ÉQUILIBRE DES VASES QUI CONTIENJNENT DES LIQUIDÉS
Lorsqu'un vase contenant un liquide repose en équilibre sur un support, le poids du vase et la pression du fluide sur les parois font équilibre à la réaction du support.
i . Une demi'Sphère creuse^ remplie d!un liquide^ sap* plique contre un plan vertical de manière à fermer exactement F ouverture y et appuie sa surface com^exe contre un plan incliné qui coupe le premier plan sui^'ant une droite horizontale. On demande quelle est la pres^ sion exercée sur le vase par chacun des deux plans , dans rétat d'équilibre , et quel est le plus grand angle des deux plans qui permette à r équilibre de subsister, le poids de Venv^eloppe hémisphérique étant négligeable vis-à'Vis du poids du liquide.
Soient r le rayon intérieur delà sphère, p la densité du liquide, a l'angle des deux plans, S la pression du plan vertical contre le bord du vase , R la pression du plan incliné, P la pression résultante du liquide sur la demisphère 5 Q l'angle de cette force avec la verticale.
Les trois forces S , R , P doivent se détruire dans l'état d'équilibre. Or les deux dernières passent par le centre de la sphère -, donc la force S passe de même au centre de la sphère. De plus, ces trois forces sont situées dans un
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même plan vertical. Il en résulte que les conditions d'é- ([uilibre se réduisent à celles-ci , que la somme des projections horizontales des trois forces soit nulle, ainsi que la somme des projections verticales. De là les équations
S-l-P sin0 = Rcosa, P cosO = R$ina.
Mais PcosÔ est le poids du liquide ou X T^gpf^'i P sinô
est la pression résultante sur le plan vertical ou t^ gpi^* Substituant ces valeurs dans les équations précédentes, on en tire
R := - TT g p r» coseca, S=| TT^pr' ^cota--j.
Telles sont les valeurs cherchées.
La pression S ne pouvant être négative , il s'ensuit que la plus grande valeur de l'angle a qui permette Féquilibre, est celle qui annule la pression S, savoir
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2. On verse lentement un liquide dans un vase cylindrique qui est debout sur un plan incliné. Le vase finira par se ren\^erser, s'il ne peut pas s'échapper en glissant sur le plan. On demande quelle quantité de liquide il faut introduire pour produire ce renversement ^ le poids du vase et V épaisseur de ses parois étant négligeables.
Soient 7' le rayon du cylindre et a la tangente de Tinclinaison du plan sur l'horizon.
Le volume du liquide qui produira la chute du vase est
3. Un vase hémisphérique^ homogène y à parois trèsminces^ dont le poids est V et le rayon de la surface r, contient un poids de liquide égala Q. Ce vase étant posé sur le sommet d'une sphère fixe de rayon r\ de manière que le bord soit horizontal , on l'incline tant soit peu, en le faisant rouler sur la sphère fixe d'un très-petit angle ^ puis on attend que le liquide soit revenu au repos. On demande de trouver la condition à laquelle doivent satisfaire les poids P, Q ef les rayons r, z*', pour que le vase abandonné dans cet état tende à reprendre sa position primitive.
La condition demandée est
