PETITES OSCILLATIONS DES CORPS FLOTTANTS
Nous nous bornerons à considérer un corps partagé en deux moitiés symétriques par un plan vertical , ce qui est le cas d'un navire. Nous supposerons que l'on ait légèrement écarté le corps d'une position d'équilibre stable, en imprimant à tous ses points une faible vitesse parallèle au plan de symétrie. Il en résultera des oscillations qui seront évidemment parallèles au même plan.
Conservons la notation et la figure du problème 1 de la Section précédente. De plus , nommons x la distance du centre de gravité du corps au-dessous du plan horizontal sur lequel est situé ce point dans la position d'équilibre , et h le rayon de gyration du corps autour d'une perpendiculaire au plan de symétrie menée par le centre de gravité-, VpA* sera le moment d'inertie du corps autour de cette perpendiculaire.
Nous négligerons les termes du second degré par rapport aux petites quantités jç^ z eiQ.
Nous n'avons pas à nous occuper du mouvement horizontal du centre de gravité : il sera nul, ou, si l'on veut, rectilîgne et uniforme.
Quant au mouvement vertical, il sera régi par l'équation
HYDROSTÀTIQDE. 4^5
qu'on obtient en égalant la force effective, Vp -— ^ à la
résultante des forces qui sollicitent le corps dans la direction de la pesanteur. Celte résultante est égale à la différence entre le poids du corps et le poids du liquide déplacé \ et, dans le degré d'approximation qui aété adopté, cette différence se réduit au poids du liquide qui remplirait le volume FQ'SR considéré comme un cylindre. On a donc
Négligeant toujours les quantités du second ordre, on a
et l'équation précédente devient
Il reste à trouver l'équation qui représente le mouvement de rotation du corps autour de son centre de gravité. Pour cela il suffit d'égaler le moment des forces effectives ,
Vp/i* -T-^, au moment des forces appliquées, lequel est
représenté en signe contraire par la formule (U), p. 420. Il vient
Vp^'^ = — ^p (— V/7Ô— Acz + A^'Ô).
Afin de n'avoir que deux variables, il convient de remplacer z par sa valeur tirée de l'équation (i). Si , de plus,^ on pose
en sorte que / soit le rayon de gyration de la section PQ autour d'une perpendiculaire au plan de symétrie menée par le point où la droite HG perce la section considérée ,
on aura
Les équations (2) et (3) sont linéaires à coefficients constants; elles s^intègrent par la méthode connue. Si Ton pose , pour abréger,
^A Ai«— V«
les équations deviennent
.|;„(X— CÔ) = 0,
et, en désignant par r^, i\ les racines de l'équation /i'r' — [h}-\- en) mr=z cm^[c—^ /i),
par Aj, As, a,, aj des constantes arbitraires, les intégrales sont
a: = A, sin ( V^r, ^ 4- a, ) ■+- A, sin [sjr^t-h a,),
ô = A, ^^"" ^' sin ( V^/ + a,) + A, ^i^— ^ sin {.v^^ -4- aj\ me ' me
Lorsque le corps est tel , que , dans la position d'équilibre, les centres de gravité du corps et de la section à fleur d'eau soient sur une même verticale, alors la distance c est nulle, et les équations du mouvement ont pour intégrales
X z= A, sin ( y Y" ^ -^ *' ) '
0 = A,sin I i/^(A/-~V«)^-+-aJ.
La durée d'une oscillalion verticale est tt 4 /— - > et celle
d'une oscillation angulaire tt i / —n-r. — ï7-\ * Les am-
plitudes de ces deux oscillations sont indépendantes l'une de l'autre.
Il ne faut point oublier que , dans toutes ces formules , les distances a et c sont positives quand elles ont les directions que leur assigne la figure, et négatives quand elles ont des directions contraires.
Les oscillations des corps flottants ont été étudiées successivement par Daniel BernouUi (*),Euler (*) , d'Alembert (') et Bossut (*). M. Molins (*) a repris la même question sans limiter en rien la forme du corps et la direction des petits mouvements.
A l'aide des formules qui précèdent , on n'aura aucune difficulté à résoudre les problèmes suivants :
1 . Un prisme homogène à base carrée, flottant sur un liquide, a été légèrement écarté de la position d'équilibre stable oii l'une des faces latérales est horizontale, par un petit déplacement parallèle à la hase. Déterminer la longueur du pendule simple qui oscille dans le même temps.
Soient b le côté de la base, a la densité du corps ^ p celle du liquide et / la longueur cliercbée.
S'il s'agît des oscillations verticales du centre de gra-
(') Comment, Àcad, Petrop.f i73y, p. loo.
(') Scientia navalis» part. II, cap. iv; 1749.
(') Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides, chap. vi ; 1752. — Opuscules, t. I, p. 104.
(*) Sur l'arrimage des vaisseaux. Prix de TAcatl. des Se. de Paris, t. I\ ; 17G6.
(M Journal de M. Liouville, l. 111. p. 33; i838.
vite, on trouve
et s'il s'agit des oscillations autour d*une perpendiculaire à la base, menée par le centre de gravité,
nbpa
p* — 6pff 4- 6a Daniel Bernoulli, Comment. Acad, Petrop.y 1789, p. 106.
2. Même problème y en supposant que la section du prisme soit un triangle isocèle j et que, dans la position d'équilibre stable j la face latérale correspondante à la base du triangle isocèle soit horizontale et située audessus du liquide.
Soient aft la base du triangle isocèle, q la hauteur du même triangle, a la densité du prisme, p celle du liquide, et / la longueur du pendule qui oscille dans le même temps.
S'il s'agit des oscillations verticales du centre de gravité, on trouve •
et s'il s'agit des oscillations autour d'une perpendiculaire à la base , menée par le centre de gravité ,
Encycl. Metrop. Mixed Se, vol. I , p. 194.
3. Un paraboloïde de réi^olution homogène, terminé par un plan perpendicidaire à taxe, flotte sur un liquide^ l'axe est vertical, et le sommet dirigé vers le bas. Connaissant la durée T des petites oscillations ver-
ticûles que ce corps exécute^ il s* agit de déterminer la distance du sommet du corps à la surface du liquide, pour la position d^ équilibre, La distance cherchée est
