Un cylindre homogène^ de densité rs et de longueur

4l6 MËCANIQtJE RATlOBUfeLLË.

h, flotte dans une position verticale sur un liquide de densité p. Tout le système est placé sous un récipient plein d'air comprimé. Quelle est, en fonction de la densité p' de l'air du récipient, la longueur x de la partie du cylindre qui est immergée P

On trouve

SECTION m.

STABILITÉ D£ l'ÉQIJILIBRE DES CORPS FLOTTANTS»

Considérons un corps solide , pesant et libre de toute liaison, qui flotte en équilibre sut un liquide homogène.

L'équilibre est stable lorsque le centre de grauité du corps est situé au-dessous du centre de gra\fité du liquide déplacé.

L'équilibre est encore stable lorsque le centre de grauité du corps est situé au-dessus de celui du liquide déplacé ^ pouruu que la distance de ces deux points soit inférieure au quotient que Von obtient en dii^isant par le volume immergé, le plus petit des moments d'inertie de la sec^ tien à fleur d'eau autour des droites menées dans son plan par son centre de grauàé.

Si le corps est symétrique relativement à un plan vertical , pour que l'équilibre soit stable par rapport à des déplacements infiniment petits parallèles au plan de symé^ trie, quand le centre de gravité du corps est au-dessus de celui du liquide déplacé , il suffit que la distance de ces deux points soit inférieure au quotient que l'on obtient en divisant par le volume immergé, le moment d'i*

nerlie de la section à fleur d'eau autour de la perpendiculaire au plan de symétrie menée par le centre de gravité de la section. L'équilibre serait instable si le contraire avait lieu.

Nous nous bornerons ici à considérer la stabilité de l'équilibre d'un corps symétrique relativement à un plan vertical , en supposant que les déplacements et les vitesses imprimées soient parallèles au plan de symétrie.

i . Un corps symétrique par rapport à un plan "vertical Jlotte en équilibre. Son centre de grai^ité est G; le centre de gra\>ité du liquide déplacé est un point H situé audessous du point G. On déplace ce corps parallèlement au plan de symétrie d^ une manière quelconque, mais sans changer le volume immergé^ puis on le ramène graduellement à sa première position d* équilibre, toujours en le faisant moui^oir parallèlement au plan de symétrie et sans changer le volume immergé. Pendant ce moui^ement , la verticale qui passe au centre de grav^ité du liquide déplacé et la droite HG , considérée comme inv^ariablement liée au corps , se coupent en un point M , qui se déplace sur la droite HG, et com^erge vers une position limite. Cette position limite est ce qiion nomme le métacentre. // s*agit de prouver que la hauteur du métacentre au-dessus du point H, est égale au quotient que Von obtient en divisant par le volume immergé V dans Vétat d'équilibre y le moment d'inertie II. 27

4l8 MÉGANIQUE RATIONNELLE

A/r' de la section àjleur d'eau A autour d'une perpendiculaire au plan de symétrie menée par le centre de gratuité de la section.

On fora voir que, dans le cas où le ^volume immergé est variable y la position limite du point M ne peut être assignée qu autant que Von connaît la nature du mouuement dans le voisinage de la position d'équilibre.

Soient

PQ la section à fleur d'eau dans Télat d'équilibre 5

PQ' la section à fleur d'eau dans une position infiniment voisine 5

z la distance du centre de gravité de la section PQ à la section F Q' 5

RS une section parallèle à F Q', menée par le centre de gravité de la section PQ ;

IK l'intersection des deux plans RS, PQ, laquelle est perpendiculaire au plan de symétrie;

c la plus courte distance des droites IK et HG ;

0 l'angle des deux plans PQ, RS, ou bien l'angle de HG avec la verticale ;

a la distance HG ;

p la densité du liquide.

Les quantités infiniment petites ^ et 0 seront considérées comme infiniment petites de premier ordre ] les infiniment petits d'ordre supérieur disparaîtront dans le calcul.

D'après cela, le volume FQ'QP peut être considéré comme celui d'un cylindre construit sur la base PQ ; il est égal à Taire de la base , A , multipliée par la distance z des centres de gravité des deux bases.

Il s'ensuit que la pression résultante est

Calculons la somme des moments des pressions autour

HYDHOSTATIQUE. 4*9

d'une perpendiculaire au plan de symétrie menée par le point G; et, dans ce calcul, comptons positifs les moments des forces qui tendent à ramener le corps à sa première position d'équilibre.

Nous voyons d'abord que la somme dont il s'agit est égale et contraire au moment du poids du liquide qui remplirait le volume immergé. Ce volume lui-même se compose du volume PBQ , plus le volume PQ'SR, plus le volume QIRS, moins le volume PIKR.

Pour le volume PBQ , le moment du poids est

^pVasinÔ ou gpYaB.

Pour le volume PQ'SR le moment du poids est égal au produit du poids gpAz par la distance de la droite IR à la verticale du point G. Maiis, comme le poids est déjà un infiniment petit, on peut remplacer cette distance variable par la dislance constante c qui en diffère infiniment peu. Alors le moment cherché devient

gpAcz,

Quant aux volumes QIKS, PIKR, on peut les concevoir décomposés en éléments prismatiques élevés perpendiculairement sur les éléments dA de la section PQ. Si l'on nomme x la distance de l'élément dA à la ligne IK 5 cette distance étant comptée positive à droite de IK et négative à gauche, la hauteur du prisme sera ±: X tangO ou ±xB^ la distance de son centre de gravité à la même ligne sera a:, en négligeant toujours les infiniment petits de second ordre. Par suite, la différence entre le moment du poids du volume QIKS, et le moment du poids du volume PIKR, s'exprimera par l'intégrale

- .pe/

étendue à toute la section PQ. Mais, puisque a ligne IK

passe au centre de gravité de cette section, on a

I xdk = o,

et Tintégrale se réduit au seul terme

D'après ces valeurs , la somme des moments des près* sions est

(U) grp(VflO — Acz-h A^'0).

Divisant celte somme par la pression résultante, nous aurons la distance de cette pression à Taxe des moments ; divisant encore par sindou par 9, nous aurons la distance du point G au point M où la droite HG est coupée par la verticale qui passe au centre de gravité du liquide déplacé, et la distance obtenue sera positive si le point M est au-dessus du point G. Il vient

GM= /a^'—ûV— Ac^\ (V+ A«)-',

et à la limite,