CORI^S FLOTTANT SUR UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE
\ . Déterminer les positions .
d'équilibre d'un prisme droite à base carrée, homogène, qui flotte horizontalement sur un liquide, une des arêtes étant située au*- dessus de la surface.
Il suffit de considérer la pro* jeciion du prisme sur un plan perpendiculaire aux arêtes.
Soient ABCD cette projection , A le sommet situé hoï*s duliquide, QQ'la ligne de flottaison, F le milieu de Ç^Q' ^ G le centre du carré, et H le centre de gravité du triangle qui s^ élève au-dessus du liquide ; on sait que ce point est situé sur la droite AF aux deux tiers de la longueur.
Le centre de gravité de la partie immergée est situé sur la droite HG, car un corps quelconque et les deux parties qui le composent ont évidemment leurs centres de gravité sur une même ligne droite. II en résulte que dans les po^ sitions d'équilibre la droite HG est verticale* Si donc nous menons par le point F une parallèle à HG jusqu'à la rencontre de la diagonale AC au point E , tous les points de cette parallèle seront à égale distance des points Q et Q', en particulier, les distances EQ et EQ' seront égales dans les positions d'équilibre.
Nommons a le côté du carré, x la distance AQ, y la lï. 7&
4oa MÉGANIQUE RATIOUlfELLE.
distance AQ', et observons que AE est égale à - AG, en
sorte que la projection de AE sur chacune des direc-
tiens AB, AD est égale k j a, La relation EQ = EQ'
pourra s'écrire
a?'-hAE — 207.7/7 =j» 4- AE — 27.70, 4 4
ou bien
Telle est l'équation par laquelle nous exprimons que le centre de gravité du prisme et celui du liquide déplacé sont situés sur une même verticale.
Soient a la densité du prisme et p celle du liquide. Nous exprimerons que le poids du liquide déplacé est égal à celui du corps entier, en posant
Cette équation , jointe à l'une ou à l'autre des deux équations
dont l'ensemble constitue l'équation (i), doit nous donner toutes les positions d'équilibre.
Une première position d'équilibre nous est donnée par les équations ( 2) et (3). Les valeurs de x et de / sont les suivantes :
Comme, par hypothèse , a: et y doivent être moindres que
HYBROiTÀTIQUE. 4^3
« , cette position n'est possible qu'autant que le rapport -
est compris entre - et i .
Deux autres positions d'équilibre sont fournies par les équations (2) et (4)- Ces équations donnent
d'où
Dans ces valeurs, les signes supérieurs se correspondent, ainsi que les signes inférieurs. Les deux positions symétriques qu'elles définissent ne sont possibles qu'au-
tant que le rapport - est compris entre ^ et ^r^*
Dans le cas où le rapport - est égal à ^9 ces positions
se confondent en une seule qui rentre dans la solution
déjà trouvée. Dans le cas où le rapport - est égal à ~^» le
prisme peut flotter en ayant deux arêtes plongées dans le liquide , une arête à la surface et une arête hors du liquide.
BossuT, Traité d'Hydrodynamique ^X.. ï,p. 178.
2. On suppose un cylindre droit , dont la base a pour contour un arc de parabole et une perpendiculaire à Taxe de cette courbe^ le corps n'est pas nécessai-rcment homogène y mais la densité est constante tout.
4o4 MÉCilVIQUK RATIONNELLE.
c le long d'une même
parallèle aux gênératrices. Il s'agit de déterminer les posi- 'tiens d'équilibre de ce cylindre, lorsquil flotte horizontale ment sur un liquide , en élev'ant sa face plane tout entière au-dessus du nii^eau.
Il nous suffit de considérer la projection BAC du cylindre sur un plan perpendiculaire aux arêtes.
Soient
A le sommet de la parabole \
AD == a la portion de l'axe de la courbe qui est renfermée dans le solide \
9 Tînclinaison de cet axe sur Thorizon ;
G le centre de gravité du cylindre -,
GiF=A une perpendiculaire abaissée sur l'axe dé la parabole \
AF = A la distance du sommet au point F ;
P le point de la courbe où la tangente est horizontale;
PM=j' une perpendiculaire abaissée sur l'axe de la parabole \
PHV =:i a: la longueur du diamètre mené par le point P jusqu'à la rencontre de la ligne de flottaison QQ'j
H le centre de gravité du liquide déplacé;
p le paramètre de la parabole (l'ordonnée au foyer).
Les valeurs de x et de y déterminent la position du prisme.
Pour qu'il y ait équilibre, la ligne HG doit être verticale. Prolongeons cette ligne jusqu'à la rencontre de l'axe au point G', et menons par le point P une parallèle qui
AM
