partie du cône qui est découpée par un plan horizontal
ABA'^, passant à Textrémité inférieure de l'ouverture.
Le volume total du cône droit est
-ttH cota.
Le volume du cône oblique SAA" est le produit de Taire de Tellipse ABA" par le tiers de la hauteur AH. Si nous appelons V ce volume, C le centre de l'ellipse et CA , CB les deux demi-axes de cette courbe, nous aurons
Or
V=- AH,7rCA.CB.
AH=SAsin(B— -a =r if -^
^^ ' sm a
ces a
CA = - AA" = r -^-— 2 sin ( p
Pour calculer CB, nommons A'' A'" le diamètre de la section droite qui passe au point A'', et considérons la section droite faite par le point C. Le point C divisera celui
388 MÉCANIQUE RATIOMNELLË.
des diamètres de la section qui est parallèle à ÂÂ' en deux
segments respectivement égaux à - AA'et - A^A"^, et CB
sera une ordonnée du cercle perpendiculaire au diamètre dont il s* agit. Nous aurons donc
CB*== yÂA'.Â^ = - rFF
- > , MpsinÇp - «) . sin(p — a) 2 cosa sm(p-Ha)
D'après ces valeurs, il vient
I , 8in"»(6 — a)
sin«(p-Ha) Par suite, le volume du liquide écoulé est
- tr r' cot a
r sinj(p-a)"|
L $in^(P4-a)J
Dans le calcul de la pression qui s'exerce sur le cône oblique, nous prendrons pour élément de surface le petit triangle compris entre deux génératrices infiniment voisines. Soit ds cet élément 5 la distance de son centre de
gravité à la surface libre du liquide est ^ AH, et la pression qu'il supporte est
Cet élément peut être considéré comme la base d'un tétraèdre qui aurait son sommet au point 0', où le niveau dû liquide coupe Taxe du cône , et serait l'élément de volume du cône oblique. La hauteur de ce tétraèdre est
SO'sina, par conséquent son volume a pour expression dy=:^Ws\no,ds. (•)
Il en résulte que la valeur de la pression exercée sur Télément ds peut s'écrire
Vso'/
, ^^ , sin B
^û dy = gp -^ r/v.
La pression tplale est donc
ou bien
smp „ ** sin a
I cosasinB sin' (fi — a)
3 *"^ sin*a . i,
sin*{p --H «)
5. On suppose un "vase hénUsphérique ^ dont la paroi est formée de trois triangles trirectangles juxtaposés^ et retenus chacun par un fil attaché en un point de la sur" Jace. Quelles doivent être les tensions et les situations de ces fils pour que le vase ne se divise point lorsqu'il est exactement rempli d'un liquide, et que d'ailleurs les différentes pièces de la paroi ne sont nullement pressées V une contre Vautre? On négligera le poids du vase,
(') On peut remarquer que cette équation , jointe à Texpression du vo> lumeV, permet de calculer aisément la surface «du cône oblique SAA". En efTet, elle donne d'abord
SO'&ina'
et, comme SÔ' sin a = C'A sin (/3— oi.)=z r ^-?—z — »
^'^ ' sin j8
on a finalement
__ j cos « sin ^ sin' (/3^a)
"■ sin a sin ( /3 -t- « ) . \
sin'(/3-ha)
3gO MÉCANIQUE RATIONNELLE.
La question revient à déterminer en grandeur et en direction la résultante des pressions exercées sur Tun des triangles sphériques. Cette résultante existe; car, si Ton imagine un vase qui soit formé de l'un de ces triangles et de deux plans verticaux joignant les deux côtés du triangle, les pressions exercées sur les deux faces planes de ce vase admettront une résultante unique -ainsi que les pressions exercées sur la surface entière.
Prenons l'origine des coordonnées au centre de la sphère, le plan des x;^ à la surface du liquide et les axes dirigés vers les sommets du triangle trirectangle. Soientrie rayon de la sphère, 9 l'angle qu'un rayon fait avec le plan horizontal , et y l'angle que la projection de ce rayon sur le plan horizontal fait avec l'axe des x.
L'élément de la surface sphérique sera rdQ.rcosOd(f^ sa distance à la surface libre du liquide sera r sin 0 , et le rayon mené à cet élément fera avec les axes des x et des z , des angles qui auront respectivement pour cosinus cosdcosf et sind.
D'après cela, la tension du fil aura pour composantes , suivant les axes,
Jo Jo
TT
= g^P''M d,sin'B = ^gpr';
HYDROSTATIQUE. Spl
et la tension du fil sera
T = V^X» -f- Y' -h Z' = gr.r-^ LiLZLil,
En vertu de la symétrie de la figure, la résultante des pressions doit être située dans le plan bissecteur de Tangl^ dièdre formé par les deux plans coordonnés verticaux. Ainsi, pour déterminer la direction de cette résultante, il nous suffira de former la première des équations (C). Nous abrégerons ce calcul, en observant que la pression résultante passe nécessairement à l'origine des coordonnées, puisque toutes les pressions élémentaires sont dirigées vers ce point. Il s'ensuit que le second membre de l'équation dont il s'agit est idenliquejnent nul. Dès lors nous trouvons de suite
Le fil qui soutient le triangle est donc dirigé suivant la droite représentée par les équations
6. Parmi tous les vases de ré\*oluUon autour d'un axe vertical f de hauteur et de capacité données^ quel est celui qui éprouve la plus grande pression horizontale de la part du liquide qui le remplit?
