B(A4-A.)]'-4B^(A^-AA.-^-A;)=: — 3B«(A — A
quantité toujours négative. Ce paraboloïde a son axe parallèle aux arêtes du prisme ; son sommet a pour coordonnées $0 9 >îo? foî la convexité est tournée vers la baso immergée. Ainsi, la question est ramenée à déterminer
les normales que l'on peut abaisser d'un point donné sur une surface du second degré.
Si le centre de gravité du prisme entier est extérieur au paraboloïde , on ne peut mener par ce point qu'une seule normale à la surface ; il n'y a qu'une seule position d'équilibre. Si le centre de gravité est intérieur au paraboloïde , on peut mener par ce point une , trois ou cinq normales *, il y a autant de positions d'équilibre.
Si le prisme est homogène ou seulement composé de couches homogènes parallèles aux bases, le centre de gravité du prisme est situé sur l'axe du paraboloïde. Admettons , en outre , que le centre de gravité soit intérieur à la surface ] nommons â sa distance au sommet , etp, ^1 les paramètres des sections principales , p étant plus petit que pi. Si l'on ai â <^p, il n'y a qu'une seule position d'équilibre, le prisme doit être vertical ^ si l'on a/7 < J<^pi, il existe, outre la position verticale, deux autres positions d'équilibre, symétriques par rapport à l'un des plans principaux ; enfin, si l'on a 5 ^p^, il existe, outre la position verticale, quatre autres positions d'équilibre, deux à deux symétriques par rapport aux plans principaux.
Dans le cas où la base du prisme est un triangle équilatéral, le paraboloïde est de révolution. Alors, si le centre de gravité du prisme se trouve situé sur l'axe, dans l'intérieur de la surface, à une distance du sommet supérieure au paramètre de la courbe méridienne, il existe une infinité de positions d'équilibre autres que la position verticale, toutes également inclinées à l'horizon. Dawidof, Journal de M. Crelle, t. XXXVIII, p. i58; 1847.
4. Déterminer la position d* équilibre d'un cube homogène qui flotte sur un liquide en plongeant un seul de ses sommets.
Les portions d'arêtes qui sont immergées doivent avoir
HYDROSTATIQUE. 4lï
la même longueur; en sorte qu'il ne peut y avoir plusieurs positions d'équilibre.
Si Ton nonune a le c6té du cube , a la densité du corps et p celle du liquide , la longueur des parties d'arêtes immergées est
L'équilibre n'est possible, dans les conditions voulues, qu'autant que le rapport - est inférieur à ^•
5, Trois sphères de même rayon y mais de densités différentes y flottent sur un liquide en se touchant l'une l'autre. Quelle est l' inclinaison de leur commun plan tangent sur la surface du liquide?
Si l'on nomme p la densité du liquide , r le rayon des sphères , o- , (/, a" leurs densités , c , e', c'' les hauteurs de leurs centres au-dessus de la surface du liquide , et y l'inclinaison cherchée , on trouve
3 r» sin' y = r (c — c') + c' (c' — c") -+- c" (c"— c).
La distance c est déterminée par l'équation
4(7 r» = p(r—c)^(2r-hc);
les distances c', c" sont déterminées par des équations semblables.
6. Trois poids différents P, Q, ^font successii^ement équilibre à un cylindre homogène qui est suspendu à V extrémité d'une balance hydrostatique, et plonge en partie dans le liquide. On demande de trouver une relation entre les poids P, Q, R et les distances corres^
4l2 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
pondantes a,b^ c de la base immergée du cylindre à là surface du liquide.
La relation qui lie ces quantités est la suivante : P (* — c) H- Q (c — «) -t- R (« — ^) = o.
7. On suppose un cône droit, homogène y dont le sommet est fixé dans V intérieur d^un liquide^ à une profondeur connue. Le cône peut tourner librement autour de ce point fixe i etfiotte en élev^ant sa base tout entière au-dessus de la surface du liquide. Il s^agit de déterminer l'inclinaison de F axe sur l'horizon.
Soient h la dislance du sommet du cône au niveau du liquide, / la longueur des génératrices^ a l'angle des génératrices avec l'axe, a la densité du corps et p celle du liquide.
