 5 Pn9 ^tc. , Ics densités des différents liquides, en commençant par le liquide supérieur 5 «i, a«, . . «, a„, etc.) les épaisseurs des couches respectives t, r le rayon intérieur du vase.
Considérons la n'^"^ couche. La pression p^ qui s'exerce au niveau supérieur de cette couche sur Tunité de surface est donnée par la formule
La pression totale que cette couche exerce sur la paroi du II. 25
rase est
OU bien , d'après la valeur précédente de p^ ,
^gf-p^
Pn
Il en résulte que les pressions exercées sur^ la surface du cylindre par les couches successives sont entre elles comme les nombres
3. On suppose une porte d'é* cluse formée d'un rectangle KRGÙ et d'un quart de cercle ABE, séparés par un axe vertical AB, autour duquel la porte peut tourner librement. Trouver la largeur M) que doit avoir le rectangle pour que F écluse s^ ouvre sous le moindre effort quand Veau affleure la ligne DAE.
Soient a le rayon du cercle , h la largeur inconnue du rectangle , x la distance d'un point de la porte à l'axe AB, ^\y la distance du même point à l'horizontale DAE.
Les pressions exercées sur le quart de cercle et sur le rectangle doivent avoir des moments égaux par rapport à l'axe AB. De là résulte l'équation du problème
xydxdy
xydxdy.
Effectuant les intégrations, il vient
ou h-=.
HYDROSTATIQUE. ZBj
4. Un cône de rév^olution ^KA!^ ou\*ert par sa base^ est d^ abord maintenu tout à fait rempli d^un liquide, puis on V incline d'un angle donné. Quel est le volume du liquide qui s'écoulcy et quelle est la pression que le liquide restant exerce sur la paroi?
Soient a Tangle des génératrices
du cône avec l'axe , r le rayon de
la base et /3 T inclinaison de Taxe
sur rhorizon.
Le volume du liquide écoulé est égal au volume de la
