I. ^.. AA' Ac,. (z

I,m,GM = — -^--lim.(^-j.

Or, si z n'est point nul , la limite du rapport - dépend

de la manière dont le corps revient à sa position d'équilibre 5 en sorte que l'on ne peut assigner la position limite du point M sans connaître la nature du mouvement, à moins que la distance c ne soit nulle. Mais, si z est nul, c'est-à-dire, si le volume immergé est invariable, alors la distance de la position limite du point M au centre

de gravité du corps , est

celle distance étant comptée positive ou négative , suivant

que le point M est au-dessus ou au-dessous du centre de

gravité. En d'autres termes, la hauteur du métacentre au-

AA-' dessus du point H est -— i comme nous l'avons annoncé.

Si l'on rapproche ce résultat de la règle citée au commencement de cette Section, on voit cpie F équilibre est stable ou instable, suivant que le métacentre est situé au-dessus ou au-dessous du centre de grai^ité du corps. L^ équilibre serait indiffèrent si le métacentre coïncidait as^ec le centre de grai^ité.

Cette dernière proposition , évidente par elle-même quand on se borne à considérer la stabilité de l'équilibre par rapport à des déplacements qui n'altèrent point le volume immergé, a été donnée par Clairaut, pour ce cas seulement, dans le Traité du Na\^ire, C'est à ce géomètre que l'on doit l'expression de métacentre,

Duhamel^ Journal de l'Ecole Polytech,, XXIV* cahier, p. 12 ; i832.

% Quelle est la condition de stabilité pour un prisme rectangulaire homogène dorit la base est horizontale ^ relatii^ement à des déplacements parallèles aux fa&es verticales ?

Soient a et i les deux côtés de la base , c la hauteur, <j la densité du corps et p celle du liquide.

Le volume immergé est - abc,

La hauteur du centre de gravité du prisme au-dessus

du centre de gravité du liquide déplacé est égale à

4a2 MÉCANIQUE RÂTIONMELLE.

Le moment d'inertie de la section à fleur d'eau autour d'un axe mené par le centre de cette section parallèlement au côté b a pour expression

hx^dx-=i — ba^'

La condition de stabilité pour des déplacements parallèles aux faces (ac) est donc

— ha^

ou bien

^^ ^1 "-abc

L'équilibre serait instable si le premier membre était inférieur au second \ il serait indifférent si les deux membres étaient égaux.

EncycL Metrop, MU\ Se, vol. I, p. igS.

3. Un prisme droit homogène , dont la base est un triangle isocèle , flotte sur un liquide. La face latérale qui répond à la base du triangle isocèle est horizontale et tout entière située au-dessus du nix^eau. Troux^er la condition de stabilité pour des déplacements parallèles à F un des deux plans verticaux gui partagent le corps en deux parties symétriques .

Soient / la longueur du prisme , 2 è la base du triangle isocèle, a l'angle au sommet , <j la densité du corps et p celle du liquide.

Pour des déplacements parallèles aux bases du prisme, la condition de stabilité est

jtang->.

Pour des déplacements parallèles «lu plan de symétrie qui coupe le corps suivant Tarête inférieure , la condition de stabilité est

a (T COS*-<'-'

Si la base est un triangle isocèle rectangle , et que les déplacements lui soient parallèles , le niveau du liquide divise en deux parties égales la distance du métacentre au centre de gravité du liquide déplacé.

BovGVJLK, Traité du Navire , p. 266.

4. Troui^er la condition de stabilité pour un cônedroit et homogène , dont taxe est vertical et le sommet plongé dans le liquide.

Si Ton nomme r le rayon de la base, A la hauteur du cône , (7 la densité du corps et p celle du liquide , on trouve la condition

Daniel Bebo^oulli, Comment, Acad. Petrop, 1738, p. 162.

5. Trouver la condition de stabilité pour un cylindre droit et homogène , dont F axe est vertical.

Si Ton nomme r le rayon de la base, h la hauteur, a la densité du cylindre et p celle du liquide, on trouve la condition

Daniel Bernodlli^ ihid.

6. Trouver la condition de stabilité pour un para^ boloïde de révolution homogène, terminé par un plan perpendiculaire à F axe, et dont Vaxe est vertical.

Si l'on nomme p le paramètre de la parabole généra-

4*^4 MÉCANIQUE RÂTlOfiNELLK.

trice, b la longueur de Taxe, a la densité du corps et p celle du liquide , on trouve la condition

Archimède étudie la stabilité de l'équilibre du paraboloïde de révolution dans le second livre du traité Des corps portés sur un fluide.