Soient h la hauteur du vase, c' sa capacité, z la distance d'un élément de la surface au niveau supérieur du liquide, et r la distance de cet élément à Taxe de révolution.
La somme des pressions horizontales élémentaires est égale à
2 7r^p / znh.
'ig2 MéCÀMIQOB eàtiohublle.
Il s'agit de trouver la valeur de r ai fonction de z qui rend cette intégrale un maximum, tout en vérifiant la condition relative au volume
/ r'dz = c*.
Soient V la quantité comprise sous le signe i dans Fintëgrale qu'il s'agit de rendre un maximum , et V la quantité comprise sous le signe / dans Tintégrale qui doit rester constante. Le calcul des variations nous apprend que le rapport des dérivées partielles -^> — doit être constant; ce qui nous donne la relation
a désignant une constante.
Ainsi , la surface du vase est celle d'un cône dont la pointe est en haut.
Il reste à déterminer la constante a par la condition relative au volume.
Nous avons
Tca' f z^dz = e»; d'où a = \/^,-
Par suite , la hauteur du cône étant h et son volume c%
le rayon de la base est c i/- t-
7. On suppose une membrane sans poids ^flexible et inextensible^ découpée en forme de rectangle. Deux bords opposés sont maintenus parallèles dans un même plan horizontal , sans être assez écartés pour que la membrane soit tendue; les deux autres bords sont exac-^ tement (oints contre deux plans verticaux, sans quily
HYDROSTATIQUE. Zg3
ait adhérence ; et toute lacai^îtéest remplie, if un liquide en équilibre. On demande quelle forme affecte la membrane.
La surface qu'il s'agit de déterminer est évidemment une surface cylindrique. Il suffit de déterminer Tinter* section de cette surface par un plan vertical perpendiculaire aux arêtes \ et , pour cela, nous pouvons nous borner à considérer la petite portion de surface qui est comprise entre ce plan et un plan parallèle infiniment voisin , car cette partie de la surface n'éprouve aucune action de la part des parties adjacentes.
Deux coordonnées nous suffisent. Prenons Taxe des x i la surface du liquide, et l'axe des y dirigé de baut en bas. Nommons p la pression rapportée à l'unité de surface qui s'exerce sur l'élément de la membrane dont les coordonnées sont x et y, i la tension en ce point, r le rayon de courbure de la courbe au même point et s l'arc de la courbe.
Nous avons
et (tomel, page 129))
d'où
Remplaçant r par sa valeur -j- : -j^j dans laquelle s est la
2/ variable indépendante , et nommant a* la constante — >
il vient
394 MÉCANIQUE RAXIOAMELLE.
L'intégrale première de celle équalion est
ou bien
dx as
yi — ^»
b* représentant une constante.
La courbe formée par la section droite de la membrane se nomme lintéaire; son équation différentielle est la même que celle de la courbe élastique. Elle a été trouvée par Jacques Bemoulli (*) en 1692.
8. Étant donné un plan situé dans l'intérieur d'un liquide et une droite H tracée comme l'on voudra sur ce plan, déterminer dans le plan une courbe telle, que Vaire comprise entre la droite, la courbe, et deux horizontaies qui interceptent sur la droite une longueur donnée A, mais qui sont d'ailleurs situées à une profondeur quelconque , éprouve la même pression quun parallélogramme construit dans le même plan sur la droite H et sur la ligne d'affleurement av^ec les longueurs respectives h etb.
Si Ton prend pour axes de coordonnées obliques la droite H et l'intersection de la surface du liquide par le plan donné, on trouve que la courbe est l'hyperbole représentée par Téquation
bh
9. Une sphère creuse étant exactement remplie d'un liquide^ on demande de tracer sur la surface un cercle
(') Opéra, t. I, p. 490j etc. Voir aussi Jean Bernoulli, Opéra, t. I, p. /|32; t. H, p. 96; t. III, p. 5i3, etc.
HYDROSTATIQUE. SgS
horizontal qui la di\^ise en deux parties suppottant des pressions égales.
La distance entre le plan du cercle demandé et le sommet de la sphère est égale au côté du carré inscrit dans un grand cercle.
10. Un cube exactement rempli d'un liquide a Vune de ^es diagonales dirigée suivant la verticale. Montrer que la pression exercée sur les faces inférieures est double de la pression exercée sur les faces supérieures,
\ \ . Une surface plane étant tout entière plongée dans un liquide y on mène par le centre dépression et par le centre de gravité deux droites A ef B, parallèles à la droite C suivant laquelle le plan donné coupe la sut face libre du liquide. Montrer que le produit des distances de la droite B aux deux droites A et C reste constant quand le niveau du liquide s* élève.
On voit sans peine que le produit dont il s'agit est égal au carré du rayon de gyration de la surface immergée par rapport à la droite B.
42. On suppose un vase homogène , de poids connu , qui a la forme d'un ellipsoïde ouvert suivant un plan principal. Ce vase étant renversé sur un plan horizon^ tal, on y introduit un liquide par une petite ouverture pratiquée au sommet, A quelle hauteur peut s'élever le liquide intérieur sans soulever le vase?
Soient p la densité du liquide, Q le poids du vase, /ila hauteur cherchée , et
l'équation de la surface interne, le plan des axes a, h étant celui de la grande ouverture.
'^gÔ MÉCANIQUE RATIONNELLE.
On trouve
\itgpab)