L'inclinaison /3 de Taxe sur Thorizon est donnée par Téquation
8. On suppose une sphère creuse, de rayon extérieur a, formée d'une matière homogène de densité connue a. Cette sphère étant posée sur un liquide de densité connue p , flotte en plongeant le sommet inférieur de sa surface externe jusqu'à la distance c du niveau du liquide. Déterminer le rayon intérieur a'.
On trouve
, / 3 ûc' 1 pc^y
9. Une tige homogène , dont l'épaisseur est négli-^ geable vis-à-vis de la longueur, est soutenue par un fil attaché à son extrémité supérieure, et plonge en partie dans un liquide où elle se maintient dans une position inclinée.
U YDROSTATIQU Ë . - 4^3
Connaissant le rapport fx de la densité de la tige à celle du liquide, il s'agit de déterminer le rapport n de la longueur totale de la tige à celle de la partie qui 5'élèi^e au'deséus de la surface.
On trouve
Heeman, Phoronomia ^ page iSp.
CORPS SOUMIS A l'action d'uN FLUIDE ÉLASTIQUE.
1. On suppose un liquide homogène y de densité in-^ connue, dont la surface est soumise à la pression atmo-^ sphérique , et un vase de poids connu p, à parois très-^ minces, quia la forme d'un cylindre droit ouvert à Vunc de ses extrémités.
On place ce vase sur le liquide en le maintenant dans une position verticale^ l'ouverture tournée en haut, et on le charge jusqu^à ce que son bord affleure la surface du liquide. Soit P le poids qu'il a fallu ajouter.
Ceci fait, on retire le vase plein d'air à la pression atmosphérique, puis on le pose sur le liquide en le maintenant dans une position verticale, Fonuerture en bas y sans laisser échapper Vair qu'il contient, et l'on charge jusquà ce que la base affleure la surface du liquide. Soit Q le poids qu'il a fallu ajouter.
On demande quelle est la pression atmosphérique.
Soient
xz la pression atmosphérique sur l'unité de surface \
p la densité du liquide 5
4^4 MÉCANIQUE RATIOMZiELLE.
h la hauteur extérieure du vase;
A Taire de la base extérieure \
(3 l'épaisseur du fond^
a Taire de la section droite des parois latérales.
A — a sera Taire de la base intérieure.
La première opération nous donne la relation
(i) PH-/;=g'p/iA.
Considérons actuellement le cylindre renversé, et soit x la hauteur extérieure de la partie du cylindre qui reste remplie d'air lorsque la base affleure la surface du liquide. L'effort de Tair intérieur pour soulever le vase
est ct(A — a) ^» et la poussée du liquide agissant
sur le bord des parois latérales est (g^pA + ny)»^ Tensemble de ces deux forces doit faire équilibre aux forces qui tendent à enfoncer le vase. Donc
h — - ft
Dans la même position, la pression de Tair intérieur sur le liquide en contact est égale à la pression du liquide sur la surface de cet air. Par suite, on a
(3) ^+gf^ = ^tzl.
Les équations (i), (a) et (3) permettent de calculer la pression atmosphérique rapportée à T unité de surface, en fonction des quantités ;?, P, Q,A, aet(3.
Mais, par hypothèse, a et (3 sont de très-petites quantités; on peut les négliger sans erreur considérable.
Alors, si de Téquation (2) on retranche Téquation
TS
A-f-(P-f->9)- =r xsk -,
laquelle résulte des équations (i) et (3) , il vient Q + ^^lP-f-A')^-
Multipliant cette dernière relation par Téquation (2), et tirant du résultat la valeur de cr, on trouve
Telle est, à très-peu près, la pression de l'atmosphère sur l'unité de surface.
2. TJn tuhe cylindrique fermé par le haut , rempli en partie d'air sec , est maintenu dans une position verticale sur une cui^e pleine de mercure, soumis à la pression atmosphérique , dans lequel il plonge son extrémité ouinerte. Le liquide s'élèi^e dans le tube à la hauteur h audessus du nii^eau de la cuv^e^ et la longueur de la portion du tube qui contient de Vair est égale à H. On enfonce le tube jusquà ce que le niveau du liquide y de\>ienne le même que dans la cuve^ alors la longueur de la portion de tube qui contient de Vair se réduit à H'. On demande quelle est la pression atmosphérique.
Si Ton nomme p la densité du mercure et xs la pression atmosphérique rapportée à l'unité de surface, on trouve
