AM + ME -|. EG' = AF 4- FG

nous fournira une première équation d'équilibre , «i nous

y remplaçons les diverses longueurs parles valeursqu'elles

ont lorsque HG et PE sont verticales.

Or, dans ce cas , les propriétés géométriques de la para*

bole nous donnent

FG'=/:taDgÔ=-^5 donc

Il nous reste à exprimer que le poids du corps est égal au poids du liquide déplacé.

Soient (7 la densité moyenne du corps et p la densité du liquide.

JjC produit de a par Taire BAC doit être égal au produit de p par l'aire QAQ' \ c'est-à-dire que Ton doit avoir

:5 <Tûf BC = ^ px QQ'sin 0.

Remplaçant BC et QQ' sinfl par leurs valeurs

BC = 2 ^^pa, QQ'siiiô=2V'2/?a?, il vient

et, par suite , Téquation en y peut s'écrire

Ces équations (i) et (2) résolvent le problème. Ell^'s

4o6 MÉCÀIfiQVE RÀTIOUNELLE.

nous montrent qu'il y a trois positions d'équilibre, ou bien une seule.

Dans le cas où le cylindre est homogène, on a

^ = o et h= -=a; o

alors Téquation (a) se partage en deux équations

j=o et ^' — g/'^l » - (^) J + 2/?'=o.

La première donne une position d'équilibre qui est possible toutes les fois que la densité du cylindre est inférieure à celle du liquide.

La seconde donne deux positions symétriques, qui seraient impossibles si l'on avait

BossuT, Traité d'Hydrodfnamiq ue , t. I, p. 189.

3, Trouver les positions d'équilibre d'un piisme droit à base triangulaire, qui flotte sur un liquide, l'une de ses bases étant entièrement plongée, et l'autre étant tout entière au-dessus du nii^eau.

Soient ABC la base inférieure, PQR la section faite par le plan de la surface du liquide. Le volume du tronc de prisme immergé ABCPQR reste le même dans toutes les positions d'équilibre \ il est au volume du prisme entier dans le rapport de la densité moyenne du prisme entier à la densité du liquide. Nous regarderons ce volume comine connu, et nous le représenterons par 1^.

Considérons les troncs de prisme en nombre infini qui ont ia même base ABC et le même volume p» que le tronc de prisme inmiergé; et cherchons à déterminer la surface qui est le lieu des centres de gravité de ces différents corps supposés homogènes. Cette surface contiendra né-

HYDROSTATtQUE. 4^7

cessairement le centre de gravité du liquide déplacé dans chacune des positions d'équilibre.

Soient O le pied de la perpendiculaire abais&ée du point B sur le côté AC. Prenons OA pour axe des x^ OB pour axe des y^ et une perpeudiculaire dirigée dans l'intérieur du prisme pour axe des z. Représentons le plan variable de la base oblique par Féquation

et nommons |, >?, Ç les coordonnées du centre de gravité d'une masse homogène qui remplirait le tronc de prisme séparé par ce plan.

Ces coordonnées satisfont aux équations

P = f / {ax -h ^r + ^) d^djTj

pÇ= 1 I [ax-^ by -^ c)xdxdy^

(0 { nr^

vn= I j {ax -h 6/ -4- c)ydxdy^

vX>^=-\ j (ax-i- by -{-cydxdy^

les intégrales s' étendant à toute la base du prisme.

Pour passer à une position du plan mobile infiniment voisine de la première, il faut différentier les équations précédentes en faisant varier seulement a^bj c, 5, », Ç". Il vient

0=11 (xda -4- ydb •+• dc)dxdy^

9dl =11 (xda -h ydb -h de) xdxdy,

vdYi= j j (xda -hydb-^ dc)ydxdy,

w/Ç = / I (ax -i- by -h c) [xda -4- ydb + de) dxdy j

4o8 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

d'où l'on lire

Cette dernière équation exprime que la normale en un point quelconque de la surface lieu des centres de grav^itéy est perpendiculaire au plan sécant qui répond à ce point. Ce résultat est indépendant de la figure qui sert de base au prisme, il subsiste donc pour un cylindre quelconque.

D'après cela, pour déterminer les positions d'équilibre d'un cylindre quelconque terminé par deux plans perpendiculaires aux génératrices , lorsque ce corps flotte sur un liquide dans lequel une de ses bases est entièrement plongée , il suffit de déterminer les normales que l'on peut abaisser du centre de gravité du cylindre sur la surface lieu des points (^, y?, ^). Car le corps restera en équilibre toutes les fois que l'une de ces normales sera placée verticalement, et que d'ailleurs le volume du liquide déplacé sera égal à p».

Dans le cas du prisme triangulaire , si l'on pose